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Kapitel 9. Betafunktion und optische Parameter. Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3. Was bisher geschah. Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen
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Kapitel 9 Betafunktion und optische Parameter Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3
Was bisher geschah.... • Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen • Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus • Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen) • Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene • Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen • Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen • Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator • F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen • Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen • Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach • Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex • Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird? • Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen • Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt: BetatronfunktionundBetatronschwingung
Übersicht • Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II • Betafunktion • Betatronschwingung • Phasenellipse und Twiss Parameter • Strahlgrösse • Berechnung der Betafunktion • Arbeitspunkt • Closed Orbit • Dispersion • Momentum Compaction
Differentialgleichung im Beschleuniger • Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet • Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant (entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)
Betafunktion und Betatronschwingungen Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet
Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“ Quadrupolfeld z
Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)
Vergleich mit dem harmonischen Oszillator x 0 Bei gegebener Energie des Teilchens ist die maximale Auslenkung umgekehrt proportional zur Rückstellkraft (Federkonstante). Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung F(x) x
Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus x’ x
Betatronschwingungen für viele Teilchen Eigenschaft der Teilchen Eigenschaft des Beschleunigers Eigenschaft der Teilchen Maximale Amplitude eines Teilchens an einer Position s
Betatronschwingungen für viele Teilchen Strahlgrösse an der Position s: Die Strahlemittanzen xund zsind statistische Grössen Bild aus K.Wille
Optische Funktionen entlang einer Zelle QD QD QF B2 B2 B2 B2 B1 B1 B1 B1 von E.Wilson, Vorlesung 2001
Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider) Beta-Funktion Gespiegelte Beta-Funktion Quadrupol Fokus Quadrupol
Crossing angle for multibunch operation • Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 • High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) • Total crossing angle of 300 mrad • Beam size at IP 16 mm, in arcs about 1 mm
Arbeitspunkt • Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an • Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich • Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte • Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist
Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen Idealbahn gestörte Bahn fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn
Teilchenschwingungen und ’closed orbit’ Kick undBetatronschwingungen Idealbahn Ringbeschleuniger Magnetfehler undclosed orbit Idealbahn Ringbeschleuniger
Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger • Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt • wird, und der Ablenkwinkel: ist der closed orbit:
Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion • Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die • Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls.
Lösung der Dispersionsbahn • Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen: Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen Ablenkmagneten läuft
Matrix für die Dispersion Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig:
Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten x0 = 0 x’0 = 0 x1 = 2.91 mm x’1 = 3.83 mrad Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von = 3.82 m
Bahnverlängerung – Momentum Compaction • Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, • deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. • Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für • Teilchen mit Impulsabweichung definiert: Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: Die Bahnlänge für eine Teilchen mit Impulsabweichung ist :
