Referát pro Seminář z aktuárských věd 13.10.2006

2. Cena kapitálu ve výpočtu hodnoty důchodového pojištění (E. Pitacco, A. Olivieri ) Referát pro Seminář z aktuárských věd 13.10.2006 Tereza Jarolímková ( )

3. Obsah • Úvod • Model přežití Longevity Risk • Alokovaný kapitál • Výpočet hodnoty portfolia důchodového poj. Tradiční přístup Tržní přístup (market - consistent) Zohlednění LR „Ekvivalentní RDR“ • Numerické příklady • Poznámky a závěr

4. Výpočet hodnoty pojištění (VBI) Klasický přístup - Založený na tradiční Embedded Value metodice Problematické a netransparentní je stanovení RDR Tržní přístup - Zohledňuje stejná rizika, která zohledňuje trh (systematická a nediverzifikovatelná) Rizikově-neutrální výpočet založený na diskontování bezrizikovou úrokovou mírou Je možno využít pro stanovení „ekvivalentní RDR“ Longevity Risk (Riziko délky života) Riziko systematické odchylky od nejlepšího odhadu předpokladu (Best Estimate) o úmrtnosti Mělo by být zohledněno při alokaci kapitálu stejně jako při ocenění produktu, zajištění atd. Úvod

5. Předpokládá se portfolio složené z ihned splatných důchodových pojištění, homogenní ve smyslu pojistných částek a ve smyslu počátku pojištění Vstupní věk všech pojištěných je Pro náhodnou dobu života příjemce renty se předpokládá Weibullovo rozdělení s hustotou kde jsou neznámé parametry Předpokládá se diskrétní rozdělení parametrů, které je dáno tabulkou Model přežití (1)

6. Model přežití (2) • Koncentrace úmrtí kolem Lexisova bodu • Lexisův bod se posouvá do vyšších věků

7. Model přežití (2) • Lexisův bod v závislosti na parametrech • Rozptyl náhodné doby života v závislosti na parametrech

8. Ke každému portfoliu je třeba alokovat kapitál, který je nutné držet, aby byla pojišťovna schopna dostát svým závazkům s dostatečně vysokou pravděpodobností Takový kapitál stanovený na základě interního modelu zohledňující příslušná rizika je označen Pro zajištění solventnosti jsou potřeba celková aktiva, jejichž výše je v čase t rovna součtu: + matematická rezervat Požadavky na solventnost mohou být stanoveny i na základějiných požadavků, předpokládá se, že (v příkladech se uvažuje ) Solventnost a kapitál

9. Neuvažuje se investiční riziko, výnos z investic je dán bezrizikovou úrokovou mírou (konstantní), zohledněno je pouze LR Tradiční přístup: je zisk dosažený v roce h, očekávaný výnos z investic, je diskontní faktor založený na posloupnosti rizikových diskontních měr , je alokovaný kapitál Náhodný finanční tok z pojišťovny, je dán posloupností kde a je počet příjemců renty, kteří jsou ve věku naživu Zohlednění LR – tradiční přístup (1)

10. Na základě tradičního přístupu a uvedených předpokladů je očekávaný zisk (při BE scénáři) Hodnota pojištění v čase 0 je potom Cílový kapitál je stanoven na základě stochastického modelu s následující strukturou: Náhodný vývoj hodnoty aktiv Má platit , z této rovnice se pro akceptovatelnou hodnotu určí výše Zohlednění LR – tradiční přístup (2)

11. Předpokládá se, že pojistitel přenáší LR na zajistitele prostřednictvím nástroje podobného swapu: Zajistné v čase 0 je Zajistitel platí ročně cedentovi Cedent platí zajistiteli Finanční tok cedenta je tedy nenáhodný: Pro diskontování je proto použita bezriziková úroková míra Tržní hodnota poj. je neboli Zohlednění LR – tržní přístup (1)

12. Dále se předpokládá, že zajistitel vyrovná svoji pozici přenesením rizika na trh emisí dluhopisu: Jistina je 0 Cena dluhopisu Roční náhodný kupón je Finanční tok zajistitele je tedy také nenáhodný: Zohlednění LR – tržní přístup (2)

13. Zajistné a cena dluhopisu může být odvozena z podmínek realizovatelnosti na trhu: 1) neboli 2) Dolní a horní hranice pro zajistné je tedy Přičemž musí platit Zohlednění LR – tržní přístup (3)

14. Dík absenci trhu s LR je zavedení rizikově-neutrální pravděpodobnostní míry problematické Pro hodnotu dluhopisu se proto předpokládá jen hrubý základní model kde je směrodatná odchylka a tržní cena rizika Zohlednění LR – tržní přístup (4)

15. Pro dané zajistné je tedy hodnota pojištění v čase 0 dána rovnicí Předpokládá se, že tradiční přístup, kde vede díky vhodné volbě rizikové diskontní míry ke stejné hodnotě pojištění Tato rovnost umožní stanovit „ekvivalentní rizikovou diskontní míru“. Taková diskontní míra vyjadřuje rizikovost portfolia způsobenou nejistotou v budoucím vývoji úmrtnosti Ekvivalentní riziková diskontní míra

16. Numerické příklady • Uvažuje se 1000 pojištěných, se vstupním věkem 65 let • Roční bezriziková úroková míra • Model úmrtnosti , • 2 varianty:a) kapitál dle Solvency II ( T=1, ) b) kapitál dle interního modelu (T=5, ) • Z podmínky pro zajistné RP vyplývá • Z podmínky pro cenu dluhopisu BL plyne • V tab. jsou uvedeny hodnoty VIB pro hodnoty RP konzistentní s max. a zvolenou cenou rizika

17. Autoři uvádějí nevýhody metody, které ještě bude třeba dopracovat: -Výsledky závisí na předpokládané hypotéze (o budoucím vývoji úmrtnosti, tedy na volbě parametrů Weibullova rozdělení) -Důležitým předpokladem je také tržní cena rizika, pro kterou je odvozena pouze horní hranice Každopádně jde o možnou metodu, jak zahrnout tržní cenu rizika dlouhověkosti (LR) do rámce Embedded Value a jak dát tradiční (EV) přístup do souvislosti s tržním přístupem Závěrečné poznámky

18. http://papers.ica2006.com1B.Solvency measurements and asset-liability management Lin Y., Cox S.H.(2005), Securitization of mortality risk in life annuities, The Journal of Risk and Insurance, 72 (2): 227-252. Brender A (2002), The use of internal models for determining liabilities and capital requirements, North American Actuarial Journal, 6 (2): 1-10. Olivieri A., Pitacco E. (2003), Solvency requirements for pension annuities, Journal of Pension Economics & Finance, 2 (2): 127-157. Pitacco E. (2004), Survival models in dynamics context: a survey, Insurance: Mathematics & Economics, 35 (2): 279-298. Literatura