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GRASP. Disciplina: ODST Professores: José Oliveira e Maria Carravilla Aluno: Marcelo Nogueira. FEUP JANEIRO 2008. Otimização. Achar a solução de um problema P tal que uma certa função critério f(x) seja maximizada (ou minimizada) onde x  X   Onde: x é uma solução do problema

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Presentation Transcript

  1. GRASP Disciplina: ODST Professores: José Oliveira e Maria Carravilla Aluno: Marcelo Nogueira FEUP JANEIRO 2008

  2. Otimização • Achar a solução de um problema P tal que uma certa função critério f(x) seja maximizada (ou minimizada) onde xX • Onde: • x é uma solução do problema • X é o espaço das soluções admissíveis •  é o espaço das soluções

  3. cost y x Exemplo de função a ser otimizada Valor de f(x) Plano das soluções

  4. Estratégia: Solução Gulosa + Busca local • Achar uma solução inicial de forma gulosa • Melhorar a solução através de uma busca local, por exemplo, algoritmo 2-opt • Problema: • Isto produz pouca variedade na solução, podendo assim, ficar preso a um mínimo local

  5. cost y x Solução Gulosa + Busca local Solução final da busca Soluções Gulosas

  6. Como escapar dos mínimos locais?

  7. GRASP • GreedyRandomizedAdaptiveSearchProcedure • Consiste basicamente em repetir dois passos até que um certo critério de parada seja atingido • Gerar uma solução inicial semi-gulosa (gulosa aleatorizada) • Melhorar a solução inicial através de uma busca local e actualizar a melhor solução encontrada • As soluções semi-gulosas são mais variadas que as soluções gulosas, com isto espera-se conseguir escapar de mínimos locais

  8. GRASP Início Fase Construtiva: Solução semi-gulosa Fase de Melhoramento: busca local Critério de parada? não sim Fim

  9. cost y x GRASP Solução final (melhor de todas achadas) Solução final Solução final Soluções Semi-gulosas

  10. O que é uma solução semi-gulosa?

  11. Solução Gulosa • A cada passo, seleccionar o candidato que maximize (ou minimize) a função de custo no momento • Não pensa no futuro, faz a escolha melhor tendo em vista o presente

  12. Solução Gulosa • Ex: Knapsack • Backpack: 8 unidades de espaço • Heurística gulosa: escolher o item mais valioso por unidade (valor/espaço ocupado) • Solução encontrada: itens 1 e 2 com valor total=7 • Solução óptima: itens 2 e 3 com valor total=12

  13. Solução Semi-gulosa • Consiste em, a cada passo, criar o que se chama de Restricted Candidate List (RCL) • uma lista com os “n” melhores candidatos levando em consideração um algoritmo guloso • Após criada a RCL, é escolhido, aleatoriamente, um elemento da lista e adicionado a solução parcial actual

  14. Solução semi-gulosa • Ex: Knapsack com tamanho da RCL=2 • Backpack: 8 unidades de espaço • Dois melhores candidatos: RCL = {1,2} – escolher aleatoriamente um a adicionar na mochila – suponha 1 • Criar nova RCL = {2,3} – escolher aleatoriamente um para adicionar na mochila – suponha 3 (solução {1,3}) • Possíveis soluções encontradas: {1,2}= 7; {1,3}= 9; {2,3}= 12;

  15. Gulosas Vs. Aleatórias combinadas com busca local • Em média, as soluções de uma busca local a partir de uma solução gulosa são melhores que as originadas de uma solução inicial aleatória • As soluções de uma busca local a partir de uma solução aleatória são bem mais variadas que as originadas de uma solução inicial gulosa • Ideal: utilizar soluções iniciais semi-gulosas para a fase de busca local

  16. Parâmetros do GRASP • Os parâmetros para ajustar no GRASP são: • Tamanho da RCL • Note-se que se o tamanho da RCL for 1, temos um algoritmo guloso, e se for máximo, temos um algoritmo aleatório • A RCL também pode ter um tamanho variável, onde um elemento irá pertencer a RCL se sua contribuição para a função custo for x% do valor da função para o melhor candidato • Critério de parada do algoritmo • Normalmente um determinado número de operações ou um determinado tempo

  17. Vantagens do GRASP • Rápido • Geralmente produz boas soluções • Poucos parâmetros para serem ajustados

  18. GRASP para o TSP • Algoritmo geral Repita até critério de parada Calcule solução inicial semi-gulosa Melhore a solução por busca local (utilizei 2-opt) End

  19. GRASP para o TSP • Algoritmo de geração de solução semi-gulosa Repita até que todos os nós estejam na solução Escolha os “n” nós (vizinhos mais próximos ou inserção mais barata) e coloque-os na lista RCL Escolha aleatoriamente um componente da lista RCL e insira na solução actual End

  20. Resultados obtidos • 29 cidades: arquivo • 51 cidades: arquivo

  21. Resultados obtidos • 1002 cidades - óptimo: 259045 • Para 10 iterações (IMB) • Tamanho RCL=1: 301066 (4 minutos) • Tamanho RCL=2: 301066 (11 minutos) • Para 300 iterações (VMP) • Tamanho RCL=1: 312317 • Tamanho RCL=2: 419553 • Tamanho RCL=3: 505834

  22. Resultados obtidos • 18512 cidades (VMP) • Para 10 iterações (21 minutos) • Tamanho RCL=1: 1025010 • Tamanho RCL=2: 1025010

  23. Conclusões • A velocidade do algoritmo GRASP depende da velocidade dos algoritmos construtivos e de melhoramentos utilizados • Os resultados obtidos foram sempre melhores que as heurísticas não combinadas, contudo tais resultados ainda podem ser melhorados utilizando-se um algoritmo de vizinhança mais eficiente

  24. Bibliografia • José Fernando Oliveira Maria Antónia Carravilla, “Técnicas aproximadas para a resolução de problemas de Optimização Combinatória”, MEEC – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto • GREEDY RANDOMIZED ADAPTIVE SEARCH PROCEDURES, LEONIDAS S. PITSOULIS AND MAURICIO G.C. RESENDE • GREEDY RANDOMIZED ADAPTIVE SEARCH PROCEDURES, THOMAS A. FEO and MAURICIO G.C. RESENDE • Otimização Combinatória, L.A.N. Lorena

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