Optimisation

1. Optimisation Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Volet historique • Élément de compétence • Démarche à suivre • Résolution de problèmes d’optimisation • Exemples • Exercices

3. Isaac Newton (1642-1727) • Le livre le plus complet qu’ait écrit Newton sera publié après sa mort en 1740, sous le titre La Méthode des fluxions et des suites infinies. • Il énonce les trois principes de base concernant le mouvement des corps et sa Loi universelle de la gravitation. • Il présente des règles telles que : • La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de chacun des termes du polynôme; • La dérivée de xrest donnée par rxr-1, pour r  R • Le binôme de Newton permet de développer un binôme affecté d’un exposant : (a + b)n=an + nan-1b + ½n(n-1)an-2b2 + … + bn. • Newton instaure un nouveau style : impersonnel, sobre et objectif, il décrit ses expériences et ses résultats qui visent à démontrer la véracité de ses concepts*.

4. Élément de compétence • Résoudre des problèmes d'optimisation et de taux de variation • Représenter adéquatement une situation sous forme de fonctions • Appliquer les étapes de résolution de problèmes d’optimisation • Interpréter adéquatement les résultats

5. Méthode de résolution • Lire attentivement le problème (relire au besoin, le nombre de fois qu’il faut) • 1. Définir toutes les variables et faire un croquis si possible; • 2. Trouver une expression désignant la quantité à optimiser; • 3. Exprimer la quantité à optimiser en fonction d’une seule variable ( en utilisant les contraintes énoncées dans le problème ) et déterminer le domaine de la fonction à optimiser; • 4. Utiliser le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour trouver le maximum ou le minimum absolu : • 4.1. Calculer f’(x) et trouver les nombres critiques de f(x) • 4.2. Utiliser le test de la dérivée première ou de la dérivée seconde, calculer f’’(x), pour identifier le(s) maximum(s) et/ou le(s) minimum(s) • 4.3. Évaluer f(x) aux bornes du domaine et pour chaque nombre critique de f(x); • 5. Remettre le résultat obtenu à l’étape 4 dans le contexte du problème en faisant toutes les interprétations qui conviennent.

6. Exemple 1 • Un éleveur de chiens désire construire un enclos de forme rectangulaire derrière son chenil et dispose de 50 m de clôture pour l’entourer. Quelles sont les dimensions du plus grand enclos qu’il pourra construire s’il utilise toute la clôture? x y

7. x y Exercice 1 • Un éleveur de chevaux de la région de Charlevoix possède une terre sur le bord d’une rivière rectiligne. Il dispose de 3 000 m de clôture pour entourer une partie de sa terre qu’il veut transformer en pâturage de forme rectangulaire. S’il n’a pas besoin d’installer de clôture le long de la rivière, quelles sont les dimensions du plus grand pâturage qu’il peut entourer? Quelle sera la superficie du pâturage?

8. z y y x z Exemple 2 • Un ferblantier souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’une feuille de métal rectangulaire de 100 cm de large et 160 cm de long. Il compte découper des carrés d’aires égales dans les coins de la feuille, puis replier les bords de celle-ci vers le haut pour former les côtés de la boîte. Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour que celle-ci ait le plus grand volume possible? 200 100

9. 2,5 1,25 1,25 y (y-5) (x-2,5) 2,5 x Exercice 2 • Une typographe veut fixer le format des pages d’un livre selon les critères suivants : les marges supérieures et inférieure mesureront 2,5 cm et les marges latérales, 1,25 cm; de plus, chaque page devra mesurer 300 cm2 de superficie. Trouver le format de page que la typographe devrait choisir pour que la surface imprimée sur chaque page soit maximale.

10. Exemple 3 • Une paire de boucles d’oreilles coûte 3 $ à fabriquer et se vend 5 $. À ce prix, les consommateurs achètent 4 000 paires par mois. Le fabriquant compte augmenter le prix et estime que pour chaque hausse de 1 $, 400 paires de moins seront vendues chaque mois. Quel prix doit-il fixer pour maximiser le bénéfice? • Étape 1 : x = ? nombre d’augmentations effectuées

11. Exercice 3 • Une compagnie d’autobus loue des autobus de 50 places à des groupes de 35 personnes ou plus. Si un groupe compte exactement 35 personnes, chaque personne paie 60 $. Pour les groupes plus importants, le tarif par personne est réduit de 1 $ à partir de la 36e personne. Déterminer la taille du groupe pour laquelle le revenu de la compagnie est le plus élevé.

12. h r Exemple 4 • Les acériculteurs du Québec envisagent de modifier le format de leurs contenants de sirop d’érable de 540 ml. En effet, il semble que l’on puisse améliore le format actuel, un cylindre en aluminium de 8 cm de diamètre sur 10,75 cm de hauteur, de manière à utiliser moins d’aluminium dans la fabrication de chaque boîte. Si on décide de conserver la forme cylindrique, trouver quels doivent être le diamètre et la hauteur de la boîte pour minimiser la quantité d’aluminium nécessaire. (N.B. : 1 ml = 1 cm3) 

13. Devoir • Étudier les exemples 3 (page 298), 4 (page 300) et 5 (page 301). • Série 7.1, page 303, nos 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14 et 16. • Exercices récapitulatifs, page 307, nos 2a, 3, 4, 5a, 5b, 6, 13a, 3b, 15, 17, 18, 21a. • Problèmes de synthèse, page 311, nos 1a, 5, 9a et 9b. [Réponses : 1a) 20 m sur 50 m; 5b) 700 $]

14. « Ce n'est pas parce qu'un problème n'a pas été résolu qu'il est impossible à résoudre. » Agatha Christie

15. Leibniz et Newton Les inventeurs du calcul différentiel

16. À compléter