Les fractal(e)s

1. Les fractal(e)s Larry Gingras Cégep de Sainte-Foy

2. Fractal ou fractale ? Le mot fractal(e) fut inventé par Benoit Mandelbrot, celui-là même qui développa le concept et dont le fractal le plus célèbre porte le nom (celui dans le coin!). Il vient à la fois du mot fraction (à cause de la dimension fractionnaire d'un fractal) et fracture (à cause du contour irrégulier d'une courbe fractale). Mandelbrot, qui est un polonais ayant longtemps vécu en France puis aux États Unis, avait choisi le masculin fractal pour désigner ses objets dans la langue de Molière. Il avait cependant en horreur le pluriel fractaux et c'est pourquoi il utilisait fractals comme pluriel. Quand il fallut officialiser ce nouveau mot, cela lui causa des problèmes avec l'Académie Française qui refusait d'accepter un nouveau mot qui serait une exception à la langue (il faudrait dorénavant apprendre à la petite école les exceptions: bal, carnaval, festival, ... fractal :-). Pour contourner le problème, il décida donc de rendre le mot féminin ce qui donne alors fractales au pluriel sans devenir une exception. C'est pourquoi on voit aujourd'hui beaucoup plus souvent le mot au féminin, mais ceux qui ont commencé à s'y intéresser depuis longtemps ont tendance à utiliser le genre masculin que devait initialement avoir le mot.

3. De belles images… • Pour plusieurs, les fractals sont avant tout de belles images très colorées. • Certains savent qu’il sont obtenus à partir de formules mathématiques itératives. • Chaque fractal est comme une photo numérique qui fige l’image à une itération particulière. • Les fractals sont associés à la théorie du chaos avec laquelle il partagent les caractéristiques de complexité et d’extrême sensibilité aux conditions initiales.

4. Qu’est-ce qu’un fractal ? Un fractal peut se définir (de façon simplifiée) comme un objet géométrique possédant les trois caractéristiques suivantes: • Dimension non-entière • Auto-similaire • Irrégulier à toutes les échelles Rem: - L’irrégularité fait des fractals des objets infiniment complexes. - Certaines courbes non auto-similaires, mais de forme irrégulière, sont considérées comme fractales.

5. Types de fractals On distingue aujourd’hui trois types de fractals: • Linéaires: basés sur l’itération d’équations linéaires (ceux de Von Koch, Sierpinski, Hilbert) • Non-linéaires: basés sur l’itération de nombres complexes (ceux de Mandelbrot, Newton, Julia) • Aléatoires: on introduit un paramètre aléatoire dans l’itération pour obtenir des formes tout à fait irrégulières (comme les montagnes ou les nuages)

6. La courbe de Von Koch Cette courbe est obtenue en subdivisant un segment en trois parties égales et en construisant le sommet d’un triangle équilatéral sur le tiers central. Les premières itérations donnent: Cette courbe est continue, mais différentiable nulle part (i.e. en aucun point elle n’admet de tangente). On voit également qu’elle est auto-similaire et qu’elle devient infiniment complexe si on poursuit le processus d’itérations.

7. Figures de Sierpinski Pour le triangle de Sierpinski, on part d’un triangle équilatéral pour lequel la règle de production consiste à y enlever un triangle inscrit en sens inverse. Dans le cas du tapis de Sierpinski, on part d’un carré dans lequel on enlève un autre carré central trois fois plus petit… et on recommence. On obtient ainsi :

8. Un fractal, c’est long ? Comme ces processus itératifs se prolongent à l’infini, on peut se poser des questions sur les caractéristiques de la figure finale, comme quelle en est la longueur ? Quelle est la longueur de la courbe de Von Koch ? Quelle est la longueur de la côte de la Gaspésie ?  Une façon d’illustrer que la longueur dépend du niveau de précision/grossissement considéré est d’utiliser la métaphore suivante. Quelqu’un qui survole une région peut évaluer que la distance du point A au point B est de 10 km; celui-ci ne peut évaluer précisément le relief de la surface. La personne parcourant la distance en auto doit monter et descendre les côtes et l’odomètre de sa voiture marquera donc plus de 10 km. La fourmi effectuant le même trajet doit passer par dessus plusieurs roches, brindilles et autres mégots de cigarette pour finalement effectuer une course encore plus longue. La molécule voulant faire le trajet aurait à jouer à saute-mouton avec toutes les autres molécules la séparant de son but… Ainsi, plus on veut détailler le contour d’une courbe fractale, plus son périmètre augmente… et il n’y a rien pour l’arrêter… jusqu’à l’infini…

9. Fractals linéaires Pour obtenir un fractal linéaire, il faut une figure de départ et une règle de production qui nous dit comment s’effectue une itération. chaque segment est remplacé par le motif qui alterne (vers l’extérieur, vers l’intérieur) à chaque segment. Étapes Figure «finale» Cela montre bien que le triangle de Sierpinski est un fractal linéaire même s’il y a plusieurs méthodes de construction pour l’obtenir.

10. Exercices Trouver à quoi ressembleront les figures finales si chaque segment est remplacé par le motif à chaque itération: Ces fractals s’appellent respectivement: le flocon de Von Koch, la saucisse de Minkowski et le fractal de Lévy.

11. La dimension Voyons maintenant comment on peut arriver à définir une dimension non entière. Pour ce faire, intéressons-nous à la notion d’auto-similitude. On dit qu’un objet F est auto-similaire s’il se décompose en n parties identiques f1, f2, f3, …, fn qui sont toutes similaires à l’objet entier F. Pour qu’une partie fi soit similaire à F, il faut qu’en dilatant fi d’un certain facteur s (facteur de dilatation) on retrouve F au complet.

12. Exemples segment : n = 3 s = 3 carré : n = 9 s = 3 cube : n = 27 s =3 courbe de Von Koch: n = 4 s = 3

13. Calcul de la dimension On a l’habitude de penser à la notion de dimension en termes de degrés de liberté (nombre de directions indépendantes ou nombre d’informations nécessaires pour localiser un point). Pour les objets auto-similaires, il y a une autre façon de voir la notion de dimension. Segment (dimension 1) : n = 3, s = 3 n = s1 Carré (dimension 2) : n = 9, s = 3 n = s2 Cube (dimension 3) : n = 27, s = 3  n = s3 On est donc toujours capable d’établir la relation n = sd où d est la dimension de l’objet auto-similaire. Cette relation peut donc être utilisée pour définir la dimension d de l’objet. En se servant des logarithmes pour isoler la valeur de d dans l’équation, on trouve alors:

14. Dimension de similitude Comme cette définition ne s’applique qu’à des objets auto-similaires, on parle donc de dimension de similitude, mais dans le cas du segment, du carré ou du cube, la dimension de similitude coïncide avec la dimension usuelle. Dans le cas de la courbe de Von Koch, on avait que n = 4 et que s = 3, la dimension de similitude de cette courbe est donc de La dimension de similitude donne le niveau de complexité de la courbe. Dans le cas du fractal le plus connu (l’ensemble de Mandelbrot) cette courbe est tellement complexe que sa dimension est de 2. C’est d’ailleurs pour cette raison que certains ne le considèrent pas comme un vrai fractal !

15. Exercice… Quelle est la dimension de similitude de l’éponge de Menger illustrée ici ? s = ?  3 n = ?  20 Voici un lien internet donnant la dimension de divers fractals

16. Dimension «box counting» Pour les fractals non auto-similaires, on obtient une approximation de la dimension fractale par la méthode du «box counting». On subdivise une surface en sous-régions carrées et on fait le ratio du logarithme du nombre de carrés que croise la courbe par rapport au logarithme du nombre carrés par côté de la plus petite surface carrée contenant la courbe. nombre de carrés noirs: 243 surface de 26 x 39 carrés, nombre de carrés par côté de la plus petite surface: 39 • plus précis si carrés plus petits • vraie dimension : 1,5

17. Les fractals en image Utilisons l’exemple de l’ensemble de Mandelbrot pour montrer comment on peut obtenir de saisissantes images de fractals, très subtilement colorés. Cet ensemble est défini itérativement à partir des nombres complexes. On débute l’itération à l’origine et on utilise un point complexe arbitraire c. Les coordonnées du point suivant sont alors données par : z2+c où z représente toujours le point précédent (l’origine au début). En répétant le processus, on obtient une suite de points du plan complexe qui peut alors avoir deux comportements : • Elle demeure confinée à une région limitée autour de l’origine (elle est alors attirée par un point fixe). • Elle s’échappe de la région limitée et est alors attirée vers l’infini. L’ensemble de Mandelbrot est alors l’ensemble de tous les points initiaux c pour lesquels la suite demeure confinée à une région.

18. Localisation de l’ensemble de Mandelbrot Dans le plan des nombres complexes, l’ensemble de Mandelbrot est localisé de la façon suivante: Rem: Avec Maple on peut facilement vérifier le comportement de quelques séquences de points en fonction du point de départ de l’itération.

19. L’ensemble de Mandelbrot L’ensemble de Mandelbrot s’étend indéfiniment en filaments dans le plan et sa frontière possède une structure si riche qu’on y découvre une infinité de détails (dont des copies de l’ensemble lui-même), peu importe le grossissement qu’on lui fait subir. On a montré que si une suite de points arrive à une distance de plus de deux unités de l’origine, alors automatiquement elle se dirigera vers l’infini (son c est alors en dehors de l’ensemble de Mandelbrot). Le nombre de points de la suite (nombre d’itérations) avant qu’elle ne dépasse cette distance est appelée la profondeur du point c. Les points près de la frontière de l’ensemble de Mandelbrot ont une profondeur très élevée (elle peut être d’un million). Le comportement de ces points est donc totalement imprévisible et on utilise cette caractéristique pour colorer les fractals en assignant une couleur différente à chaque point, selon l’ordre de grandeur de sa profondeur. Par convention, l’ensemble lui-même est toujours représenté en noir.

20. Zoom sur Mandelbrot Quelques zooms… Les objets fractals rejoignent ici les phénomènes chaotiques à cause de leur extrême sensibilité aux conditions initiales. En effet, deux points aussi près que possible l’un de l’autre peuvent avoir deux comportements complètement différents. C’est ce qui fait l’infinie complexité des fractals; même si on effectue sans arrêt un grossissement de l’image, il y aura toujours un motif car des points voisins auront des couleurs différentes. (Précision des images: 100000 itérations) Voici un lien internet vers un vidéo zoomant sur l'ensemble de Mandelbrot

21. Fractals de type Newton Newton a développé une méthode itérative pour approximer les solutions d’une équation. Si on étudie vers quelle solution converge une valeur de départ du processus, on réalise que ce n’est pas nécessairement la plus proche et qu’aux frontières entre les solutions le comportement est chaotique: c’est un fractal. Les trois puits de l’image suivante sont les solutions de l’équation z3 = 1 et chaque couleur les valeurs qui convergent vers cette solution. Les teintes correspondent à la vitesse de convergence.

22. Des fractals partout… Le triangle de Pascal est connu depuis fort longtemps… Que remarque-t-on si on s’intéresse à la position des nombres impairs ? Eh oui, c’est le triangle de Sierpinski!!

23. Fractals et nature Les fractals peuvent servir à répliquer la nature (montagnes, nuages…) Voici un exemple classique de feuille fractale:

24. Voici un fractal… En fait, il s’agit d’un brocoli de la variété Romanesco!

25. Utilisation des fractals Voici un extrait de l’émission «Fractale: à la recherche de la dimension cachée» qui fut diffusée par Arte TV Cliquez sur le lien suivant : antennes fractales

26. Art et fractals La beauté des images fractales a amené le développement d’une nouvelle forme d’art conjuguant leur côté très mathématique et le traitement artistique qu’on peut leur donner. De nombreux artistes en herbe ont développé des formules, combiné des images, rajouté des effets spéciaux… pour obtenir des images magnifiques. Voici donc quelques exemples (parmi des milliers) de cet art fractal.

34. Liens Pour terminer, voici quelques liens pour ceux qui voudraient fouiller un peu le sujet. Site sur l’art fractal et lien vers une chaîne (loop) de pages web: fractalus Site d’un logiciel permettant de dessiner des fractals: Ultra Fractal Un lien vers un site de liens plus sérieux sur le coté mathématique des fractals: ressources

35. The end…