Kapitel 9 Analyse der Modellstruktur

1. Kapitel 9Analyse der Modellstruktur

2. Rekursive OLS-Schätzung Spezifiziertes Modell: y = Xb + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, b: k-Vektor b t: OLS-Schätzer für b aus Beobachtungen {(x i, Yi), i =1,...,t } bt = (Xt’ Xt)-1 Xt’ yt, t =k+1,...,n mit Xt: Ordnung txk, yt : t-Vektor Rekursive Beziehung zum Berechnen der bt Var{bt} = s2 (Xt’ Xt)-1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

3. Konsumfunktion OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999: rekursiv geschätzte marginale Konsum- neigung und Kon- fidenzband (g=0.95) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

4. Dummy-Variable Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0 Beispiele: • Konjunktur/Stagnation • Zeit vor/nach Ölpreis-Schock • Regionen (Stadt/Land) • Saisonen des Jahres Hackl, Einführung in die Ökonometrie

5. Dummy-Variable für Saisonen Für die Saisonen sind definiert: Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i = 2), etc. Beachte: Für jede Periode (t = 1,…, n) gilt Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

6. Modelle für Quartalsdaten Das Modell Y = a+ bX + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = a1+ b1Xt + ut Yt = a2+ b2Xt + ut Yt = a3+ b3Xt + ut Yt = a4+ b4Xt + ut Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit: Yt = Siai Qit+ Sibi Qit Xt + ut oder Yt = a1+d2Q2t+d3Q3t+d4Q4t+ b1 Xt+ g2 Q2t Xt+ g3 Q3t Xt+ g4 Q4t Xt + ut mit di = ai-a1, gi = bi-b1, i = 2,3,4. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

7. Modelle für Quartalsdaten, Forts. Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamen Anstieg Yt = Siai Qit+ b1Xt + ut = a1 + Sidi Qit + b1Xt + ut Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg Yt = a1 + Sibi Qit Xt + ut Hackl, Einführung in die Ökonometrie

8. Strukturbruch Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen Strukturbruch-Analyse: • Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? • Wann hat der Strukturbruch stattgefunden? Schätzung des Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

9. Chow-Test Chow-Test: Zum entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht Voraussetzungen: • Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden • bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat • ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst und die Residuen bestimmen werden können Oft erlauben Dummies das Modellieren von Regimen Hackl, Einführung in die Ökonometrie

10. Chow-Test, Forts. Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespe-zifisch angepasst werden Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert Hackl, Einführung in die Ökonometrie

11. Chow-Test, Forts. Modell mit zwei Regimen: die partitionierten Größen y, X, b und u entsprechen den Größen vor und nach dem Strukturbruch Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: b1 = b2 kann mittels F-Test überprüft werden: S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch SR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

12. Chow-Test, Forts. Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 • der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen • näherungsweise der Chi-Quadrat-Verteilung c2(k) bei großem n Hackl, Einführung in die Ökonometrie

13. Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen • 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68 • 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17 F-Statistik: p-Wert: 0.004 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

14. Chow-Test für m Regime Verallgemeinerung: m Regime H0: b1 = … = bm F-Statistik Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i - tes Regime (i = 1,…, m) Verteilung von F: F(k,n-mk) oder c2([m-1]k) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

15. Chow‘s Prognosetest Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p < k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar Anpassen des Modells y = Xb + u an Beobachtungen t = 1,…, n-p gibt OLS-Schätzer b Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…, n Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist: H0: yf = Xfb + u F-Statistik (mit Prognosefehlern ef) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

16. Prognosetest: Berechnung von F • Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD • Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F • Einsetzen in F-Statistik gibt Hackl, Einführung in die Ökonometrie

17. Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen • 1954 bis 1991: S91 = 3400.90 • 1954 bis 1999: S2 = 6899.69 F-Statistik des Prognosetests p-Wert: 0.0005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

18. Rekursive Residuen Modell y = Xb + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler: bt ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen) w ~ N(0, s2I) Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Struktursta-bilität Hackl, Einführung in die Ökonometrie

19. Konsumfunktion, Forts. Rekursive Residuen Hackl, Einführung in die Ökonometrie

20. Tests zur Strukturstabilität Test, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: • CUSUM Test • MOSUM Test • CUSUM-SQ Test CUSUM Test: Kritische Schranken nach Brown et al. (1975) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

21. Konsumfunktion, Forts. CUSUM Test Hackl, Einführung in die Ökonometrie