SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE 5 et 6 Novembre 2003

1. SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE 5 et 6 Novembre 2003 « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX AXA, JM.LOIZEAU MAAF C.PARTRAT ISFA - Institut des Actuaires

2. Sommaire • Besoin en fonds propres • Définition et propriétés d’une mesure de risque • Principales mesures de risque pour le besoin en fonds propres • Ecart-type (variance) • Probabilité de ruine et Value at Risk (VaR) • Tail Value at Risk (TVaR) • Excess Tail Value at Risk (XTVaR) • Expected Policyholder Deficit (EPD) • Mesures de risque basées sur les opérateurs de distorsion • Lien avec les approches réglementaires • Conclusion

3. Besoin en fonds propres • Pourquoi ce besoin ? • Contrainte de solvabilité vs rentabilité • Besoin en fonds propres global d’un centre de profit au sens large (compagnie, branche, produit) • Approches Bottom-up et Top-down NON TRAITEES • Le besoin en fonds propres d’un assureur non-vie dépend du point de vue : • Assurés, organismes de contrôle, agences de notation • Actionnaires, management de la compagnie, souscripteurs

4. Besoin en fonds propres • Vision interne de la compagnie • représente le capital théorique jugé nécessaire par l’assureur pour maintenir son activité • Différence entre ce capital nécessaire et le capital disponible (CSR) • Vision externe du besoin en capital • représente le capital minimum réglementaire ou exigé par le marché

5. Définition d’une mesure de risque • FX fonction de répartition de X : • Dans la suite, X représentera le résultat de la compagnie • On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque X un réel positif ρ(X) • Dans la suite, ρ(X) représentera le besoin en fonds propres

6. Exemples de représentations

7. Exemple

8. Propriétés des mesures de risque • Liste non exhaustive • (i) : Invariance par translation pour toute constante c, • (ii) : Sous-additivité • (iii) : Homogénéité positive • (iv) : Monotonie

9. Propriétés des mesures de risque • (v) : Borne supérieure • (vi) : Conservatisme • (vii) Sévérité : le besoin en capital doit tenir compte des amplitudes possibles des pertes

10. Notion de cohérence • Cohérence selon Artzner et al. [1999] = propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) • Limite de la propriété d’homogénéité positive • Limite de la propriété de sous-additivité Exemple :

11. Principales mesures de risque pour le besoin en fonds propres

12. Ecart-type (Variance) • Sous-additive et homogène positive • MAIS pas conservatrice • Moins sensible aux événements extrêmes que d’autres mesures de risque : mauvaise représentation des pertes sensiblement éloignées de la moyenne • Peu adaptée pour mesurer le besoin en fonds propres

13. Ecart-type

14. Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR) • Probabilité de ruine = probabilité que le capital initial C, connu, soit absorbé par un résultat déficitaire : • VaR : perte maximale (sur une période donnée) pour un certain niveau de sécurité α

15. Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR)

16. Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR) • Concept simple • Facile à calculer • Mesure le risque en un seul nombre et ne tient pas compte de la sévérité de la ruine • Pas sous-additive • MAIS peut faire sens dans un objectif de solvabilité

17. Tail Value at Risk (TVaR) • TVaR = perte moyenne au-delà d’un certain seuil dépendant de α • Mesure le risque à l’aide de deux nombres • Très sensible à la queue de distribution de X

18. Tail Value at Risk (TVaR)

19. Tail Value at Risk (TVaR) • Assez facile à expliquer et à calculer • Plus conservatrice que la VaR • Respecte toutes les propriétés (i) à (vii) • Risque dans la queue de distribution appréhendé UNIQUEMENT par le moment d ’ordre 1

20. Excess Tail Value at Risk (XTVaR) • Ruine moyenne au-delà d’un certain seuil dépendant de α • Issue de la TVaR : TVaR = VaR + XTVaR

21. Expected Policyholder Deficit (EPD) • Appréhende la probabilité de perte des assurés et l’espérance de celle-ci • A = actifs de l’assureur • X = engagement de l’assureur vis à vis des assurés

22. Expected Policyholder Deficit (EPD) • Utile pour les autorités de contrôle : ratio EPD • Calcul plus complexe • Vérifie les propriétés de conservatisme et de sévérité mais le respect des autres propriétés n’a pas été démontré à ce jour

23. Mesures de risque avec opérateurs de distorsion • Principe = déformation d’une loi de distribution donnée : F*(x)=g(F(x)) • Opérateur de distorsion g = fonction croissante et concave t.q : g : [0,1]  [0,1], g(0)=0 et g(1)=1 • La VaR correspond à la distorsion

24. Opérateurs de distorsion - Exemple

25. Mesures de risque avec opérateurs de distorsion • S. Wang propose la transformation suivante : • Le besoin en capital est égal à • Prend en compte toute la distribution • Peu intuitive • Mise en œuvre complexe

26. Lien avec les approches réglementaires • Marge de solvabilité européenne, Solvency II et probabilité de ruine • RBC et EPD • Canada et TVaR

27. Conclusion • Le respect des propriétés est-il important ? Quelle mesure ? • Groupe de travail AAI (octobre 2003) :« pour l’assurance, la valeur à risque dans la queue de distribution (TVaR) comporte plus d’avantages comme mesure de risque que le facteur VaR ». La TVaR ?... • « Ce qui est simple est faux et ce qui est compliqué est inutilisable »

28. Références bibliographiques • Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999), « Coherent measures of risk ». Mathematical Finance 9(3), 203–228. • Butsic R. (1994), « Solvency measurement for Property-Liability Risk-Based Capital applications », Journal of Risk & Insurance 61. • De la Foata C., Odjo H. (2001), « Analyse d’un système de sécurité cohérent et optimal pour une compagnie d’assurance IARD », ASTIN 2001 • Groupe de travail de l’AAI sur l’évaluation de la solvabilité de l’assureur (www.actuaries.org) • Wang S. (2002), « A risk measure that goes beyond coherence », AFIR 2002. • Wirch J.L., Hardy M.R. (1999), « A synthesis of risk measures for capital adequacy », Insurance : Mathematics & Economics 25.

29. Merci de votre attention