A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika

1. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI 2009-2010.

2. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: N Egész számok: Z (N + 0 + negatív számok) Racionális számok: Q (Z + véges törtek) Valós számok: R (Q + irracionális számok) Komplex számok: C (R + képzetes számok)

3. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: 1;2;3... Egész számok: ...;-2;-1;0;1;2;... Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01 Valós számok: 1; ½; 3,1415...; 2,71828... Komplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; ejπ Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy senki ne legyen a buszon?

4. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek tulajdonságai kommutativitás: • összeadás: a+b=b+a • szorzás: ab=ba asszociativitás: • összeadás: (a+b)+c=a+(b+c) • szorzás: (ab)c=a(bc) disztributivitás: • szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+ac

5. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szorzatok (a+b)2 =a2+b2+2ab (a-b)2 =a2+b2-2ab (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 (a+b)(a-b) =a2-b2 Zárójel felbontása: a-(b+c-d)=a-b-c+d (a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd

6. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: Megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét. Az összevonandó tagokat egyenként úgy bővítjük, hogy a meghatározott legkisebb közös többszörös legyen a nevező. Az eredmény számlálóját az így kapott számlálok összevonásával kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb közös többszörös lesz.

7. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 1. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3; 2*3*3=18 Az összevonás eredménye:

8. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 2. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=36 Az összevonás eredménye:

9. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 3. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: a-b, (a2-b2)=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a2-b2 Az összevonás eredménye:

10. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek szorzása: Az eredő számláló a számlálók szorzata, az eredő nevező pedig a nevezők szorzata lesz. 1. példa 2. példa

11. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek osztása: Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk. 1. példa 2. példa

12. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet Általános alakja: ax+b=0 , ahol a≠0Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezéssel érhetjük el. ax+b=0 l(-b) ax=-b l:a x=-b/a az egyenlet megoldása

13. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlőséget kapunk.x=-b/a az egyenlet megoldása. Behelyettesítve:a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0

14. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l (-x+11) 2x= 6 l :2 x=3Ellenőrzés: 2*3-22+3+11=2*3-5-3 6-22+3+11=6-5-3 -2=-2 egyenlőség!

15. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 2. példa:2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33)-2x=+28 l :(-2)x=-14Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

16. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 3. példa:2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33)-2x=+28 l :(-2)x=-14Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

17. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 4. példa:(9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14(9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l -49+4-14x és összevonás 51x=459 l :(51) x=459/51=9Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9 88/2+7/7=45 45=45 egyenlőség!

18. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 5. példa:16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x , feltéve, hogy x≠0 és x≠3/516x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 • Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség!

19. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései:- eltávolítjuk a törteket,- elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket,- rendezzük az egyenletet,- összevonunk,- elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt,- elvégezzük az ellenőrzést.

20. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: • a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x-a=c l(+a) x-a+a=c+a x=c+aPélda: x-12=27 l(+12) x-12+12=27+12 x=39

21. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: • b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a) x=caPélda: x/12=27 l(*12) (x/12)*12=27*12 x=324 12x=36 l(:12) 12x/12=36/12 x=3

22. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: • c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. x-1=0 l ( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0egyenletnek gyöke az x1=1 , de gyöke az x2=-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig! Példa: 3x/(x+2)=2 l (*(x+2) 3x=2*(x+2) 3x=2x+4Ekkor az x=4gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.

23. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Általános alakja:ax2+bx+c=0 , ahol a#0A fenti alakot vegyes másodfokú egyenletnek nevezzük.Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet:ax2+c=0Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos másodfokú egyenletet:ax2+bx=0

24. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax2+c=0 x2=-c/a rendezés utánA két gyököt különválasztva:Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.

25. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása:Példa: 5x2-12=0 x2=12/5=2,4 rendezés utánA két gyököt különválasztva:

26. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet:ax2+bx=0 az egyenletből x-et kiemelvex(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla:x1=0 az egyik gyök,vagy ax+b=0 x2=-b/a a másik gyök.

27. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet:3x2+5x=0az egyenletből x-et kiemelvex(3x+5)=0kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla:x1=0az egyik gyök,vagy3x+5=0 x2=-3/5a másik gyök.

28. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet:ax2+bx+c=0 , ahol a#0Az egyenlet megoldó képlete:A két gyök:

29. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet:8x2+2x-1=0Az egyenlet megoldó képlete:A két gyök:

30. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns, a b2-4ac kifejezés határozza meg: a.) ha b2-4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van b.) ha b2-4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b2-4ac<0 nincsenek valós gyökök (csak komplexek)

31. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között:ha az ax2+bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van:Adjuk össze a két gyököt: x1+x2=-b/aszorozzuk össze őket: x1*x2=c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor:x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk.

32. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk:legyen x1=4, x2=-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a • Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=0 , azazx2+(-2)x+(-8)=0x2 -2x -8=0

33. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:az x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján:x2+(-(x1+x2))x+x1*x2=0megfelelő átalakítások után:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)a-val osztva: x2+(b/a)x+c/a = (x-x1)(x-x2) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.

34. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk:legyen x1=4, x2=-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=(x-x1)(x-x2)=0 , azazx2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0x2+(b/a)x+c/a=x2-4x+2x-8=0 x2+(b/a)x+c/a=x2 -2x-8=0 tehát amásodfokú egyenlet: x2 -2x-8=0

35. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Polinomok Polinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Példa: ax3+bx2+cx+d Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet vagy függvényt kapunk. Pl. ax3+bx2+cx+d=0. Az egyenlet megoldásait nevezzük a polinom gyökeinek (vagy zérushelyeinek). Az algebra alaptétele: A komplex számok körében egy nem konstans polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad fokú. (A fokszám a legnagyobb hatványkitevő.) A fenti példának tehát 3 gyöke van. A gyökök között lehetnek azonosak is (multiplicitás).

36. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a1x+b1y=d1a2x+b2y=d2Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a két egyenlet egymástól független (vagyis az egyik nem hozható létre a másikból konstanssal való szorzással) és nincs ellentmondásban egymással.

37. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Helyettesítő módszer:valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

38. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I) x-2y=-4 (II) 2x+y=-3Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be 2(2y-4)+y=-3 4y-8+y=-3

39. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l összevonás 5y-8=-3 l +8 5y=5 l :5y=1 ---------------behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4x=-2

40. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba):(I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1

41. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

42. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I) 5x+3y=19 (II) 6x-2y= 6 ------ --------------minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I) 5x+3y=19 l*6 (II) 6x-2y= 6 l*5 ------ --------------

43. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I) 30x+18y=114 (II) 30x-10y= 30 l*5 ------ -------------- (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2

44. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba):(I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3

45. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével vannak összekötve: > nagyobb < kisebb ≠ nem egyenlő > < nagyobb vagy kisebb ≤ nagyobb vagy egyenlő ≥ kisebb vagy egyenlő >, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem szigorú.

46. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Példák: a>b a<b a≠b a> <b a≤b a≥b

47. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 1. Megfordítás: Ha a>b, akkor b<a. 2. Tranzitivitás: Ha a>b és b>c, akkor a>c 3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy kivonása mindkét oldalból: Ha a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-c

48. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 4. Egyenlőtlenségek összeadása: Ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d (megegyező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek) 5. Egyenlőtlenségek kivonása: Ha a>b és c<d, akkor a-c>b-d (ellenkező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek!)

49. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai: 6. Egyenlőtlenségek szorzása és osztása: Ha a>b és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c (pozitív szorzótényező: megegyező értelmű eredmény) Ha a>b és c<0, akkor ac<bc és a/c<b/c (negatív szorzótényező: ellenkező értelmű eredmény)

50. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a<b típusú egyenlőtlenségek megoldása: Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen azon értékeit, amelyekre az egyenlőtlenség igaz. Példa 1: 5x+3<8x+1 5x-8x+3<1 5x-8x<1-3 -3x<-2 x>2/3