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Transformação de Imagens. Paulo Sérgio Rodrigues PEL205. AVISO. O assunto da aula de Hoje pode ser encontrado em sua completude nas seguintes Bibliografia: Digital Image Processing, First Edition, 1993, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Addison-Wesley, Chapter 3
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Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205
AVISO • O assunto da aula de Hoje pode ser encontrado em sua completude nas seguintes Bibliografia: • Digital Image Processing, First Edition, 1993, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Addison-Wesley, Chapter 3 • Digital Image Processing, Third Edition, 2008, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Prentice Hall, Chpater 4 • Um Curso de Cálculo, Hamilton Guidorizzi, 1988, Livros Técnicos e Científicos, Volume 4, Capítulo 50
Chama-se série trigonométrica, uma série da forma: Séries de Fourier
Séries de Fourier As constantes a0, ak e bk(1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)
f(x) • Problema: para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma série trigonométrica convergente para f(x)? Séries de Fourier
Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.
0 Séries de Fourier
Séries de Fourier Agora só falta de determinar ak e bk!!
Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)
Integrando de –πa π termo a termo ambos os membros da equação acima Séries de Fourier
Lembrando que: Séries de Fourier 0 0
que se junta a: Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a:
Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
Coeficientes da Série f(t) t 0 T
Transformada de Fourier DIRETA INVERSA
Exemplo 1: Função caixa (box) f(x) a x b
F(w) ab 3/b -3/b -2/b -1/b 1/b 2/b 0 Transformada da função box f(x) a x b w
Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x
f(x) f(x0 +3dx) f(x0 + 2dx) 4 4 f(x0 + dx) 3 3 f(x0) 2 2 x 0.5 0.75 1.0 1.25 Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x)=f(x + dx) 0.5 0.75 1.0 1.25 x
Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]
Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]
Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]
Exemplos F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]
Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205
Separabilidade • Lembrando o par de Transformadas de Fourier
Separabilidade • Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:
Separabilidade • Expandindo e arrumando:
Separabilidade • Da mesma forma, para a transformada inversa:
Separabilidade • Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
Separabilidade • Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
Translação Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier de Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0
Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|
Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0: e
Substituindo (2) em (1), concluímos que: Translação Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 :
Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11: Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y
|F(u,v)| sem Shift |F(u,v)| com Shift Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização é claramente melhor f(x,y)
Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:
Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos: Rotação Se introduzirmos coordenadas polares:
