1 / 36

Kap 02 Kombinatorikk

Kap 02 Kombinatorikk. Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk. Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1 ·m 2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m 2. m 1 ·m 2. m 1. m 1 ·m 2 = 4 ·2 = 8. A. B. C. m 1 =4. m 2 =2.

jane
Download Presentation

Kap 02 Kombinatorikk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kap 02 Kombinatorikk

  2. Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m1 og m2 enheter kan det dannes m1·m2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m2 m1·m2 m1 m1·m2 = 4 ·2 = 8 A B C m1=4 m2=2

  3. Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk Av n grupper på henholdsvis m1, m2, m3, …, mn enheter kan det dannes m1·m2 ·m3 · · · · mn forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe. ... m1 m2 mn m1·m2 ·m3 · · · mn A B C D m1·m2 ·m3 = 4 ·2 ·3 = 24 m1=4 m2=2 m3=3

  4. Multiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøk c1 D 1 a1 b1 c1 C 2 a1 b1 c2 c2 3 a1 b1 c3 b1 c3 B 4 a1 b2 c1 c1 b2 5 a1 b2 c2 c2 c3 6 a1 b2 c3 7 a2 b1 c1 c1 a1 8 a2 b1 c2 b1 c2 c3 9 a2 b1 c3 a2 10 a2 b2 c1 c1 A b2 11 a2 b2 c2 c2 c3 12 a2 b2 c3 13 a3 b1 c1 a3 c1 b1 14 a3 b1 c2 c2 c3 15 a3 b1 c3 16 a3 b2 c1 c1 b2 17 a3 b2 c2 c2 a4 c3 18 a3 b2 c3 19 a4 b1 c1 c1 b1 20 a4 b1 c2 c2 c3 21 a4 b1 c3 22 a4 b2 c1 c1 b2 23 a4 b2 c2 c2 c3 24 a4 b2 c3

  5. Multiplikasjonsformel - Eksempel Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C. Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt. Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog. Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C? Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er: Fra A til B Fra B til C --------------------------------- 1 Bil Bil 2 Bil Tog 3 Tog Bil 4 Tog Tog 5 Fly Bil 6 Fly Tog 7 Båt Bil 8 Båt Tog ---------------------------------

  6. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet Ikke- Ordnet

  7. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Første element kan velges på n måter, andre element kan velges på n-1 måter, osv. Følger deretter av multiplikasjonssetningen. Ordnet Følger av multiplikasjonssetningen. Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger (r1, r2, …, rn) hvert element er valgt ut.  ri = s Resultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementer kan velges mellom s+n-1 posisjoner. Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging, men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kan ordnes på nå skal betraktes som like. Ikke- Ordnet

  8. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges høyst en gang Ikke- Ordnet - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges høyst en gang

  9. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d Med tilbakelegging Uten tilbakelegging  = { aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd }  = { ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc } Ordnet  = { aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd }  = { ab ac ad bc bd cd } Ikke- Ordnet

  10. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Eks II: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet - Tipperekke - Nummerskilt - Verv - Permutasjon - Stafettlag - Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon - Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter - Lottorekke Ikke- Ordnet - Måltid

  11. Ordnet med tilbakelegging - Bit Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1. Hvor mange 0-1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? 1 0 n = 2 : Populasjonen består 2 tegn 0 og 1. s = 3 : En 0-1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tegnene har betydning (001 er ulik 010). Med tilbakelegging : Et bit kan velges mer enn en gang (flere av bit’ene kan være like). 000 001 010 011 100 101 110 111

  12. Ordnet med tilbakelegging - Tipperekke Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping? B H U n = 3 : Populasjonen består 3 tegn H,U og B. s = 12 : En tipperekke består av 12 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning (Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…). Med tilbakelegging : Et tippetegn kan velges mer enn en gang, (flere kamper kan ha samme tippetegn).

  13. Ordnet med tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Med tilbakelegging : En person kan delta i mer enn en øvelse. aa ca ab cb ac cc ba bb bc

  14. Ordnet uten tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). Uten tilbakelegging : En person skal ikke delta i mer enn en øvelse. ab ac ba bc ca cb

  15. Ordnet uten tilbakelegging - Verv En forening består av 10 personer. 3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c d e f g h i j n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer). s = 3 : Et styre på 3 skal velges. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har betydning (ulike verv). Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang til det samme styret.

  16. Ordnet uten tilbakelegging - Permutasjon En gruppe består av 3 personer. På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø? a b c n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer). s = 3 : Alle personene skal velges for å plasseres i køen. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av personene har betydning. Uten tilbakelegging : En person kan ikke være plassert mer enn ett sted ad gangen i køen. abc acb bac bca cab cba

  17. Ikke-ordnet med tilbakelegging - Mat En familie på 3 medlemmer går ut for å spise og kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips. Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene (eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)? Pølse p chips c n = 2 : Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips). s = 3 : 3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning. Med tilbakelegging : En rett kan velges av flere personer. ppp dvs 3 pølser ppc dvs 2 pølser og 1 chips pcc dvs 1 pølse og 2 chips ccc dvs 3 chips

  18. Ikke-ordnet uten tilbakelegging - DelegasjonInndeling i 2 grupper En forening består av 10 personer. En delegasjon på 3 personer skal velges. På hvor mange måter kan dette gjøres? a b c d e f g h i j n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer). s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har ingen betydning. Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang til den samme delegasjonen.

  19. Ikke-ordnet uten tilbakeleggingRekkefølge av 2 typer objekter I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite. Røde og hvite kuler er innbyrdes like. På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke? r h h h h h r r h h n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (kuler). s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges (eller 7). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler har ingen betydning. Uten tilbakelegging : En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted ad gangen i rekken. Eks: r-h-h-h-h-h-r-r-h-h Dette er en av rekkefølge-mulighetene og svarer til en av muligheten for å trekke 3 elementer fra en populasjon på 10 elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene).

  20. Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke En lottokupong består av tallene 1,2,3,…,34. En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene. Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto? 1 2 3 … … 34 n = 34 : Populasjonen består 34 elementer (tall). s = 7 : En lottorekke består av 7 tall. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning (2-3-5-7-8-20-29 = 5-3-29-8-7-2-20). Uten tilbakelegging : Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke.

  21. Grupperinger - 2 grupper Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging) på s elementer fra en populasjon på n elementer kan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper: Gruppe nr 1: s1 = s elementer Gruppe nr 2: s2 = n-s elementer Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på:

  22. Grupperinger - 3 grupper En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s1 elementer Gruppe nr 2: s2 elementer Gruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

  23. Grupperinger - r grupper En populasjon på n elementer skal deles i r grupper: Gruppe nr 1: s1 elementer Gruppe nr 2: s2 elementer ….. Gruppe nr r: sr = n-s1-s2-….. -sr-1 elementer Antall måter å sette sammen de r gruppene på:

  24. Grupperinger - Eksempel En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s1 = 5 elementer Gruppe nr 2: s2 = 2 elementer Gruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 = 3 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

  25. Binomialkoeffisient - Definisjon n Binomialkoeffisienten ( ) er definert som: k Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging) som vi kan ta ut av en n-mengde.

  26. Binomialkoeffisient - Egenskaper n Binomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s

  27. Binomialkoeffisient - Pascals trekant Benytter relasjonen: =

  28. Binomialformel

  29. Binomialformel - Bevis

  30. END

  31. Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging. Vi har n elementer. Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger. ….. r1 r2 rn Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r1, r2, …, rn) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha:  ri = s . Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at  ri = s . Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r1+ r2 + … + rn) = n-1+s = n+s-1 antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner. Svaret på dette er: Med egenskapene til binomialkoeffisienter kan det vises at dette også er lik:

  32. Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis I

  33. Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis II

  34. Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis III

  35. Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IV

  36. Binomialkoeffisient - Formelutledning

More Related