1 / 20

Understanding Electronic States of Atoms: The Hydrogen Atom & Orbitals

Explore central-force problems, solve angular momentum challenges, Schrödinger equation for H-atom & H-like atoms, using spherical polar coordinates. Understand central-force systems, quantum solutions, and eigenvalue equations. Quantize angular momentum and solve wave functions.

jannaa
Download Presentation

Understanding Electronic States of Atoms: The Hydrogen Atom & Orbitals

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 3. The Electronic States of Atoms. I. Hydrogen Atom and the Simple Obital Approximation for Multielectron Atoms Principal Facts and Ideas Objectives • Understand principal properties of central-force problem • Solve problems : angular momentum of a single particle • 3. Understand the solution of the SchrÖdinger eq. for H-atom, • H-like atoms

  2. จะพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยค่าพลังงานศักย์ขึ้นกับระยะทาง ระหว่างสองอนุภาค เรียกระบบนี้ว่า “central force system” ตัวอย่างเช่น อะตอมไฮโดรเจน .... 3.1 The Hydrogen Atom System hydrogen atom (H) ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (single proton) (proton, Z=n) He+ (1 e, Z = 2) Li2+ (?)

  3. Hydrogen-like atom ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (proton, Z=n) ze Electron r zp Nucleus (proton) yp ye xp xe ภาพที่ 3.1 System consisting of a nucleus and an electron coordinate ของ nucleus : xp , yp , zp coordinate ของ electron : xe , ye , ze

  4. Potential energy ของ Hydrogen-like atom : _ _ _ (3.1) = permittivity of the vacuum (8.854518 x 10-12 N-1m-2) = distance between the particles _ _ _ (3.2) x = xe - xp y = ye - yp z = ze - zp _ _ _ (3.3a) _ _ _ (3.3b) _ _ _ (3.3c) x , y , z เรียกว่า relative coordinates :

  5. coordinates of the center of mass : _ _ _ (3.4a) _ _ _ (3.4b) _ _ _ (3.4c) โดยที่ M = me + mp • potential en. ขึ้นกับค่า r เท่านั้น ( r ระหว่าง 2 อนุภาค ) • “central force” • apply กับระยะทางของ hydrogen atom

  6. The Central - Force Hamiltonian _ _ _ (3.6) _ _ _ (3.7) = ความเร็วของ proton , electron = ความเร็วของ center of mass และ relative velocity • พิจารณาการสร้าง Hamiltonian operator สำหรับ two-particle • system • Kinetic en. (K) แสดงโดย velocity ของอนุภาค (velocity of • center of mass)

  7. (reduced mass) : _ _ _ (3.8) ในการสร้าง Hamiltonian operator จะแสดง K.E. ในเทอมของmomenta • momenta conjugate to center of mass

  8. momenta conjugate to relative coordinate _ _ _ (3.9) _ _ (3.10) _ _ _ (3.11) The classical Harmiltonian operator คือ จาก postulate III และจาก

  9. สมการ (3.10) แสดงได้ดังนี้ _ _(3.12) _ _ _(3.13) เทอมแรก เทอมที่สอง+สาม = center-of-mass Laplacian = relative Laplacian เทอมแรก “center-of-mass Hamiltonian” เทอมที่สอง+สาม “relative Hamiltonian”

  10. _ _ _(3.14) separate the variables _ _ _(3.15) _ _ _(3.16) _ _ _(3.17) center-of-mass terms จะแยกจาก relative terms เขียน time-independent SchrÖdinger equation :

  11. E = Ec + Er _ _ _(3.18) eigen energy E : Note : center of mass do not occur in relative Hamiltonian and V depends only on r (separation of variable)

  12. การแก้ปัญหาใน SchrÖdinger eq. จะมีการ transform cartesian coordinates spherical polar coordinates Z r Y X Solution of the Relative SchrÖdinger Eq. ภาพที่ 3.2 Spherical polar coordinates

  13. _ _ _(3.19) (Appendix B. Mortimer) relative SchrÖdinger eq. _ _ _(3.20) แสดง Laplacian eq. ได้โดย

  14. และ _ _ _ (3.21) _ _ _ (3.22) Note :angular momentum ( ) is contained in the Hamiltonian op. จาก angular momentum ( L ) (3.20)แสดงได้เป็น

  15. solve by separation of variables _ _ _ (3.23) แทนค่า ใน (3.22) และคูณด้วย จะได้ r แยกจาก variables อื่น _ _ _ (3.24) “eigen-value equation” ( ค่าคงที่ = K )

  16. _ _ _ (3.24a) separate _ _ _ (3.24b) The Angular Factors in the Wave Function จาก (3.24) และ (3.21)

  17. แทนค่า Y ใน (3.24a) แล้วคูณด้วย _ _ _ (3.24c) ( = constant or -m2 ) _ _ _ (3.24d) โดย เป็นค่าคงที่ range ระหว่าง 0 ถึง 2¶ จะ continuouse เมื่อ m ต้องเป็นค่า integer solution คล้ายคลึงกับ one-particle in the box

  18. _ _ _ (3.25) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation” solve ได้เป็น angular momentum “quantization”

  19. Ex : Interpreting a wave function. The wave function of an electron in the lowest energy state of a hydrogen atom is , with a0=52.9 pm and r the distance from the nucleus . Calculate the relative probabilities of finding the electron inside a small volume of magnitude 1.0 pm3 located at (a) the nucleus , (b) a distance a0 from the nucleus. (a) At the nucleus , r=0 , and so

  20. (b) At a distance r=a0 in an arbitary direction,  the ratio of probabilities is 1.0 / 0.14 = 7.1 electron will be found at the nucleus than at the distance a0 from the nucleus

More Related