1 / 29

Kaidah Pencacahan

Kaidah Pencacahan. ~ Aturan pengisian tempat yang tersedia. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh : Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir , yaitu A( Adi ), B( Banu ), C ( Candra ), dan D( Dodi ).

jerica
Download Presentation

Kaidah Pencacahan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KaidahPencacahan ~Aturanpengisiantempat yang tersedia 1. Aturanpengisiantempat yang tersedia Contoh: Padalombalari 100 meter, empatanakloloskeputaranakhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Padaperlombaantersebutdisediakanduahadiah. Adaberapakahsusunanpemenang yang mungkinmunculpadaakhirpertandingan?

  2. Jadiseluruhnyaada4 x 3 = 12 (susunanpemenang yang mungkinterjadi) • jawab Pemenang pertamadankedua yang mungkinmuncul, dapat kitasusun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Prosesmenentukanbanyaknyasusunanpemenangsecaraumummengikutiaturansebagaiberikut: Langkah1: Ada 4 peserta lomba yangsemuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

  3. Contoh 2 Amaliamemiliki 4 buahkemeja, 2 buahcelanapanjangdan 3 sepatu. Adaberpacaraiadapatberpakaianlengkap? Jawab: Kemeja yang dapatdipilihAmaliaada 4 cara, celanapanjang 2 caradansepatu 3 cara. Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 caraameliadapatberpakainlengkap

  4. Dari uraiantersebutdapatkitaperolehsuatukesimpulan : Jikaterdapatbuahtempat yang tersediadengan: n1 =banyaknyacarauntukmengisitempatpertama. n2 = banyaknyacaramengisitempatkedua, setelahtempatpertamaterisi. n3 = banyaknyacaramengisitempatketiga, setelahtempatpertamadankeduaterisi, dan nk = banyaknyacaramengisitempatke – k, setelahtempat- tempatsebelumnyaterisi. Makabanyaknyacarauntukmengisi k tempat yang tersediaadalah Aturanini yang dimaksudsebagaiaturanpengisiantempat yang tersediaataukaidahperkalian. n1 x n2 x n3 x … x nk.

  5. DefinisidanNotasifaktorial Definisi: Hasilperkaliansemuabilanganbulatpositipdarisatusampaidengan n disebut n faktorial, dandiberinotasi n!. jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 dengan 1! = 1 dan 0! = 1

  6. ... Obyek Eksp. B (A,B) = permutasi ke-1 = p1 Cara Eksp. A ... (A,C) = permutasi ke-2 = p2 C A S, n(S) = ... Diundiuntuk memperebutkan 2 hadiah (B,A) = permutasi ke-3 = p3 A B B ... C (B,C) = permutasi ke-4 = p4 C ... A (C,A) = permutasi ke-5 = p5 C 3 cara ... 2 cara B (C,B) = permutasi ke-6 = p6 Permutasi • Misalkandiadakanundianuntukmemperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkanhadiahituada 3 orang (A, B, dan C), adaberapacarakeduamacamhadiahitudapatdiberikankepadaparapemenang?. • Jawab: Banyaknya cara: n(S) = = = Menurut Prinsip Perkalian = 3×2 = 6 = = 3×2

  7. MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM Ada 6 cara = 6 Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Adaberapacarauntukmembuatsusunanhuruf yang berbedadarikata “MAMA”?. Jawab = = =

  8. .Banyaknyacaramengambil 2 huruf A dari (7 – 4) hurufsisanyaada, danbanyaknyacaramengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) hurufsisanyaada Makamenurutprinsipperkalianbanyaknyacarauntukmembuatsusunanhurufdarikata KAKAKKU ada: = × × = n2 nk n n1 + + + = = Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Berapabanyakcarauntukmembuatsusunanhurufdarikata “KAKAKKU”? Jawab = = 105 cara Karenaada 4K, 2A, dan 1U, makabanyaknyacara = Secaramatematikaformal, banyaknyacaramengambil 4 huruf K dari 7 hurufada Secaraumum, dengan

  9. Permutasi Siklis Makaberartiketigapermutasisiklistersebutsama, yakni ABC = CAB = BCA. Untukmelihatkesamaannyaperhatikanbahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagaititikawal). A C B C B A B A C Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Dari 3 tempatdudukpadapermainanrodaputaritusebenarnyahanyaada 2 saja yang berbedasusunannya, yakni ABC dan ACB. Sehinggahanyaada 2 permutasisiklis. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!

  10. Permutasi berulang • Jikakitaininmenyusunkata yang terdiri 2 huruf, yang dipilihdarihuruf A, D, I, sertakata yang terbentukbolehmengandunghuruf yang sama, makakitaakanmendapatkankata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. Jadi, banyaknyapermutasiduahuruf yang diambildari 3 hurufdenganhuruf- hurufitubolehberulangada 9 cara. • Secaraumum: Banyaknyapermutasi r unsur yang diambildari n unsur yang tersedia (dengantiapunsur yang tersediabolehditulisberulang) adalahsebagaiberikut: P (berulang) =nr denganr < n

  11. Kombinasi

  12. Banyaknya Permutasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan Macam Kombinasi 2! 2! 2! 2! 2! 2! c1 = AB c2 = AC c3 = AD c4 = BC c5 = BD c6 = CD AB dan BA AC dan CA AD dan DA BC dan CB BD dan DB CD dan DC = 6 6 × 2! Total= = 12 = 6 × 2 Perhatikanbahwa 12 = 6 x 2! = x 2!

  13. Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama Misal 4 bola akan yang diambildaridalamkotakberisi 4 bola merah, 3 bolaputihdan 2 bola hijau.Empat bola yang diambilharusterdiridari 2 bola merah, 1 bola putihdan 1 bola hijau. Cara pengambilaninimerupakanmasalahkombinasi k unsurdari n unsurdenganbeberapaunsur yang sama. Sehingga total carapemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1cara.

  14. Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k. Banyak cara pengambilan adalah: n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke

  15. PeluangKejadian • Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga. P(A)= Kombinatorik Adalahteknikmenghitungbanyaknyaanggotaruangsampeldengan : Cara mendatar Membuattabel Membuat diagram pohon

  16. Hasil-hasil Yang Mungkin s1 s2 s3 S s4 s5 Obyek Eksp. Cara Eksp. S s3 s1 s5 s4 s2 Eksperimen (Percobaan Acak) • Ada Obyek Eksperimen • Ada Cara Eksperimen • Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel) S= Ruang Sampel ={ s1 , s2, s3 , . . . , s5} = Himpunan semua hasil yang mungkin dalam eksperimen itu s1,s2 , s3, . . . , s5 masing-masing disebut titik sampel

  17. S A sn s3 s2 s1 sm S = Ruang Sampel = Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu = {s1,s2, s3, . . . , sm , . . . , sn} A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S = {s1 , s2, s3 , . . . , sm} Prinsip Penjumlahan P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm}) = jumlah peluang masing-masing titik sampel yang ada di dalamnya

  18. Peluang Berdasar Pengambilan Sampel • Pengambilan Sekaligus → Kombinasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna) • Pengambilan Satu Demi Satu 1. Tanpa Pengembalian → Permutasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna) 2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi

  19. Ambilacak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? Cara Ekp. Hasil-hasil yang mungkin Obyek Eksp A n(S) = = 3 . Eksp1: ambil acak 2 bola sekaligus S s3 s1 s2 P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = Maka S berdistribusi seragam P(A) = S A 2 1 1 1 … s1 … s2 … s3 3 3 3 2 2 1.PengambilanSekaligus S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen A= Peristiwa terambilnya jumlahkedua nomor bola ganjil = {s1, s3 } , n(A) = 2.

  20. Ambilacak 2 bola 1 – 1 tanpapengemb. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin A Cara Ekp. … … s1 Obyek Eksp … … s2 … … s3 s4 s2 s6 s1 s3 Eksp 2 : ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian S … … s4 … … s5 … … s6 3 cara 2 cara S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s1, s3, s4 , s6 } P(A) == = . S s5 n(S) = 3 × 2 6. = = A 3 1 2 2 3 1 3 1 2 P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) = Maka S berdistribusi seragam. 1 3 3 2 3 1 2 1 3 1 1 3 2 2 2 2. PengambilanSatudemiSatuTanpaPengembalian

  21. Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin II A Eksp2:ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengemb. I … … s1 … 1 2 2 … s2 … s3 … S … s7 … 3 cara 3 cara S S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen. n(S) = 3 × 3 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8} P(A) == . A s7 s9 s1 s8 s5 s3 s6 s2 s4 P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) = Maka S berdistribusi seragam. 3 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 … 3 2 2 … s8 … … s9 3.Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian

  22. Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan Contoh: Peluangseoranganakterkenapenyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapakira- kira yang terjangkitpenyakit polio? Jawab: P(kenapolio) = 0,01, n= 8000 Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anakdiperkirakanada 80 anak yang terkenapenyakit polio

  23. A’ S A 1. Komplemen Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A. Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A.

  24. S .1.4 B .6 .8 .9 .10 .12 A .2 .5 .7 .3 .11 2.Dua Kejadian Saling Lepas S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={kejadian mendapatkan bilangan prima} B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5} Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sehingga Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh

  25. dan Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing) Maka = P(Ø) = 0 Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

  26. Contoh Soal : • Sebuahdadudilemparkansatu kali, JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuahdadudilemparkansatu kali, makaruangsampelnyaadalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?

  27. Dua Kejadian Saling Bebas Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yangyang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B) Contoh : Misal A = kejadianmunculmatadadu 3 padapelemparanpertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) = Misal B = kejadianmunculmatadadu 5 padapelemparankedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) = Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =

  28. 1. Peluangtidakterjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A) Rangkuman 2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka 3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka

  29. SEKIAN TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI

More Related