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Pratiques des sciences sociales Le monde des nombres Séance 3 : Les variables numériques (1) Les nombres et leur mise en représentation Bruno Cautrès, Chercheur au CEVIPOF Louis Chauvel, Professeur des Universités à Sciences Po . Site du cours : http://louis.chauvel.free.fr.

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  1. Pratiques des sciences sociales Le monde des nombresSéance 3 : Les variables numériques (1) Les nombres et leur mise en représentationBruno Cautrès, Chercheur au CEVIPOFLouis Chauvel, Professeur des Universités à Sciences Po Site du cours : http://louis.chauvel.free.fr

  2. Plan de cette séance : c’est du sérieux !  • Les distributions de variables numériques : de l’histogramme à la densité • Les statistiques de tendance centrale : moyenne arithmétique, médiane, mode,… • Les statistiques de dispersion : écart-type, fractiles, rapports interdéciles, coefficient de Gini…

  3. Les distributions de variables numériques : de l’histogramme à la densité • La diversité des variables numériques : discrètes / continues ; additives / multiplicatives, etc. • Les variables numériques continueset la difficulté de leur représentation=> Exemple du revenu en France

  4. Exemple du revenu en FranceEnquête Budget des ménages 2000 : 10 305 ménages interrogés sur les revenus et les dépenses de l’année(les gens déclarent-ils la réalité ou leur réalité ????) • Problème : si on considère le revenu (au centime près) par tête dans le ménage (après impôt), on ne peut guère trouver deux ménages avec le même revenu=> solution : on peut représenter la « distribution » par un histogramme fondé sur un découpage en tranches ni trop fines ni trop épaisses …

  5. Exemple du revenu en France 43 ménages situés entre 10000 et 10050 euros par an En ordonnée : les effectifs dans chaque tranche En abscisse : revenu par tête (euros), ici en tranches de 50 €

  6. Exemple du revenu en France 88 ménages situés entre 10000 et 10100 euros par an En ordonnée : les effectifs dans chaque tranche En abscisse : revenu par tête (euros), ici en tranches de 100 €

  7. Exemple du revenu en France 771 ménages situés entre 10000 et 11000 euros par an En ordonnée : les effectifs dans chaque tranche En abscisse : revenu par tête (euros), ici en tranches de 1000 €

  8. Exemple du revenu en France => la « densité » Queue de distribution En ordonnée : échelle normée => surface sous la courbe = 1 En abscisse : revenu par tête (euros)

  9. Exemple du revenu en France => la « densité » En ordonnée : échelle normée => surface sous la courbe = 1 En abscisse : revenu par tête (euros)

  10. Les statistiques de tendance centrale : moyenne arithmétique, médiane, mode,… • La moyenne arithmétique : • S x • n • La somme des valeurs divisé par le nombre n d’individus : • Ex : somme de tous les revenus rapportée au nombre d’individus :moy (revenu par tête) = 14 155 euros/an/tête • Moy (x) =

  11. Les statistiques de tendance centrale : moyenne arithmétique, médiane, mode,… • La médiane : • C’est la valeur qui divise en deux parties égales la population • Ex : la médiane des revenus est le revenu qui divide en deux parties égales de 50 % la population :méd (revenu par tête) = 10 906 euros/an/tête

  12. Les statistiques de tendance centrale : moyenne arithmétique, médiane, mode,… • Le mode : • C’est la valeur qui regroupe le plus d’individus • Ex : le mode des revenus est situé autour de 8500 euros/an/tête

  13. Mode 8 500 Médiane 10 906 Moyenne 14 150 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 La moyenne est-elle trompeuse ? 1- quand une distribution est très dissymétrique, la moyenne est très différente de la médiane 2- lorsque la distribution est très « écrasée », de nombreux individus sont loin de la moyenne

  14. Les statistiques de dispersion : écart-type, fractiles, rapports interdéciles, coefficient de Gini… • L’écart-type : • S [x – moy(x)]2 • n • S’interprète comme la distance (quadratique) moyenne à la moyenne : • Ex : l’écart-type des revenus est :Ect (revenu par tête) = 16 060 euros/an/tête • Ect (x) =

  15. Exemple de la « loi normale »(la taille des conscrits, les notes aux concours de Sciences-Po, …) Ect moy 68 % de la pop entre : (moy – Ect) et (moy + Ect) 95,5 % de la pop entre : (moy – 2 Ect) et (moy + 2 Ect)

  16. Exemple de la « loi normale »(la taille des conscrits, les notes aux concours de Sciences-Po, …) Ect moy 2/3 de la pop entre : (moy – 0,97 Ect) et (moy + 0,97 Ect) 95 % de la pop entre : (moy – 1,96 Ect) et (moy + 1,96 Ect)

  17. Exemple : La taille des Néerlandais et des Portugais Est-il possible de discriminer Néerlandais et Portugais simplement sur leur taille ? • Hommes, Pays-Bas : moy (taille) = 1,80 mect (taille) = 7,79 m • Hommes, Portugal : moy (taille) = 1,70 mect (taille) = 7,48 m • => Réponse : oui et non… Seuls 16  % des néerlandais sont sous la barre des 1,72 m, donc un Portugais moyen a des chances d’être un peu reconnaissable, mais ce n’est pas systématique !…

  18. Mode Médiane queue de distribution QG1 QG2 QG3 QG4 q1 q3 Med =q2 d1 d9 10 % Moyenne 25 % Med/2 = seuil de pauvreté relative • Différents indicateurs de dispersion : • Quartiles / quintiles / déciles ( / centiles) • Quantiles et groupes de quantiles • (Le rapport interquartile : q3/q1) • Le rapport interdécile ; d9/d1 • « Seuil de pauvreté relative » = 1/2 médiane

  19. Income The strobiloid representation of income distribution Higher income class = rich 200 Median income class =« middle class » 100 median income 50 Lower income class = poor

  20. Comparisons of national strobiloids : national median Brazil : Median disposable income per year per capita : 6.900 $PPP/an Gini coef.: 59.8 % Median class = 44 % US : Median disposable income per year per capita : 32.000 $PPP/an Gini coef.: 34.5 % Median class = 58 % Sweden : Median disposable income per year per capita : 23.000 $PPP/an Gini coef.: 25.2 % Median class = 84 % Median national income

  21. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 • Courbe de Lorenz et coefficient de Gini :  % de revenu cumulé Le Gini vaut 0 en cas d’égalité absolue, et 1 en cas de captation de l’ensemble du revenu par une seule personne La surface entre la courbe et la diagonale = coefficient de Gini Les 60  % les moins aisésgagnent 36  % du revenu total  % de la population par revenu croissant

  22. Représentations de l’inégalité : comparaison de coefficients de Gini Suède France Brésil

  23. Que faut-il absolument retenir ?(mais aussi le reste : c’est de la culture…) • L’histogramme et la densité • Le sens des indicateurs : moyenne arithmétique, médiane, mode,… La formule de la moyenne … • Le sens des indicateurs : écart-type, fractiles, rapports interdéciles, coefficient de Gini… La formule de écart-type

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