Representação do E-T : diagramas de Minkowski

1. Representação do E-T : diagramas de Minkowski • eventos ( transitórios ) • linhas de mundo ( duradoura no t ) • cones de luz ( raios de luz) um observador recebe sinais de luz que vêm do passado e transmite sinais de luz para o futuro

2. cada observador tem o seu cone de luz Informações chegam ao observador com v  c eventos que foram observados estão dentro ou no cone de luz do passado eventos influenciados pelo observador deverão ficar dentro ou no cone de luz do futuro

3. t x= ct x= - ct cone de luz A futuro B • AO = time-like • OB = light-like • OC = space-like C x O presente passado Somente os eventos que estão dentro ou sobre o cones de luz de um dado observador fazem parte da linha de mundo deste observador Tipos de intervalo de E-T: • d2 > 0 : time-like → pode situar-se sobre a linha de mundo • de um dado observador v < c • d2 = 0 : light-like → pode situar-se na linha de mundo • de um raio de luz → eventos de separação nula • (geodésica nulas) v = c • d2 < 0 : space-like → não pode situar-se sobre a linha de mundo • de um dado observador v > c

4. Como d = 0 para um sinal luminoso ds= c dt ds2=dx2+dy2+dz2 (distância própria= euclidiana) Definição : DISTÂNCIA PRÓPRIA Distância medida entre 2 eventos : mede-se o tempo que um sinal de luz leva de A para B dD = c dt

5. >  d=1000 anos-luz Trajetórias no E-T Distâncias entre dois pontos no E-T não são medidas como distâncias entre dois pontos no espaço ordinário d(E-T)2=c2dt2-ds2 Distância menor entre dois eventos NÃO é uma linha reta no E-T tempo = espaço Para a luz: t= 1000 anos (E-T)=0 luz invariante!!!

6. Seja uma linha de mundo reta que conecta dois eventos a e b • Seja um caminho alternativo acb • onde a partir de c formam-se os cones de luz • que interceptam a e b Na folha de papel a distância acb > distância ab Mas... no E-T distância acb=0 !!! distância ab é o maior caminho Entre os dois eventos!!! Caminhos alternativos + próximos aacbsão < caminho retoab Paradoxo dos gêmeos Ler na apostilha demonstração usando métrica de Minkowski

7. PARADOXO DOS GÊMEOS O tempo próprio de um corpo mede-se ao longo da sua linha de mundo  idade = comprimento de linha de mundo adb leva tempo menor do que ab O tempo medido é  ao comprimento da linha de mundo medida no E-T

8. P Q O Gêmeos A e B nasceram juntos  suas linhas de mundo começam no mesmo evento • O gêmeo B viaja durante 6 anos (ida e volta) com v=0.8c • (tempo marcado por B) • O gêmeo A continua em repouso em relação à Terra Quantos anos se passaram para A ? Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos OP = linha de mundo de A OPQ= linha de mundo de B coordenadas dos eventos: O  (0,0) Q  (tQ,xQ) P  (tP,0) considerando: tQ=tP/2 xQ=vtQ=vtP/2 Separação entre os dois eventos O e Q:

9. Paradoxo: se o nosso sistema de coordenadas estivesse em B A seria o viajante  t seria menor para A ?? situação de A e B NÃO são simétricas Experimento: tempo de vida intrínseco medido ao longo da sua linha de mundo decaimento  (decai em 10-3 s) • move-se relativisticamente em relação a nós tempo de vida maior! t decaimento 1/(1-V2/c2)1/2 (V=0.9998c) tdecaimento (observado) = 50 tdecaimento

10. Análise da gravitação... O princípio da Equivalência F gravitacional e F inercial produzem efeitos indistinguíveis 1o passo p/ TRG conexão entre movimento e gravidade geometria e gravidade tem algo em comum 2o passo p/ TRG

11. Um cenário mais simples... Seja um laboratório sem janelas no espaço 1a situação: lab está longe da estrela + próxima g ~ 0 move-se livremente: F inercial = 0 F=ma experimentos feitos dentro do lab Lab em estado inercial

12. 2a situação: lab passa perto da estrela + próxima experimentos feitos dentro do lab lab continua em estado inercial lab segue uma órbita em queda-livre Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0 Conclusão: neste caso não dá para distinguir força inercial da gravitacional

13. TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais (não acelerados) Mas se os experimentos não conseguem distinguir entre Finercial e Fgravitacional pode-se usar a TRE em sistemas em queda-livre TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais + sistemas em queda-livre

14. “Newtonianamente” falando... Na queda-livre: massa inercial = massa gravitacional mi e mg : massas inercial e gravitacional do lab Princípio da equivalência newtoniano

15. “Einstenianamente” falando... Aceleração do lab em queda livre cancela completamente o efeito da gravidade NÃO SÓ DINAMICAMENTE!! Mecânica newtoniana MAS EM QUAISQUER EXPERIMENTOS FÍSICOS TRE usada em sistemas inerciais e em queda-livre

16. Geometria e gravidade Superfícies curvas são análogas à gravidade

17. Outros termos... Corpos com V constante  descrevem linhas retas no E-T plano de Minkowski da TRE Corpos em queda livre no mesmo E-T de Minkowski possuem linhas de mundo curvas Mas e a equivalência entre sistemas inerciais e em queda-livre??? Não teriam ambos linhas de mundo retas??? Abandono do E-T plano para encontrar uma teoria na qual gravidade altera a geometria do E-T tal que todos os corpos em queda-livre descrevam linhas de mundo retas Mundo Newtoniano de linhas de mundo curvas Linhas de mundo retas (geodésicas) num E-T curvo

18. Uma pequena complicadinha... Forças de maré Cenários descritos anteriormente para demonstrar o princípio da equivalência são idealizações... • Somente pontos no espaço vão ser inerciais • (movimento inercial raramente existe!!!) • Princípio da equivalência só é verdadeiro num campo • gravitacional UNIFORME Gravidade não é nunca uniforme

19. Seja um corpo sólido que se move sob a ação da gravidade Força de maré : resultante da força gravitacional não uniforme Centro de massa é o único realmente em queda-livre

20. Princípio da equivalência aplicável só a regiões de volume extremamente pequenos... Leis da física são expressas em termos de equações diferenciais Lab extremamente pequeno...

21. Forças de maré e variações na curvatura Retângulo = variação de K com a posição e com o tempo = simula lab em queda- livre com um campo gravitacional não uniforme e que varia com t Princípio da equivalência aplica-se somente a regiões infinitesimais Geometria euclidiana pode ser usada somente em regiões pequenas de uma superfície curva

22. TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL Universo newtoniano : geometria euclidiana + forças gravitacionais substituído por: Universo relativístico do E-T de curvatura variável Órbitas curvas de corpos em queda-livre no universo newtoniano Órbitas retas no E-T curvo no universo de Einstein Órbita em linha reta = geodésica = distância + curta entre dois pontos Na TRG: corpos em queda-livre seguem caminho geodésicos

23. Gij=cteTij TRG curvatura do E-T é influenciada pela distribuição de matéria-energia E=mc2 Outra forma: a deformação do E-T está relacionada com a tensão induzida pela matéria-energia curvatura do E-T=constante  (matéria-energia) Ligação entre geometria e matéria-energia constante  G • qdo K é negligível: equação TRG→equação TRE • qdo v << c: equação TR→equação de movimento • e gravidade de Newton

24. Usar curvatura ao invés de gravidade !!! Curvatura produz curvatura Cada curvatura tem influência ou é influenciada por outras curvaturas no espaço Universo Newtoniano: gravidade de um corpo não modifica a gravidade de um outro

25. “Gravidade” é transmitida a velocidade da luz Universo de Newton: gravidade é propagada instantaneamente... Campo gravitacional produzido por um corpo existe instantaneamente Universo de Einstein: gravidade ou K do E-T se propaga a velocidade da luz! Equação da TRG = equação de onda que gera e propaga as deformações curvas do E-T

26. 2 estrelas orbitando ao redor delas mesmas produzem g que varia periodicamente com o tempo Então K do E-T varia periodicamente Energia é redistribuída na região Ondas de “deformação” do E-T fluem em todas as direções com velocidade = c

27. Energia e momentum angular são perdidos pelas s sob forma de ONDAS GRAVITACIONAIS A cada 109 ou 1012 anos Prova da existência de radiação gravitacional : sistemas binários com um pulsar