Pre-algebra

1. Pre-algebra Antonín Jančařík

2. Opakování – Negace implikace Státní zástupce: Pokud je obžalovaný vinen, pak měl společníka. Obhájce: To není pravda ! Pomohl obhájce obžalovanému, co vlastně řekl? (Je vinen a udělal to sám!)

3. Nejdůležitější tautologie VL |= p  p |= p p zákon vyloučen→ho třetího |= (p p) zákon sporu |= p p zákon dvojí negace

4. Co je to logika? Logika je věda o správném usuzování, neboli o umění správné argumentace Co je to úsudek (argument)? Úsudek: na základě pravdivosti předpokladů (premis) P1,...,Pn je možno soudit, že je pravdivý i závěr Z: P1, ..., Pn  Z Příklad: Na základě toho, že je středa, soudím, že se koná přednáška „Pre-algebry“: středa přednáška

5. Platón Aristoteles(vpravo) Za zakladatele logiky je považován Aristoteles (384–322 př.n.l). Založil takzvanou sylogistickou logiku. Aristotelovská logika je popsána v šestici knih nazvané Organon. Princip sylogismu se nejlépe vysvětlí na příkladu: Premisa 1: Každý člověk je smrtelný. Premisa 2: Aristoteles je člověk. Závěr: Aristoteles je smrtelný.

6. Scholastika • Pojem scholastika vychází z latinského slova scholasticus (resp. řeckého σχολαστικός), což znamená „školský, patřící škole“, popř. „školák“ (učitel i žák). • Odkazuje jednak ke specifickému způsobu filosofického myšlení, jednak k epoše středověké filosofie, která bývá vymezována 11.–15. stoletím. n. l., kdy byla scholastická filosofie rozvíjena zejména na univerzitách západní Evropy.

7. William Ockham • William Ockham (také Occam, 1287-1347) byl anglický františkánský mnich a teolog, významný logik, nominalistický filosof a středověký politický myslitel. • Za nejzajímavější z jeho spisů je považován Summa logiky.

8. George Boole • George Boole (1815 –1864) • Britský matematik a filosof. • Položil základní kameny logiky, jako matematické disciplíny.

9. Augustus De Morgan • Augustus De Morgan (1806 -1871) • Britský matematik. • Představil formální verze zákonů v klasické výrokové logice.

10. Výrokové formule

11. Pravdivostní hodnota • Pravdivostní hodnota výroku je definována pomocí zobrazení do množiny {0,1}. Toto zobrazení je definováno na atomických formulích a dále rozšířeno pomocí následujících pravidel: • w(A) = v(A) je-li A atomická formule. • w(¬A) = 1 je-li w(A) = 0. • w(¬A) = 0 je-li w(A) = 1. • w(A → B) = 0 pokud w(A) = 1 a w(B) = 0. • w(A → B) = 1 pokud w(A) = 0 nebo w(B) = 1.

12. Axiomatický přístup • |= A → (B → A) • |=(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) • |= (¬B → ¬A) → (A → B) • A odvozovací pravidlo Modus Ponens: • Jestliže A platí a A → B platí, pak B platí.

13. Důkaz • Důkazem výrové formule A nazveme konečnou posloupnost A1,…,An, jestliže pro každé i menší nebo rovné než n je Ai buď závěr odvozovacího pravidla, jehož předpoklady jsou mezi A1 a Ai-1, nebo axiom a A= An. • Jestliže existuje důkaz výrokové formule A, říkáme o této formuli, že je dokazatelná.

14. Zákony pro implikaci |=p → (q → p) zákon simplifikace |= (p  p) → q zákon Dunse Scota |= (p → q)  (q → p) zákonkontrapozice |= (p → (q → r))  ((pq) → r) spojování předpokladů |= (p → (q → r))  (q → (p → r)) na pořadí předpokladů nezáleží |= (p → q) → ((q → r) → (p → r)) hypotetický sylogismus |= ((p → q)  (q → r)) → (p → r) tranzitivita implikace |= (p → (q → r))  ((p → q) → (p → r)) Fregův zákon |= (p → p) → p reductio ad absurdum |= ((p → q)  (p → q)) → p reductio ad absurdum |= (pq) → p , |= (pq) → q |= p → (pq) , |= q → (pq)

15. Algebraické zákony pro konjunkci, disjunkci a ekvivalenci • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= (p  q)  (q  p) komutativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][p  (q  r)] asociativní zákon pro  • |= [(p  q)  r][(p  r)  (q  r)]distributivní zákon pro ,  • |=[(p  q)  r][(p  r)  (q  r)]distributivní zákon pro , 

16. Zákony pro převody |= (p  q)  (p → q)  (q → p) |= (p  q)  (p  q)  (q  p) |= (p  q)  (p  q)  (q  p) |= (p → q)  (p  q) |= (p → q)  (p  q) Negace implikace |= (p  q)  (p  q) De Morgan zákony |= (p  q)  (p  q) De Morgan zákony Tyto zákony jsou návodem jak negovat.

17. Ukázka použití Jestliže má Karel vysoký tlak a špatně se mu dýchá nebo má zvýšenou teplotu, pak je nemocen. Karel není nemocen, ale špatně se mu dýchá.  Co z toho plyne? Musíme rozlišit 1. čtení a 2. čtení, protože nejsou ekvivalentní, závěry budou různé.

18. Analýza 1. čtení • analýza: [(p  q)  r] → s, s, q  ??? • Úvahou a úpravami: [(p  q)  r] → s,s   [(p  q)  r] transpozice (de Morgan) (p q) r  (p q), r, ale platí q p, r (důsledky) Tedy Karel nemá vysoký tlak a nemá vysokou teplotu.

19. Analýza 2. čtení • analýza: [p  (q  r)] → s, s, q  ??? • Úvahou a ekvivalentními úpravami: [p (q  r)] → s,s   [p (q  r)] transpozice de Morgan: p (q r)ale platíq druhý disjunkt nemůže být pravdivý  je pravdivý první: p (důsledek) Tedy Karel nemá vysoký tlak (o jeho teplotě r nemůžeme nic usoudit)

20. Predikátová logika

21. Predikátová logika • Pojmem predikátová logika označuje formální odvozovací systém používaný k popisu matematických teorií a vět. • Predikátová logika je rozšířením výrokové logiky (ta nedokáže vyjádřit některá složitější tvrzení o matematických strukturách). Do této logiky přidává kvantifikátory, vztah predikát-individuum a operátory. • Individuum je prvek z nějaké množiny a predikát je relace na této množině.

22. Formální jazyk PL1Abeceda Logické symboly individuové proměnné: x, y, z, ... Symboly pro spojky: , , , →,↔ Symboly pro kvantifikátory: ,  Speciální symboly Predikátové: Pn, Qn, ... n – arita = počet argumentů Funkční: fn, gn, hn, ... -- „ -- Pomocné symboly: závorky (, ), ...

23. Formální jazyk PL1Gramatika termy: každý symbol proměnné x, y, ... je term jsou-li t1,…,tn(n  0) termy a je-li fn-ární funkční symbol, pak výraz f(t1,…,tn) je term; pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, …) jen výrazy dle i. a ii. jsou termy

24. Formální jazyk PL1Gramatika atomické formule: je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tntermy, pak výraz P(t1,…,tn) je atomická formule formule: každá atomická formule je formule je-li výraz A formule, pak A je formule jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy (A  B), (A  B), (A →B), (A ↔ B) jsou formule je-li x proměnná a A formule, pak výrazy x A a x A jsou formule 24

25. Kvantifikátory • Při formulování výroků v běžné řeči velice často používáme kvantifikátory a to jak přímo, tak i nepřímo. • Je rozdíl mezi výroky: • Každý pes má čtyři nohy. • Skoro každý pes má čtyři nohy. • Existuje pes, který má čtyři nohy. • Právě jeden pes má čtyři nohy.

26. Kvantifikátory • Ve výrokové logice používáme dva kvantifikátory – existenční (malý) kvantifikátor (∃) a Univerzální kvantifikátor (∀) (také obecný či velký kvantifikátor).

27. Existenční (malý) kvantifikátor (∃) • Pomocí malého existenčního kvantifikátoru vyjadřujeme skutečnost, že existuje (alespoň) jeden objekt, splňující podmínky následující za kvantifikátorem. Pokud takový prvek existuje, je výrok pravdivý. Pokud takový prvek neexistuje, je výrok nepravdivý.

28. Univerzální kvantifikátor (∀) • Pomocí malého univerálního kvantifikátoru vyjadřujeme skutečnost, že všechny objekty splňující podmínky následující za kvantifikátorem. Pokud neexistuje prvek, nesplňující podmínku, je výrok pravdivý. Pokud takový prvek existuje, je výrok nepravdivý. • Podmínky uvedené univerzálním kvantifikátorem jsou triviálně splněny na prázdné množině.

29. Převod z přirozeného jazyka „všichni“, „žádný“, „nikdo“, ...  „někdo“, „něco“, „někteří“, „existuje“, ...  Větu musíme často ekvivalentně přeformulovat Pozor: v češtině dvojí zápor ! Žádný student není důchodce: x [S(x) → D(x)] Ale, „všichni studenti nejsou důchodci“ čteme jako „ne všichni studenti jsou důchodci“: x [S(x) → D(x)] x [S(x)  D(x)]

30. Příklad: jazyk aritmetiky Má tyto (speciální) funkční symboly: nulární symbol: 0 (konstanta nula) – konstanta je nulární funkční symbol unární symbol: s (funkce následník) binární symboly: + a  (funkce sčítání a násobení) Příkladem termů jsou (používáme infixní notaci pro + a ): 0, s(x), s(s(x)), (x + y)  s(s(0)), atd. Formulemi jsou např. výrazy (= je zde speciální predikátový symbol): s(0) = (0 x) + s(0)