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Materiais Elétricos. Introdução à Mecânica Quântica.
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MateriaisElétricos Introdução à Mecânica Quântica “Não leve essa aula muito a sério… apenas relaxe e desfrute dela. Vou contar para vocês como a natureza se comporta. Se você admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, você a considerará encantadora e cativante. Não fique dizendo para si próprio: “Mas como ela pode ser assim?” porque nesse caso você entrará em um beco sem saída do qual ninguém escapou ainda. Ninguém sabe como a natureza pode ser assim”. Richard Feynman (1918-1988) Prêmio Nobel de Física 1965
Os Postulados da Mecânica Quântica 2.1 –A Função de Onda • Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: • Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula • É uma função complexa • É unívoca, finita e contínua • Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
(Na maior parte dos exemplos, vamos nos restringir a uma dimensão, por simplicidade) • Exemplo: partícula livre (não sofre a ação de forças). • Momento linear é constante. • Função de onda deve reproduzir os postulados de de Broglie:
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade… “Deus não joga dados com o universo” (Albert Einstein) “Einstein, pare de dizer a Deus o que fazer” (Niels Bohr) Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954) Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
V(x,t): energia potencial 2.2 –A Equação de Schroedinger (Schroedinger 1926, Nobel 1933)
Relação de dispersão (k) k Exemplo: partícula livre (V=0)
2.3 – Operadores Quânticos A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda. Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula. Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.
A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.
Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:
2.4 – Valores Esperados • Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza. • Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?
E k Qualquer energia positiva é permitida (energia varia de forma contínua) Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D 3.1 – Partícula livre (revisão)
Região proibida Região proibida 3.2 – Poço de potencial infinito V x 0 L
Região proibida Região proibida n : número quântico V (x) E3 0 L 0 L n = 1 n = 2 E2 0 L 0 L E1 x 0 n = 3 n = 4 L
Comentários de validade geral: • Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas • Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante) • Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado Exemplo em nanotecnologia: Poços quânticos semicondutores
Efeito túnel: Atravessando barreiras 3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel P = 100 % Barreira 100% - P P < 100 %
Potencial degrau V V0 E < V0 E 1 2 x 0
V (x) Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região classicamente proibida V0 x 0 incidente Se a barreira for suficientemente pequena (largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL V refletido (x) transmitido x a 0 Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html Barreira de potencial e Efeito Túnel
“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes Reflexão interna total http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html Acoplamento entre guias de onda
Aplicação em nanotecnologia: STM (scanning tunneling microscope) Visualização e manipulação de átomos
Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalho no desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.
STM Visualizando átomos Superfície de Níquel (IBM Research Labs, California) Superfície de Silício (Naval Research Lab, Wash DC, USA)
