EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI BAYESYEN REGRESYON

EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMIBAYESYEN REGRESYON [1] Bu konu Griffiths ve diğerleri, Learning and Practicing Econometrics, Bölüm 25’den alınmıştır.

BÖLÜM 6. EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI 1. Toplam Tüketim İçin Ekonomik Model 2. İstatistiksel Model Ve Veri 3. Örnekleme Teorisi Yöntemine Dayalı Tahmin Ve Yorumlama 3. 1 İstatistiksel Model Ve Tahminler 3.2 Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama 4. Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi 4.1 Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi 5. Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme 5.1 Marjinal Tüketim Eğilimi İle İlgili Ön Bilgi 5.22’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu 5.2.a Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri 5.2.b 2’nin Nokta Tahmini 5.2c Aralık Tahmini 5.31ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir? 5.4 Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme 6. İleriye Yönelik Tahminleme 2

BAYESYEN REGRESYON… • Bayesyen yaklaşımda, deneme yapılmadan önce parametreye ilişkin sahip olunan ön bilgi, ön bilgiye dayalı olasılık yoğunluk fonksiyonu ile analize dahil edilir. • Aslında ön bilgi her araştırmada mevcut olmayabilir veya farklı seviyelerde ön bilgi olabilir. • Regresyonda önemli bir aşamayı teşkil eden ön bilgi dağılımın oluşturulması bilgi veren ve bilgi vermeyen olasılık yoğunluk fonksiyonu şeklinde iki başlıkta oluşturulmaktadır.

…BAYESYEN REGRESYON… Bayesyen yaklaşımda klasik regresyonun aksine bilinmeyen; bir sabit değildir. Bayesyen regresyonda bir rastsal değişken P(/) örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur: 1, 2,……, k ve 2 parametreleri birer rastsal değişkendir ve olasılık dağılımları vardır. Bu bölümünde, Bayes kuralıyla değişkenler arasındaki ilişkide bilinmeyen parametrelere ait ön eşitsizlik bilgisini içeren yöntemler incelenecektir.

…BAYESYEN REGRESYON… • Ekonomik teoriden, ekonomik ilişkideki parametrelerin işaretleri hakkında çoğu şey bilinir. • Örneğin aşağıdaki gibi iki ekonomik değişken arasındaki ilişkide yer alan bir parametrenin işareti hakkında ön bilgi vardır: • Bir malın fiyatı arttığı zaman, talep edilen miktarın düşeceğini; • Gelir arttığında tüketimin artacağını; • Üretim faktörlerinin fiyatları arttığında, çıktının azalacağı bilinmektedir.

…BAYESYEN REGRESYON… X açıklayıcı değişkeni ile Y bağımlı değişkeni arasındaki ilişkiyi açıklayan 1 ve 2 parametreleri aşağıdaki gibidir: X’deki artışın Y’de azalmaya sebep olduğunu, 2’nin negatif olduğu bilindiği varsayılsın. Bu bilgi, 2 < 0 olarak gösterilebildiği için, 2 ile ilgili eşitsizlik bilgisiolarak da ifade edilebilir. Ayrıca bu bilgi, örnekleme sürecinden önce bilindiği için“ön bilgi” veya “örnek dışı eşitsizlik bilgisi” olarak adlandırılır.

…BAYESYEN REGRESYON… Bu bölümün temel amacı, 2’nin büyüklüğü hakkında bilgi elde etmek için kullanılan yöntemlere ön eşitsizlik bilgisini biçimsel olarak dahil etmektir. Diğer bir deyişle, 2<0 eşitsizliği bilindiğinde 2’nin büyüklüğü hakkındaki bilginin elde edilişi ve ifade edilişi incelenecektir.

…BAYESYEN REGRESYON… Toplam tüketim fonksiyonunun parametrelerinin tahmin problemi ele alınsın: (1) C: Tüketim, YD:harcanabilir gelir tüketim fonksiyonunun bilinmeyen parametreleridir. parametresi, otonom tüketimdir, harcanabilir gelir sıfır oldugunda tüketilen miktardır. marjinal tüketim eğilimidir

…BAYESYEN REGRESYON… Bu bölümdeki amaç, bilinmeyen parametreler hakkında tahmin ve yorum yapmaktır. Bu amaç için ilk adım, (1) nolu denkleme ait gözlenmiş örnek verileriyle tutarlı istatistiksel modeli tanımlamaktır. Ekonomik teori tarafından önerilen eşitsizlik bilgisi Buna göre, ön eşitsizlik bilgisini, tahmin ve yorum sürecine sistematik bir şekilde eklemek gereklidir. ve dir.

Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar…2 • İstatistiksel birçok yöntemin uygulanmasında Bayesyen yaklaşım ile klasik yaklaşım arasında farklılıklar gözlenir. • İki yaklaşım arasında en önemli farklılık parametrelerin tanımlanmasında ortaya çıkar: • Bayesyen yaklaşımda parametreler raslantı değişkenleri olarak tanımlanırken, klasik yaklaşımda parametreler sabit ancak bilinmeyen değerler olarak tanımlanır. • Klasik yaklaşımda yorumlamalar için sadece veriden elde edilen bilgi (olabilirlik fonksiyonu) kullanılırken, Bayesyen yaklaşımda ön bilgi ile veriden elde edilen bilginin birleştirilmesiyle elde edilen örnek sonrası dağılım kullanılır. 10 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

…Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar2… • Başka bir farklılık nokta tahminlerinde ortaya çıkar. • Klasik yaklaşımda tahmin değerinin gerçek değerden farklılığı hatanın doğrusal ya da karesel kayıp fonksiyonu ile ölçülürken, Bayesyen yaklaşımda, her bir tahmin edici için beklenen riskler hesaplanır ve beklenen riski en küçük olan tahmin edici en iyi tahmin edici olur. Örnek sonrası dağılımın tepe değeri, Bayesyen yaklaşımda nokta tahminidir. • Klasik yaklaşımda aralık tahminleri aralığın parametreyi içermesi olasılığı üzerinden yorumlanırken, Bayesyen yaklaşımda parametrenin aralığa düşme olasılığı üzerinden yorumlanır. • Bayesyen istatistikte ön bilgiye ait dağılımların kullanılmasından dolayı varyanslar klasik istatistikte elde edilen varyanslara göre daha küçüktür ve aralık tahminleri daha dar elde edilir 11 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

Bayesyen Yaklaşımın Zorlukları ve Üstünlükleri2... • Bayesyen yaklaşımda en çok karşılaşılanzorluklar, • Ön bilgiye ait dağılımın oluşturulması ve örnek sonrası dağılımın elde edilmesidir. • Ön bilgiye ait dağılımın elde edilmesinde, parametre hakkında kesin olmayan bilgilerin önsel dağılıma dönüştürülmesinde ortaya çıkar. Çok değişkenli modeller söz konusu olduğunda, özellikle parametreler arasında ön bilgiye ait ilişkiler varsa, dağılımların belirlenmesi zor olur. • Bayesyen yaklaşımın üstünlükleri • Klasik istatistikte çözüm bulunamayan problemlere Bayesyen yaklaşım ile çözüm bulur. • Bayesyen istatistiğin başka bir üstünlüğü, yorumlama yapmak için örneklem büyüklüğü için bir kısıt olmaması, küçük örneklemlerde de geçerli çıkarsamalar yapılabilmesidir. Ayrıca, Bayesyen yorumlama ile parametreler üzerindeki belirsizlik de azaltılır. • Bu üstünlükler, temel olarak Bayesyen yorumlamanın ardışık yapısından kaynaklanır 12 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

İstatistiksel Model ve Veri… (1) nolu eşitlikteki tüketim fonksiyonu için ekonomik model istatistiksel modele dönüştürülürse; (2) • Burada • Yt dönemindeki toplam tüketimi; • Xt dönemindeki kullanılabilir geliri; • et sıfır ortalamalı ve 2varyanslı normal dağılımlı T sayıda gözlenemeyen eşitlik hatalarının bağımsız çekilişlerini göstermektedir. • Çekilişlerin bağımsız olduğu varsayıldığı için hata çiftleri arasındaki kovaryans sıfırdır.

…İstatistiksel Model ve Veri… Aşağıdaki tabloda 1969-1978 dönemine ait kişisel harcanabilir gelir ve kişisel tüketim harcamaları verileri verilmiştir.

İstatistiksel Model ve Tahminler … 1 ve 2 ye ait bilginin örnekleme teorisi sonuçları verilmeden önce, istatistiksel modeli oluşturulsun: (3) ve İlk örnekleme teorisi sonuçları, en küçük kareler yöntemi nokta tahminleri; (4)

…İstatistiksel Model ve Tahminler … (5) b için tahmin edilen kovaryans matrisi (6) b1 ve b2’nin standart hataları ,bu matrisin köşegen elemanlarının karekökleridir. (7) (8)

…İstatistiksel Model ve Tahminler … Tahmin modeli (9) s(bi ) (532.94) (0.0604) (9) eşitliğindeki tahminler, her parametre için aralık tahmini oluşturmada standart hatalarıyla birlikte kullanılabilir. 1 için %95aralık tahmini; n-k=10-8 (10) 1 için yapılan aralık tahmini, gelirden bağımsız olarak otonom tüketimin en yüksek 1100$ olduğunu ifade etmektedir. En düşük olarak ise -1358$ dır

…İstatistiksel Model ve Tahminler … 2 için %95aralık tahmini; (11) Bu aralık, marjinal tüketim eğiliminin 0.772 ile 1.051 arasında olduğunu gösterir.

…İstatistiksel Model ve Tahminler … Kamu harcama çarpanının 10’dan daha büyük olup olmadığını öğrenmek isteyelim; çarpanı, marjinal tüketim eğilimi olduğunda ortaya çıkar. Böylece, ilgili hipotez çifti; (12) ’nın doğru olduğu varsayılırsa t- istatistiği için hesaplanan değer (13) Slayt 17

…İstatistiksel Model ve Tahminler … %5 önem seviyesinde, tek taraflı test için kritik değer, dır. olduğu için hipotezi reddedilemez.

Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Örnekleme teorisi sonuçlarına dayanılarak elde edilen nokta ve aralık tahminleri tekrar incelenirse; Otonom tüketim için; nokta tahmini aralık tahmini Yaklaşık olarak -129 olan bu negatif değer anlamsızdır; çünkü gelir sıfır olsa bile tüketim negatif olamaz

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Marjinal tüketim eğilimi 2; nokta tahmini aralık tahmini Bulunan 0.91 nokta tahmini marjinal tüketim eğilimi için uygun bir tahmindir. Ancak elde edilen (0.772; 1.051) aralık tahmini bilgi verici değildir. Aralığın alt limiti oldukça düşük olup, üst limit ise 1’den büyük olduğundan mümkün bir sonuç değildir.

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Bu sonuçları analiz etmek için, Bölüm 5’de anlatılan Bayesyen yapısına dönülmelidir. İki ekonomik değişken arasındaki ilişki araştırıldığında ve 1 >0 ile 0<2 < 1 eşitsizlikleri hakkındaön bilgiye dayalı örnek dışı bilgiye sahip olunduğunda, Bayesyen yapı kullanılan model için genişletilebilir. İlk olarak belirsizlik durumunda ön bilgi bir kenara bırakılarak, 1 ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarının yapısı incelenecektir.

Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… İlk olarak 1 >0 ile 0<2 < 1 ön bilgiye dayalı eşitsizlik bilgisi hesaba katılmasın. Belirsizlik altında 1 ve 2için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonlarını elde etmek yararlı olacaktır. Bu durumda ön eşitsizlik bilgisinin örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonlarına nasıl uyarlandığı incelenecektir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek alınmadan önce • Tüketim fonksiyonu parametreleri hakkında: • bir belirsizliğin olduğu (1 >0 ile 0<2 < 1 ön eşitsizlikleri kullanılmamaktadır) • 2’nin bilindiği varsayımıyla çalışmaya başlansın. • 1 ve 2 için aşağıdaki tanımlamalar elde edilir: (14) (15) b1 ve b2 normal şans değişkenleri olduğu için z1 ve z2 de standart normal şans değişkenleridir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek alınmadan önce2’nin bilindiği durumda standart normal dağılım z1 ve z2 ile ilgili olasılık hesapları kullanılabilir. Testi yapılırken; örnek alınmadan önce H0 doğru ise, b2 için olma olasılığı %5’dir Örnekten önce z2 için normal dağılım kullanılırsa 0.95 olasılıkla 2 aralığında olacaktır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek aldıktan sonra1 ve 2 hakkındaki belirsizliği veya bilgiyi ifade etmek amacıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır. Örnek gözlenmiş olsa bile standart normal şans değişkenleri olarak z1 ve z2 ele alınır. Bu nedenle b1 ve b2 sabit rastsal olmayan sayılardır (Örnek ile çalıştık b1 ve b2 yi bilyoruz). • 2 için bu işlemler gerçekleştirilsin. 2 bilindiğinde Var(b2)’de bilinmektedir. Bu nedenle sabit bir sayı olarak b2 ’yi ele almak, z2 için tek rastgelelik kaynağının 2 parametresi hakkındaki belirsizlik olduğu anlamına gelir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… z2 değişkeni, örnek gözlendikten sonra standart normal dağılımlı olmayı sürdürürse, 2bir şans değişkeniymiş gibi ele alınır. Aslında 2 bir şans değişkeni değil, yapılan deneyin bir sonucudur. 2’nin gerçek değeri hakkındaki belirsizliği tanımlayan subjektif olasılık fonksiyonunun 2’ye atanabilmesiyle 2 rastsal değişken olarak ele alınabilir. Bu subjektif olasılık fonksiyonunu bulmak için, (15) eşitliğinden, (15) (16)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… b2 ve sabitleri ve standart normal dağılış değişkeni z2 verildiğinde b2 ye göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için (16) eşitliği nasıl kullanlır? (16) ’nin doğrusal bir fonksiyonu ve normal dağıldığı için, normal dağılır. nin örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu da normal dağılmaktadır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (16) (16) nolu eşitlikten Ortalaması (17) Varyansı (18)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (18) Eşitliğinde örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonunun varyans ifadesi, en küçük kareler tahmincisinin varyans ifadesinin aynısıdır. Örnek aldıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunun varyansı için notasyon olarak kullanılır, (19) Tüm bu bilgileri kullanarak 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (20)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Benzer şekilde, 1 için Tüm bu bilgileri kullanarak 1 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (21) (22)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (20) (21) • (20) ve (21) eşitlikleri, örnek alındıktan sonra parametreler hakkındaki bilgi ve belirsizlik durumunu ifade eden olasılık dağılışlarıdır. • 1 ve 2için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları- • nı gösterir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Ancak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları anlamlı olmalıdır. Bunun için, örnek alınmadan önce 1 ve 2’ye ilişkin bilgi durumunun ne olduğu sorulmalıdır. Örnek bilgisini kullanarak ön bilginin güncellenmesinin ardından, örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu parametreler hakkındaki bilgiyi tanımlar. Ön bilgi x Veri Örnek alındıktan sonraki bilgi (23) Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun oluşumunda nasıl bir ön bilginin gerekli olduğu sorusunun yanıtı eşitlik (23) dür. Bu da Bayes kuralını ifade etmektedir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Tüketim fonksiyonu örneği kapsamında (20) ve (21) eşitliklerinden örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları incelensin. 2 =11000 olduğu varsayılsın. Tablo 1’deki verilerle 1 ve 2 için örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonları (24)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Beyesyen den gelen standart sapmalar Örneklem teorisi (25) örneklem teorisindeki standart hatalara çok yakındır. Bu yakınlığın nedeni, örneklem teorisindeki varyans tahmini değerinin 2 =11000 değerine yakın olmasıdır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Sonuç olarak, b1 ve b2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları şeklen en küçük kareler tahmincileri b1ve b2 için tahminlenen olasılık yoğunluk fonksiyonlarına benzerdir. Aynı ortalamalara ve hemen hemen aynı standart hatalara sahiptir. BU DURUM BAYESYEN YORUMLAMA İLE ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİNE DAYALI TAHMİN VE YORUMLAMALAR AÇISINDAN KARŞILAŞTIRMA YAPMAYI SAĞLAR.

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan özet ölçüler hakkında bilgi vermek, tüm örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun kendisi hakkında bilgi vermekten daha uygundur. Üç yararlı özet ölçüsü: 1)Parametreler , 2)aralık tahminleri ve 3)hipotezlerin karşılaştırılması ile ilgili olasılık hesaplarıdır

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … Parametreler: İki olasılık ifadesi ilgilenilsin. Otonom tüketimin negatif olması ve marjinal tüketim eğiliminin birden büyük çıkması imkansızdır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyon bilgileri ile (26a) (26b) Böylece, verilen model ve tahminlerle marjinal tüketim eğiliminin birden büyük olması ihtimali vardır. (yaklaşık olarak %7). Benzer şekilde, otonom tüketimin negatif olma olasılığı 0.6’dır.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … 2. Aralık tahminleri %95 aralık tahminlerini bulmak için 3. kısımdaki yöntemler kullanılsın. s2 bilinmektedir.Dağılım z ye daha uygundur. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarıyla yapılan 1 ve 2 için olasılık hesapları: 2 için, (27) 1 için, (28)

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … • En küçük kareler sonuçlarında olduğu gibi, bayesyen ile ilgili aralık sonuçları da uygun olmayan alanlarda ortaya çıkmıştır. ( 1 <0 ve 2>1). • Bu durumun ortaya çıkmasının nedeni, 1 ve 2 üzerine hiçbir koşul konmadığı ve tamamıyla bilgi olmamasından kaynaklanmaktadır.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … 3. Hipotezlerin karşılaştırılması Son olarak, fark oranı üzerine kurulan iki hipotez karşılaştırılsın. 2>0.9 olup olmadığıyla ilgilenilsin. H1 hipotezi lehine fark oranı, 2’nin 0.9 dan büyük olması, 2’nin 0.9’dan küçük olmasına göre 1.35 kat daha fazla olasılığa sahiptir.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … H0 hipotezi lehine fark oranı,

Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme… Tüketim fonksiyonu parametreleri için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunu incelerken sadece örnek bilgisi bu yoğunluk fonksiyonuna dahil edilmiştir. Ön ve örnek eşitsizlik bilgisinin her ikisinden de bilgi edinme süreci içerisinde problem dâhilinde yararlanılmaktadır. Bu kısımda ön ve örnek eşitsizlik bilgileri dahil edilecektir. Otonom tüketim 1 ve marjinal tüketim eğilimi 2 aşağıdadır: (29) Hata varyansı 2’nin bilindiği varsayılmaktadır.

…Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme… Kısım 5.1’den 5.3’e kadar ki bölümlerde, aşağıdaki sorular araştırılacaktır. (1) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre 0<2 <1 olan ön bilgi nasıl ifade edilir? (2) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonunu örnek bilgisiyle birleştirmek için Bayes kuralını kullandıktan sonra, 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun niteliği nedir? Örnek gözlemlendikten sonra bilgi nasıl ifade edilir? (3) Nokta ve aralık tahminlerini bulmak ve olasılık ifadelerini oluşturmak için, ön eşitsizlik bilgisini içeren 2’nin yeni örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl kullanılır? (4) 2’nin ön eşitsizlik bilgisi, 2’in örnek alındıktan sonraki bilgisini etkiler mi?

Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi… İlk olarak birinci soru ele alınırsa; 0<2 <1 ön eşitsizlik bilgisi, ön olasılık yoğunluk fonksiyonu yönünden nasıl ifade edilecektir. Eğer 0<2 <1 olduğu bilinirse, fakat 2’nin (0,1) aralığında nerede olduğu bilinmiyorsa, o zaman eşit olasılıkla 0 ile 1 arasındaki bütün değerleri öneren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu uygun bir fonksiyon olacaktır. Bu özellikteki bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, uniform yoğunluk fonksiyonudur: (30)

1 0 1 …Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi… Bu fonksiyonla (0,1) aralığında bulunan bir aralıkta uzanan b2’nin olasılığı, sadece o aralığın uzunluğuna bağlıdır. Şekil 2: (0,1) aralığındaki 2’nin ön uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu

2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… 2=11000 olduğu varsayıldığında ve tam olarak ön eşitsizlik durumuna karşılık 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu incelediğinde aşağıdaki sonuçlar bulunmuştu: (31) (32) (Bayes sonuçları) %95 aralık tahmini, (Bayes güven aralığı sonuçları) (33) (0,1) aralığı dışında olma olasılığı (0,1) aralığı dışında olma olasılığı (34)

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… (35) ’nin altında yer alan N, normal dağılım simgesini göstermektedir. Ayrıca, /y ise örnek bilgisi üzerindeki koşulu ifade etmektedir. Örnek “y” gözlendikten sonra 2 hakkındaki bilgi veya belirsizliği ifade eden normal bir dağılışı ifade etmektedir.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… 0.072 0.8 0.911 1.00 Şekil 3 Örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışında olma olasılığı

EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI BAYESYEN REGRESYON