KAZANIMLAR

1. SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİM VE ÖĞRETİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARIN ANALİTİK BİR YAKLAŞIMLA İNCELENMESİ

2. KAZANIMLAR • SİMETRİ KAVRAMININ DOĞASI • SİMETRİ KAVRAMININ İLKÖĞRETİM DERS PROGRAMINDAKİ YERİ • SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR • SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİMİNİ NASIL KOLAYLAŞTIRABİLİRİZ • SONUÇ

3. Simetri kavramı matematiğin güncel yaşamındaki en önemli uygulama alanlarından biridir. Doğada,mimaride,sanatta,bitki ve hayvanlar dünyasında simetri düşüncesinin en güzel örneklerini görmekteyiz. En genel anlamıyla simetri kavramını bir dönüşüm ve öteleme hareketi olarak tanımlamak mümkündür.

4. Matematik öğretiminde kullanılabilecek bir tanım şu şekilde verilebilir: Simetri,bir geometrik şeklin veya matematiksel cismin esasını ve özelliklerini muhafaza ederek yansıma,döndürme ve öteleme hareketleri altında aynı/farklı, düzlemde/uzayda yeniden konumlandırılması eylemidir.

5. Simetri kavramının matematik programında geniş bir yer tuttuğunu görmekteyiz. Bunlardan bazıları : • Üçgenlerde eşlik • Katı cisimlerin hacimleri • Fonksiyonlar • İzomorfik cebirsel yapılar • Topolojik uzaylar

6. Simetri kavramının gerek matematik disiplini içerisinde gerekse güncel yaşamda bütünleştirici bir işlevi vardır. • Simetri kavramını önemli kılan birçok sebep vardır: 1) İnsanların içerisinde yaşamış oldukları doğayı ve çevreyi anlamak için simetri düşüncesine duydukları ihtiyaçtır. Güneş ve gezegenler sonsuz tane simetri ekseni olan kusursuz simetrik kürelerdir. Simetri kavramını kar tanelerinin yapısında,eğrelti otu ve papatya gibi birçok bitki ve çiçekte,kelebekler gibi birçok canlının yapısında görmek mümkündür.

7. 2) Bu düşüncenin ilköğretimden üniversiteye kadar her düzeydeki matematik ders programında bir şekilde yer alıyor olmasıdır. Geometrik manası itibariyle simetri kavramı bir şeklin veya cismin belli bir eksen etrafında yansıtılması,döndürülmesi ve ötelenmesi eylemidir.

8. Simetri konusunda sahip olunan bilgiler analitik geometri ile düzlem ve uzay geometrisi kapsamında okutulan birçok konunun öğrenimi için oldukça önemlidir. • Analitik geometri konularının öğrenim ve öğretiminde doğru ve noktaya göre simetri düşüncesi aktif olarak kullanılmaktadır. • Katı cisimlerin hacimleri tanıtılırken döndürme simetrisi kullanılmaktadır.

9. Simetri kavramının disiplinler arası bir işlevi de bulunmaktadır. Biyologlar,kimyacılar ve fizikçiler kendi aralarında simetri kavramını kullanmaktadırlar. Fizik disiplini içerisinde optik ve dalgalar konusu simetri kavramının en sık kullandığı alanlardandır. Biyoloji ve tıp bilimlerinin konusu olan insan anotomisi tamamen simetrik bir yapıdadır. Dolayısıyla, öğrencilerin fen bilimleri kapsamında öğretilen birçok konuyu anlayabilmeleri için gelişmiş bir simetri düşüncesine sahip olmaları gerekir. Sonuç olarak simetri kavramı sadece matematikte kullanılan bir kavram değildir. Bu kavramla birçok alanda karşılaşmaktayız.

10. Simetri konusunda yeterli bilgiye sahip olmak öğrencilerin söz konusu alanlardaki başarılarında da belirleyici olacaktır. Bununda ötesinde,öğrenciler evrendeki dengeyi ve doğal yapılardaki mükemmellikleri kavrayabilmek,sanat eserlerindeki güzellikleri görebilmek ve estetik duygular geliştirebilmek için simetri düşüncesine ihtiyaç duyarlar.

11. SİMETRİ KAVRAMININ DOĞASI Literatüre baktığımızda simetri kavramına değişik açılardan yaklaşıldığını ve farklı tanımlamaların yapıldığını görmekteyiz. .

12. Fen bilimcisi olan Rosen(1995,s.2) simetri kavramını ‘’olası bir değişiklikten etkilenmeme’’ olarak tanımlamaktadır. Bu ifade simetri kavramının esasını ve özelliklerini tam olarak açıklamamakla birlikte simetrinin önemli bir özelliği olan cisimlerin yapısının değişmediğine vurgu yapan bir tanımdır.

13. Özet olarak simetri kavramının bir dönüştürme hareketi olduğunu,dolayısıyla simetrisinin bir tür fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz.(Dreyfus&Eisenberg,1990). Geometri kapsamında ele alındığı şekliyle dört tür simetri vardır: • Yansıma simetrisi • Merkezi simetri • Dönme simetrisi • Öteleme simetrisi

14. YANSIMA SİMETRİSİ • Doğruya göre simetri veya ayna simetrisi olarak da adlandırılır. • Şekil ile simetriği eş büyüklüktedir ve temel özellikleri itibariyle birbirinin aynıdır. • Her ikisi de simetri ekseninden eşit uzaklıktadır. • Şekil ile simetriği arasında konum farkı vardır. Yansıma simetrisini diğer simetri türlerinden ayıran en temel özellik yansımanın bir simetri eksenine göre yapılıyor olmasıdır.

15. Aşağıdaki şekilde dikey,yatay ve eğik düzlemler içerisinde yansıma simetrisi örnekleri görülmektedir. Yansıma simetrisi dönme ve öteleme simetrilerinin mantığını içerir.

16. Merkezi Simetri Noktaya göre simetri olarak ta adlandırılır.Bir noktaya göre yansıma yapılarak veya alınan noktanın etrafında şekli 180 derece döndürerek simetriği elde edilir. 0

17. DÖNME SİMETRİSİ Dönme hareketi bir çember hareketidir. Bir şekil kendi merkezi etrafında döndürüldüğünde 360⁰ den küçük açılı dönmelerde en az bir defa kendisi ile çakışıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir.

18. Aşağıdaki şekilde dönme simetrisi örnekleri görülmektedir.Şekil saat yelkovanı yönünde veya tersi yönde 120 derece döndürüldüğünde başlangıçtaki konumunu almaktadır.

19. ÖTELEME SİMETRİSİ Bir geometrik şeklin veya cismin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde kaydırılması hareketine öteleme simetrisi denir.Bir şeklin kendisiyle öteleme altındaki görüntüsü eş büyüklüktedir. Ötelenen şekil esası ve temel özellikleri itibariyle herhangi bir değişime uğramamaktadır.

20. AŞAĞIDAKİ ŞEKİLDE BİR ÖTELEME SİMETRİSİ ÖRNEĞİ GÖRÜLMEKTEDİR.

21. SİMETRİ KAVRAMININ İLKÖĞRETİM DERS PROGRAMINDAKİ YERİ 2005-2006 öğretim yılında uygulamaya konulmuş olan İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programında (MEB,2005) simetri kavramının temeli,eşlik kavramı ile birincisınıfta anlatılmaktadır. Bu düzeyde daha çok öğrencilerin simetri kavramına ilişkin sezgi yoluyla düşünceler geliştirmeleri amaçlanmaktadır.

22. İkinci sınıftan itibaren simetri kavramı alt öğrenme alanı olarak belli bir gelişim gözetilerek işlenmektedir. 4. ve 5. sınıf düzeyinde öğrencilerin geometrik şekillerin birden fazla simetri eksenine sahip olabileceği düşüncesi ile verilen şekillerin simetriğini oluşturma için gerekli becerileri elde etmeleri amaçlanmaktadır.

24. SİMETRİ KAVRAMININ ÖĞRENİMİNDE KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR

25. Öğrencilerin güncel yaşamlarında bu düşüncelerle sürekli karşılaştıklarını, simetri kavramına ilişkin gözlemlerde bulunduklarını ve hatta bu kavramları kullanarak uygulamalar yaptıklarını söyleyebiliriz. Örneğin, aynanın karşısına geçip kıyafetini düzelten öğrenci kendi yaşamında yansıma simetrisinin uygulamasını yapmaktadır. Düz bir yolda arabayla seyahat eden öğrenci arabanın aynı doğrultuda ve yönde sürekli konum değiştirmesine karşın şekil ve büyüklük itibariyle arada bir değişimin oluşmadığını bizzat yaşamaktadır ki buda öteleme simetrisinin uygulamasında başka bir şey değildir.

26. Güncel yaşamımızda kullandığımız ,doğada bizzat tecrübe ettiğimiz , resim ve mimari gibi sanat eserlerinde örneklerini gördüğümüz simetri kavramının öğreniminin oldukça kolay olması beklenir. Ancak yapılan çalışmalar öğrencilerin bu kavramı öğrenirken büyük sorunlar yaşadıklarını göstermektedir. Öğrenci zorluklarını incelemeye başlamadan önce bireydeki simetri düşüncesinin gelişimine ilişkin teorik görüşler ve araştırma sonuçları paylaşılacaktır.

27. Bu yaklaşımlar sırasıyla aşağıda verilmiştir: 1.Global Düzey: Bu düzeydeki öğrenciler verilen geometrik nesneyi bir bütün olarak algılayabilir,nesnelerin parçalarına yoğunlaşmadan ve açı veya uzaklık gibi referanslar kullanmadan nesneyi bir bütün olarak simetri ekseni içerisinde yansıtabilirler. 2. Yarı AnalitikDüzey: Bu bilişsel düzeydeki öğrenciler ilk olarak verilen bir nesnenin bir parçasının simetri ekseni içerisindeki yansısını bulmaktadır. Daha sonra ise yansıttıkları parçayı referans olarak kabul edip uzaklık,açı ve eğim gibi faktörleri de dikkate alarak başlangıçtaki şeklin geri kalan parçalarını dasimetri ekseni içerisinde yansıtarak şeklin tamamının simetriğini elde etmeye çalışmaktadır.

28. 3.Analitik Düzey: Bu düşünce düzeyini yakalamış olan öğrenciler yansıtma işlemini verilen cismin kritik noktalarını referans alarak gerçekleştirirler. Öncelikle verilen şeklin köşe noktalarının simetri ekseni içerisindeki yansılarını bulurlar ve daha sonrada bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek şeklin tamamının simetriğini elde eder. 4.Analitik-Sentetik Düzey: Bu seviyedeki öğrenciler ilk üç düzeyde açıklanan düşünsel yaklaşımları koordineli bir biçimde kullanarak verilen şekillerin simetriğini bulabilirler.

29. Global ve Yarı-Analitik düzeydeki öğrencilerin soyut düşünebilme yetenekleri henüz gelişmemiştir. Bu öğrenciler simetri kavramını öğrenirken kağıt katlama gibi somut materyallerin kullanıldığı bir takım etkinliklere ihtiyaç duyarlar. Analitik ve Analitik-Sentetik düzeydekilerin soyut düşünebilme yetenekleri gelişmiştir;dolayısıyla bu düzeydeki öğrenciler simetri aynaları kağıt katlama etkinlikleri gibi yardımcı materyallere ihtiyaç duymadan simetri kavramını kullanarak problem çözümleri yapabilirler.

30. Çalışma sonuçları incelendiğinde yansıma simetrisine ilişkin öğrenci zorluklarının ve yanılgılarının dört temel alanla ilişkili olduğu görülmektedir. Bunlar : • Verilen şekillerin simetri ekseninin/eksenlerinin tespiti • Şekillerin eğik simetri eksenleri içerisindeki yansılarının bulunmasında yaşanan güçlükler • Simetrik şekillerin inşasında şekiller arası uzaklık ayarının yapılmasında yaşanan zorluklar • Eşlik ve benzerlik kavramına ilişkin bilgi eksikliğinden kaynaklanan kavram yanılgıları

31. Simetri Eksenini Belirlemede Karşılaşılan Zorluklar ve Kavram Yanılgıları

32. Öğrencilerin bir geometrik şeklin sadece bir tane simetri ekseninin olabileceği gibisinden kısıtlı bir algıya sahip oldukları görülmektedir. Köse ve Özdaş’ın (2009) çalışmasında yer alan ilköğretim beşinci sınıf öğrencileri kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen gibi düzgün simetrik şekillerin simetri eksenlerini bulmada çok zorlanmamışlardır. Ancak bu öğrenciler aşağıdaki gibi düzgün olmayan şeklin simetri eksenlerini çizmeleri istenildiğinde bu şeklin sadece bir tane dikey simetri eksenlerinin olabileceği gibisinde kısıtlı bir algı sergilemişlerdir.

33. Her geometrik şeklin mutlaka simetri ekseni vardır düşüncesi öğrenciler arasında oldukça yaygındır. Böyle bir yanlış algının gelişiminde okullarda verilen geleneksel eğitimin etkisi olabilir; çünkü geleneksel yaklaşımda öğrenciler daha çok simetrik şekiller üzerinde çalıştırılmakta ve bu şekillerin simetri eksenlerini çizmeleri istenmektedir.

34. Köse ve Özdaş’ın (2009) çalışmasında yer alan bazı öğrenciler bir paralel kenarın simetri eksenini aşağıdaki şekillerde çizmişlerdir.

35. Bir şeklin simetri ekseninin olabilmesi için çizilecek eksen boyunca katlandığında şeklin parçalarının bütün noktaları itibariyle örtüşmesi gerekir. Bu açıdan bakıldığında bir paralel kenarın simetri ekseninin olamayacağı açıktır. Ancak, yukarıdaki şekilde öğrencilerin farklı hatalar yaptıkları görülmektedir. Birinci ve ikinci resimde öğrencilerin benzer ve eş büyüklükte parçalar oluşturacak şekilde simetri eksenleri çizdikleri görülmektedir. Üçüncü şekilde ise ‘’simetri ekseninin dikey veya yatay doğrular olması gerektiği’’ yanlış algısının izleri görülmektedir.

36. Şekillerin ve Simetri Ekseninin Konumundan Kaynaklanan Zorluklar ve Yanılgılar: Dikey/Yatay Nesnelerin Simetriği de Dikey/Yataydır Türünden Düşünceler

37. Öğrenciler arasında yaygın olan bir diğer kavram yanılgısı da dikey/yatay nesnelerin simetri eksenindeki yansılarının da dikey/yatay konumlarda olacağı düşüncesidir. Aşağıdaki şekilde bu yanılgının örneği görülmektedir. 1 2

38. 1) Aşağıdaki şekilde ise dikey şekillerin eğik simetri eksenleri içerisindeki yansılarına ilişkin hatalı örnekler görülmektedir. Bu tür durumlarda öğrenciler çoğunlukla dikey şekillerin simetriği de dikey olmalıdır yanlış algısını sergilemektedir. Doğrusu 2) Doğrusu

39. Şekilde simetri ekseninin eğik olduğu durumlarda hataya sebep olan en temel sebep global (nicel) algı düzeyinin ötesine geçememiş olmaktır. Bu tür zorlukların üstesinden gelebilmek için öğrencilerin analitik veya analitik-sentetik algı geliştirmeleri şarttır.

40. Simetrik Şekillerin İnşasında Eşit Uzaklıkların Belirlenmesinde Karşılaşılan Zorluklar • Bir noktanın izdüşümü bulunurken verilen noktadan simetri doğrusuna dikme inilir. Dikmenin simetri eksenini kestiği noktadan başlangıç noktasına olan uzaklık kadar daha ilerlenerek başlangıçtaki noktanın izdüşümü tespit edilir. • Bazı öğrenciler bu tekniği eğik simetri ekseninin verildiği ortamlarda uygularken hatalar yapabilmektedirler. Bu hataların sonucu olarak oluşan hataları bir kaç örnekle verelim.

42. Eşlik ve Benzerlik Konularındaki Bilgi Eksikliğinden Kaynaklanan Yanılgılar • Simetrik şekiller eştirler ve bu şekiller arasında benzerlikte söz konusudur. Ancak, benzer olan şekiller eş olmak zorunda değillerdir. Dolayısıyla benzer olan şekiller arasında simetriklik söz konusu olmayabilir.

43. Eşlik ve benzerlik konularındaki bilgi eksikliğinden kaynaklanan yanılgı örneği.

44. Yapılan mülakat neticesinde bu iddiada bulunan öğrencilerin global (nicel) ve analitik düşünsel yaklaşımları koordineli bir şekilde kullanmadıkları anlaşılmıştır. Kimi öğrencilerin global bir algıyla sadece üçgenler arasındaki benzerliğe odaklandıkları, kimilerinin ise üçgenlerin köşe noktalarının simetrik oldukları kanısından hareketle şekilleri simetrik kabul ettikleri görülmüştür. • Halbuki öğrenciler analitik bir yaklaşımla verilen üçgenin köşe noktalarından simetri doğrusuna dikmeler inselerdi bu dikmelerin diğer üçgenin köşe noktalarından geçmediğini görecek ve dolayısıyla da üçgenlerin simetrik olmadıklarını anlayacaklardı.

45. Eşlik ve benzerlik konularındaki bilgi eksikliğinden kaynaklanan yanılgının giderilmesi için analitik yaklaşımın nasıl kullanılacağına ilişkin bir etkinlik örneği.

46. Simetri Kavramının Öğrenimini Nasıl Kolaylaştırabiliriz? • Matematiksel kavramların ifadesinde somut materyaller, şekiller, şemalar, matematiksel modeller, semboller ve benzeri gösterim biçimlerinin kullanılması öğrenme süreci açısından oldukça önemlidir. • Yeni matematik ders programında kavramsal öğrenmenin önemi vurgulanmaktadır.(MEB, 2005).

47. Simetri kavramının öğrenimini kolaylaştıracağına inandığımız etkinlik temelli öğretim modelinden ve bu bağlamda üç temel yaklaşımdan bahsedeceğiz. • Bu yaklaşımlardan birincisi doğadan ve güncel hayattan örneklerin kullanımını içermektedir. • Simetri kavramı yaşamı ve matematiği bir araya getirerek matematiği öğrenciler için çok daha anlamlı kılan en temel konularından bir tanesidir.

48. Bu kavramın öğretimi için simetrik görüntüye sahip birçok hayvan, bitki, el sanatları(kilim desenleri vs.), mimari yapılar, tablolar ve doğa resimleri kullanılabilir ve böylece öğrencilerin simetri kavramına ilişkin sahip oldukları informal bilgileri aktive edilip yeni öğretilecek formal bilgiler için bir alt yapı oluşturabilir. Örneğin, aşağıdaki resimde yansıma simetrisinin çok güzel bir örneği görülmektedir.

50. Amaçlı sorgulamalarla öğrencilerin dikkatleri resmi oluşturan parçalara yoğunlaştırılabilir ve simetrik olan parçaları bulmaları, bu parçaların simetri eksenine olan uzaklıklarını ve aralarındaki açı farkını tespit etmeleri istenebilir. Böylece yarı analitik ve hatta analitik düzeyde bir zihinsel beceri geliştirmelerine katkı yapılabilir. • Simetri kavramının öğretiminde kullanılabilecek ikinci temel yaklaşım ise manipülatiflerin-somut(simetri aynası) ve yarı-somut (noktalı, kareli kağıtlar materyaller- kullanıldığı etkinlik ve uygulama temelli öğretim yaklaşımıdır.