Теоретическая механика

1. Владивостокский Государственный Университет Экономики и СервисаКафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей Теоретическая механика Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА Чубенко Елена Филипповна 2009

2. Тема 10 Сложное движение точки

3. План занятия • 1. Относительное, переносное и абсолютное движения • 2. Сложение скоростей при сложном движении • 3. Сложение ускорений при сложном движении • 4. Теорема Кориолиса

4. Введение • Целью занятия является изучение сложного движения материальной точки и ее кинематических характеристик • Материал занятия содержит основные определения и расчетные формулы для определения скоростей и ускорений материальной точки при сложном движении

5. Ключевые понятия • 1. Относительное движение • 2. Переносное движение • 3. Абсолютное движение • 4. Скорость и ускорение при сложном движении • 5. Ускорение Кориолиса

6. Относительное, переносное и абсолютное движения До сих пор мы изучили движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется составным или сложным.

7. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета) и движения вместе с палубой по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

8. Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O1x1y1z1, условно названной нами неподвижной. Каждая из этих систем от счета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным.

9. Введем следующие определения: 1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат, называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с подвижными осями Oxyz и перемещающийся вместе с ними). Траектория AB описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки М но отношению к осям Oxyz (т. е. вдоль этой кривой АВ) называется относительной скоростью (обозначается Vотн), а ускорение точки в этом движении—относительным ускорением (обозначается aотн). Из определения следует, что при вычислении Vотн и aотн оси Oxyz можно считать неподвижными.

10. 2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М переносным движением. Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается Vпер) а ускорение этой точки — переносным ускорением точки М (обозначается aпер). Таким образом, Vпер=Vm , aпер=am(95) где m — неподвижная по отношению к осям Oxyz точка, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Если представить себе, что относительное движение точки М происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуг, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент будет скорость (или ускорение) той точки m тела, с которой в этот момент совпадает точка M.

11. 3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О1х1у1z1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость—абсолютной скоростью (обозначается Vа) и ускорение — абсолютным ускорением (обозначается aа). В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость этого движения — относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент касается шар, будет в этот момент ею переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость этого движения — абсолютной скоростью шара. Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки.

12. Сложение скоростей Рассмотрим сложное движение точки

13. Пусть эта точка совершает за промежуток времени t=t1 - t вдоль своей относительной траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ (рис. а). Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Oxyz (на рис. не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение A1B1. Одновременно та точка m кривой АВ, с которой в момент t совпадает точка М совершит переносное перемещение mm1=Mm1. В результате этих движений точка М придет в положение M1 и совершит за время t абсолютное перемещение MM1. Из векторного треугольника Мm1М1 имеем: MM1=Mm1+m1M1 Находим, что Vа=Vотн+Vпер(96)

14. Направлены векторы Vа, Vотн, Vпер по касательным к соответствующим траекториям (рис. б). Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Построенная на рис. б фигура называется параллелограммом скоростей. Если угол между направлениями векторов Vотн и Vпер равен α , то по модулю │Vа │= √ ( V2отн + V2пер + 2VотнVперcosα) (97)

15. С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки, а именно: а) зная скорости Vотн и Vпер, можно найти абсолютную скорость точки Vа; б) зная Vа, и направления скоростей Vотн и Vпер, можно найти модули этих скоростей; в) зная скорости Vа и Vпер, можно найти относительную скорость точки Vотн из равенства Vотн = Vа + (—Vпер), т. е. сложив геометрически вектор Vа с вектором, равным по модулю и противоположным по направлению вектору Vпер.

16. Сложение ускорений Найдем зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки. Для этого воспользуемся равенством (96). Из него получаем аa = dVa /dt = dVотн/dt + dVпер/dt (98) Вычислим стоящие справа производные, которые, как мы увидим, в общем случае не равны aотн и апер соответственно. Для этого нам понадобятся выражения векторов Vотн, аотн, Vпер, апер.

17. Пусть положение движущейся точки М в подвижных осях Охуz определяется ее координатами х, у, z. Тогда, поскольку при вычислении Vотн и аотн движение подвижных осей во внимание не принимается (их можно рассматривать как неподвижные), то следовательно, Vотн= x’i + y’j + z’k, aотн= x’’i + y’’j + z’’k (99) где i, j, k — единичные векторы (орты) осей Oxyz.

18. Дальнейший расчет зависит от характера переносного движения. Рассмотрим сначала случай, когда оно является поступательным. Сложение ускорений при поступательном переносном движении. Если подвижная система отсчета Охуz перемещается по отношению к неподвижной O1x1y1z1 поступательно (рис. а), то очевидно, что при любом положении точки М будет Vпер=V0, aпер=a0(100) где V0 и a0—скорость и ускорение начала О. Кроме того, при поступательном движении осей Охуz их орты, перемещаясь параллельно самим себе, остаются постоянными. Тогда получим dVотн/dt=x’’i+y’’j+z’’k; dVпер/dt=dV0/dt=a0=aпер В результате аa=aотн+aпер (101) Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений. Результат здесь аналогичен тому, который дает теорема о сложении скоростей.

19. Сложение ускорений при непоступательном переносном движении. Теорема Кориолиса. Допустим сначала, что переносное движение (т. е. движение подвижной системы отсчета Охуz) является вращательным с угловой скоростью ω(рис. б). При этом ось Оz1 может быть или неподвижной или же мгновенной осью вращения. В обоих случаях орты i, j, k уже не являются постоянными, так как, поворачиваясь вместе с осями Охуz, они изменяют свои направления, что при вычислении aотн не учитывалось. Поэтому при любом переносном движении dVотн/dt=(x’’i+y’’j+z’’k)+(x’di/dt+y’dj/dt+z’dk/dt)=aотн+a1 где через a1 обозначена вторая скобка в правой части равенства. Вычисляя a1 с помощью формул Пуассона найдем а1=x’(ωxi)+ y’(ωxj)+ z’(ωxk)=ωx(x’i+y’j+z’k)= ωxVотн и окончательно будем иметь dVотн/dt=aотн+a1, где a1=ωxVотн(102)

20. В этом равенстве величина aотн учитывает изменение вектора Vотн только при относительном движении точки М, а добавочный член a1 учитывает то изменение вектора Vотн которое происходит при его повороте вместе с трехгранником Oxyz вокруг оси Oz1, т. е. в переносном движении. Далее, при вращательном движении скорость и ускорение любой неизменной связанной с осями Oxyz точки определяются как и для точек твердого тела. Но Vпер=Vm, aпер=am , следовательно Vпер=ωx r, aпер=(εxr)+(ωxVпер), где r—радиус-вектор точки m, совпадающий в данный момент времени с радиусом-вектором движущейся точки М. Тогда dVпер/dt=(dωxr)+(ωx dr/dt)

21. Поскольку стоящая слева производная входит в правую часть равенства, определяющего абсолютное ускорение точки М, т. е. ее ускорение в осях O1x1y1z1, то и входящая в правую часть производная от радиуса-вектора rдаст скорость точки М в тех же осях, т. е. ее абсолютную скорость. Следовательно, здесь dr/dt=Va=Vотн+Vпер и, кроме того, dω /dt=ε. Поэтому dVпер/dt=(εxr)+(ωx Vпер)+( ωxVотн ) Отсюда получим dVпер/dt=aпер+ a2, где a2=ωxVотн (103)

22. Здесь величина aпер учитывает изменение вектора Vпер только в переносном движении, поскольку она вычисляется как ускорение точки m, неизменно связанной с осями О1x1y1z1. Добавочный же член a2 учитывает то изменение вектора Vпер,, которое происходит при относительном движении точки М, поскольку в результате этого движения точка М приходит из положения m в новое положение m1, где значение Vпер будет уже другим. Теперь получим аa= aотн + aпер + a1+ a2 (104) Введем обозначение aкор= a1+ a2 = 2(ωxVотн) (105)

23. Величина aкор характеризующая изменение вектора относительной скорости Vотн в переносном движении вектора переносной скорости Vпер в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением точки. Тогда из равенства (104) окончательно получим aа= aотн+ aпер+ aкор(106) Формула (106) выражает следующую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной, скорости точки в переносном движении, и кориолисова, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости точки в относительном движении. Если переносное движение является поступательным, то ω =0 и aкор=0.

24. Вычисление относительного, переносного и кориолисова ускорений. Вопрос о вычислении относительного и переносного ускорений точки был уже рассмотрен при доказательстве теоремы; определяются эти величины по известным нам формулам кинематики. В самом деле, так как при вычислении aотн движение подвижных осей учитывать не надо, то aотн вычисляется обычными методами кинематики точки. При вычислении же aпер не надо учитывать относительное движение точки; следовательно, aпер вычисляется как ускорение точки некоторого твердого тела, неизменно связанного с осями Охуz и движущегося вместе с ними, т. е. методами кинематики твердого тела. Кориолисово ускорение вычисляется по формуле : aкор= 2(ωxVотн) (107) где ω - угловая скорость переносного движения.

25. Таким образом, кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Если угол между векторами Vотн и ω обозначить через α, то по модулю │aкор│= 2(ωxVотн)sinα(108) Направлен вектор aкор так же, как вектор ωxVотн т.е. перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ωи Vотн в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение ω с Vотн видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. а).

26. Кроме того, как видно из рис. б, направление aкор можно найти, повернув вектор относительной скорости Vотн в сторону переносного вращения (т. е. по ходу или против хода часовой стрелки, в зависимости от направления вращения). Из формулы (107) видно, что кориолисово ускорение может обращаться в нуль в следующих случаях: 1) Когда ω =0, т. е. когда переносное движение является поступательным или если угловая скорость переносного вращения в данный момент времени обращается в нуль. 2) Когда Vотн=0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль. 3) Когда α=0, или α=180°, т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или если в данный момент темени вектор Vотн параллелен этой оси.

27. Вопросы для самопроверки • 1. Что такое относительное движение? • 2. Что такое переносное движение? • 3. Что такое сложное движение? • 4. По каким выражениям производится расчет скоростей и ускорений при относительном, переносном и сложном движениях материальной точки? • 5. Что такое и как определяется ускорение Кориолиса?

28. Задания для самопроверки • 1. Выполнить в интегрированной обучающей среде АВАНТА задание Определение скоростей и ускорений материальной точки при сложном движении • 2. Решить задачи 7.4 -7.20

29. Рекомендуемая литература • Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая школа, 2004 • Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс, 2007 • Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007 • Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН, 2006 • Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., ВШ, 2006