Kezdeti és Peremfeltételek

2. Kezdeti és Peremfeltételek Dirichlet: Elsőfajú a peremfeltétel, ha a tartomány adott határán a hőmérséklet értékét ismerjük. Ez jelentheti azt is, hogy valamilyen állandó érték, vagy ha nem állandó, akkor az idő ismert függvénye szerint változik. Neumann:Másodfajú a peremfeltétel, ha a tartomány adott határán a hőáramsűrűséget ismerjük, ami a Fourier-törvény szerint egyben azt jelenti, hogy a hőmérsékletet meghatározó függvény differenciálhányadosát ismerjük a peremen.

5. Anyagátadási műveletek • Két egymással érintkező fázis között anyagátvitel (anyagátbocsátás) megy végbe. • Egy vagy több komponens átmenetét jelenti ezért komponensátadásnak is nevezik • Végbemehet: • 2 egymással nem elegyedő fázis között (hagyományos anyagátadási műveletek) • Szelektíven működő membránokkal elválasztott elegyedő fázisok között (nemegyensúlyi vagy membránműveletek)

12. Anyagátadási műveletek csoportosítása I. Gáz-Folyadék rendszerek • Nedvesítés vagy nedvesség elvonás • Gázabszorpció • Deszorpció Gőz-folyadék rendszerek • Desztilláció Gáz-szilárd rendszerek • Részleges szublimálás • Szárítás vagy deszorpció • Adszorpció • Frakcionált adszorpció

13. Anyagátadási műveletek csoportosítása II. Folyadék-Folyadék rendszerek • Folyadék extrakció • Frakcionált extrakció Folyadék-szilárd rendszerek • Frakcionált kristályosítás • Kioldás vagy szilárd-folyadék extrakció • Adszorpció (aktív szén) • Oldás (a kristályosítás ellentéte) Szilárd-szilárd rendszerek Nincs gyakorlati haszna mert a diffúzió szilárd fázisban rendkívül lassú

14. A szétválasztási módszer megválasztása • Választási lehetőségeket a feldolgozandó anyagok sajátos fizikai tulajdonságai rendszerint korlátozzák, ennek ellenére majdnem mindig szükség van a több lehetséges eljárás közötti választásra. • Néha azt kell eldönteni, hogy a tárgyalt diffúziós műveletek egyikét alkalmazzuk, vagy egy tisztán mechanikai szétválasztási módszert. • Egy ásvány kinyerése ércből lehetséges akár diffúziós eljárással, valamilyen oldószerrel történő kilúgzással, akár flotálással, tehát tisztán mechanikai eljárással. • Növényi olajok növényi magvaktól sajtolással vagy oldószeres extrakcióval különíthetők el. • Valamely gőz eltávolítható egy permanens gázzal képezett elegyéből mechanikai művelettel, például kompresszióval, vagy diffúziós művelettel, például gázabszorpcióval. • Néha a mechanikai és diffúziós műveleteket együtt alkalmazzák, különösen ha az első művelet eredménye nem kielégítő, mint a növényi olajok előállítása során, ahol a sajtolást kilúgozás követi. Jellemző, hogy a mechanikai módszerrel eltávolított anyagot a művelet végén tisztán kapjuk, míg a diffúziós módszerrel eltávolított anyagot valamilyen más anyaggal keverve.

15. Az anyagátadási műveletek megvalósításának módjai • A diffúziós műveletek legfontosabb jellemzője a fázisok áramlási állapota, • Stacionárius • Instacionárius • Mindezek alapján megkülönböztetünk szakaszos és folyamatos műveleteket. • A folyamatos művelet a fázisok érintkezésének módja szerint lehet fokozatszerű vagy folytonos.

16. Szakaszos műveletek • Az instacionárius vagy nem állandósult állapotú műveletekre jellemző, hogy a műveleti egységet alkotó készülékben az egyes fázisok koncentrációi időben változnak. A szakaszos folyamatban a koncentrációváltozás függvénye az időnek, de nem függvénye a helynek. • A lehetséges maximális koncentrációváltozás akkor következik be, amikor a fázisok egymással egyensúlyba jutottak. A gyakorlatban a művelet az egyensúly beállta előtt is megszakítható. A teljes műveletre azt mondhatjuk, hogy az egy fokozattal egyenértékű. Minden diffúziós művelet kivitelezhető ezzel az egyfokozatú általános módszerrel.

17. Folyamatos műveletek A stacionárius vagy állandósult állapotú műveletek jellemzője, hogy a koncentrációk a rendszer bármely pontján időben nem változnak. Ez megköveteli, hogy valamennyi fázis folyamatosan és változatlan sebességgel áramoljon a rendszerbe és onnan ki, valamint az áramlási viszonyok a rendszerben állandóak legyenek. • Folyamatos műveleti egységek csoportosítása az áramlás iránya szerint • Egyenáram A hajtóerő a belépési ponttól a kilépési pontig fokozatosan csökken. • Ellenáram A hajtóerő a készülék hossza mentén lehet állandó, csökkenhet vagy akár nőhet is. • Keresztáram

18. Fokozatszerű és folytonos műveletek • A folyamatos műveleti egységeket csoportosíthatjuk aszerint, hogy műveleti egységen belül a koncentrációt leíró függvény szakadásosan vagy folytonosan változik. Ezek alapján a folyamatos műveleti egységek lehetnek fokozatszerű- és folytonos műveletek. • Egyfokozatú • Kaszkád • Az egyes fokozatok hatékonyságának mértéke az ideális vagy elméleti fokozat vagy elméleti tányér. Az elméleti fokozatra az jellemző, hogy az egyes fokozatokból kilépő fázisok egymással egyensúlyban vannak, tehát az érintkezési idő meghosszabbításával sem lehet további koncentrációváltozást elérni. Az egyes fokozatokban mennyire sikerült megközelíteni az egyensúlyt, a fokozathatásfok fejezi ki.

19. Általános irányelvek • Az elméleti fokozatok száma. Egy kaszkádnál a kívánt elválasztáshoz tartozó elméleti fokozatszámnak (egyensúlyi egységszám, elméleti tányérszám), vagy egy folytonos érintkezésű készüléknél, az elméleti fokozatszámmal egyenértékű jellemzőjének az átviteli egységszámnak a meghatározásához szükség van a rendszer egyensúlyi viszonyainak ismeretére és az anyagmérlegekre. • A szükséges idő. Fokozatszerű műveleteknél az érintkezési idő szorosan összefügg a fokozathatásfokkal, míg folytonos készülékek esetében a készülék térfogatát vagy hosszát határozza meg. Az idő meghatározásához szükséges tényezők száma nagy. Az anyagmérlegekből kiszámítható az egyes fázisok szükséges viszonylagos mennyisége. A rendszer egyensúlyi viszonyai megadják a lehetséges végső koncentrációkat. A fázisok közötti anyagátmenet sebessége függ az egyensúlytól való eltéréstől. Ezen kívül az anyagátmenet sebessége függ az egyes fázisok fizikai tulajdonságaitól, valamint a készüléken belül uralkodó áramlási viszonyoktól is. A turbulens áramlás nagyságrendekkel megnövelheti az anyagátadási tényező értékeit. Lényeges annak felismerése, hogy az előírt bensőséges érintkezés megvalósításához szükséges idő független a beadagolt fázisok abszolút mennyiségétől.

20. A megengedhető áramlási sebesség, mint tényező a félfolyamatos és a folyamatos állandósult állapotú műveleteknél kap szerepet. Az átlagos áramlási sebesség a készülék keresztmetszetének meghatározásához szükséges. A megengedhető áramlási sebességet áramlástani megfontolások segítségével lehet megállapítani, az anyagmérlegek pedig megadják az egyes anyagáramok abszolút nagyságát. • Az energiaszükségletnek is fontos szerepe van a műveletek megvalósításánál. A diffúziós műveletek elvégzéséhez rendszerint hő és mechanikai energia szükséges. Hő szükséges a hőmérsékletkülönbségek létrehozásához, új fázisok kialakításához, például egy folyadék elpárologtatásához és oldáshő effektusok kompenzálásához. Mechanikai energiát igényel a fluidumok és szilárd anyagok szállítása, folyadékok és gázok diszpergálása és a berendezés egyes részeinek mozgatása.

21. Mass Transfer and Its Applications • Mass transfer – transfer of material from one homogeneous phase to another. • Based on differences in vapor pressure, solubility, diffusivity. • Driving force for transfer is a concentration difference. • Mass transfer operations – gas absorption, distillation, extraction, leaching, adsorption, crystallization, membrane separations, etc..

22. Principles of Diffusion • Diffusion – is the movement, under the influence of a physical stimulus, of an individual component through a mixture. • Common cause of diffusion: concentration gradient • Example: Removal of ammonia by gas absorption.

23. Fick’s Law of Diffusion: • JA = molar flux of comp. A (kg mol/m2.h) • Dv = volumetric diffusivity (m2/h) • cA = concentration (kg mol/m3) • b = distance in direction of diffusion (m)

24. Mass Transfer Theories • Turbulent flow is desired in most mass-transfer operations: 1. to increase the rate of transfer per unit area 2. to help disperse one fluid in another 3. to create more interfacial area • Mass transfer to a fluid interface is often unsteady-state type.

25. Mass Transfer Theories Mass transfer coefficient, k • Is defined as rate of mass transfer per unit area per unit conc. difference. • kc is molar flux divided by conc. difference • kc has a unit of velocity in cm/s, m/s • Concentration, c in moles/volume

26. Mass Transfer Theories Mass transfer coefficient, k • ky in mol/area.time (mol/m2.s) • y or x are mole fractions in the vapor or liquid phase.

27. Gas phase coefficient, kg

28. MASS TRANSFER THEORIES There are three types of theories in mass transfer coefficients. • Film theories • Penetration theories • Surface –renewal theories

29. Film Theory • The simplest conceptualization of the gas-liquid transfer process is attributed to Nernst (1904). • Nernst postulated that near the interface there exists a stagnant film . This stagnant film is hypothetical since we really don't know the details of the velocity profile near the interface. • Basic concept – the resistance to diffusion can be considered equivalent to that in stagnant film of a certain thickness • Often used as a basis for complex problems of multicomponent diffusion or diffusion plus chemical reaction.

30. Mass transfer occurs by molecular diffusion through a fluid layer at phase boundary (solid wall). Beyond this film, concentration is homogeneous and is CAb. • Mass transfer through the film occurs at steady state. • Flux is low and mass transfer occurs at low concentration. Hence,

32. Integrating Equation (3.55) for the following boundary conditions: CA=CAi when Z=0 CA=CAb when Z=δ We have now:

33. In this film transport is governed essentially by molecular diffusion. Therefore, Fick's law describes flux through the film.

34. If the thickness of the stagnant film is given by dn then the gradient can be approximated by: Cb and Ci are concentrations in the bulk and at the interface, respectively.

35. At steady-state if there are no reactions in the stagnant film there will be no accumulation in the film (Assume that D = constant) -- therefore the gradient must be linear and the approximation is appropriate. And:

36. Calculation of Ci is done by assuming that equilibrium (Henry's Law) is attained instantly at the interface. (i.e., use Henry's law based on the bulk concentration of the other bulk phase.) Of course this assumes that the other phase doesn't have a "film". This problem will be addressed later. So for the moment: (if the film side is liquid and the opposite side is the gas phase).

37. A problem with the model is that the effective diffusion coefficient is seldom constant since some turbulence does enter the film area. So the concentration profile in the film looks more like:

38. Penetration and Surface Renewal Models Most of the industrial processes of mass transfer is unsteady state process. In such cases, the contact time between phases is too short to achieve a stationary state. This non stationary phenomenon is not generally taken into account by the film model. More realistic models of the process have been proposed by Higbie (1935, penetration model) and by Danckwerts ( 1951, surface renewal model). In these models bulk fluid packets (eddies) work their way to the interface from the bulk solution. While at the interface they attempt to equilibrate with the other phase under non-steady state conditions. No film concepts need be invoked. The concentration profile in each eddy ( packet) is determined by the molecular diffusion dominated advective-diffusion equation:

39. Basic assumptions of the penetration theory are as follows: 1) Unsteady state mass transfer occurs to a liquid element so long it is in contact with the bubbles or other phase 2) Equilibrium exists at gas-liquid interface 3) Each of liquid elements stays in contact with the gas for same period of time Assumption: no advection within the eddy

40. The solution to this governing equation depends, of course, on boundary conditions. In the Higbie penetration model it is assumed that the eddy does not remain at the surface long enough to affect concentration at the bottom of the eddy ( z = zb). In other words the eddy behaves as a semi-infinite slab. Where C (@ z = zb ) = Cb. Also C (@ z = 0) = Ci .

41. The boundary conditions are: t = 0, Z > 0 : c = cAb and t > 0, Z = 0 : c = cAi.

42. Solving the equation with these boundary conditions and then solving for the gradient at z = 0 to get the flux at z = 0 and then finding the average flux over the time the eddy spends on the surface yields the following: q = average time at surface (a constant for a given mixing level). The average mass transfer coefficient during a time interval tcis then obtained by integrating Equation (3.61) as

43. For the mass transfer in liquid phase, Danckwert (1951) modified the Higbie’s penetration theorywith the surface renewal model. He stated that a portion of the mass transfer surface is replaced with a new surface by the motion of eddies near the surface and proposed the following assumptions: 1) The liquid elements at the interface are being randomly swapped by fresh elements from bulk 2) At any moment, each of the liquid elements at the surface has the same probability of being substituted by fresh element 3) Unsteady state mass transfer takes place to an element during its stay at the interface. s = surface renewal rate (again, a function of mixing level in bulk phase).

44. Comparison of the models: Higbie and Danckwert's models both predict that J is proportional to D0.5 where the Nernst film model predicts that J is proportional to D. Actual observations show that J is proportional to something in between, D0.5 -1 . There are more complicated models which may fit the experimental data better, but we don't need to invoke them at this time.

45. Mass transfer coefficients To simplify calculations we usually define a mass transfer coefficient for either the liquid or gas phase as klor kg(dimensions = L/t).

46. Boundary Layer Theory • Mass transfer often take place in a thin boundary layer near a surface where the fluid is in laminar flow. • The coefficient, kc depends on 2/3 power of diffusivity and decreases with increasing distance along the surface in the direction of flow • Boundary layer theory can be used to estimate kc for some situations, • but exact prediction of kc cannot be made when the boundary layer become turbulent.

48. When δ=δ(x)u=Uαand when δ=δm(x)-> u=0.99Uα distance over which solute concentration drops by 99% of (CAi-CAb). where, x is the distance of a point from the leading edge of the plate; kL,xis the local mass transfer coefficient. where, l is the length of the plate.

49. Two film model In many cases with gas-liquid transfer we have transfer considerations from both sides of the interface. For example, if we invoke the Nernst film model we get the Lewis-Whitman (1923) two-film model as described below.