GEOMETRIA FRACTAL

1. GEOMETRIA FRACTAL O JOGO DO CAOS

2. Como jogar O JOGO DO CAOS

3. Precisamos de:

4. Um dado • Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C C A B

5. Posteriormente...

6. A cada um dos vértices atribuímos dois dos seis possíveis resultados procedentes do lançamento do dado. • Por exemplo: • A é o “vencedor” se sair um 1 ou um 2. • B é o “vencedor” se sair um 3 ou um 4. • C é o “vencedor” se sair um 5 ou um 6.

7. Agora estamos prontos para jogar!

8. Início: Lançamos o dado. • Marcamos o vértice • “vencedor”. Digamos que saiu o 5. • Então, começamos no vértice C.

9. C A B

10. Passo 1: Lançamos o dado novamente. Digamos que sai o 2. Então o “vencedor” é o vértice A.

11. Agora movemo-nos da nossa posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos no ponto médio destes dois pontos. Marcamos a nova posição. Chamemos-lhe M1. C M1 A B

12. Passo 2: Lançamos o dado mais uma vez. Vamos mover-nos da última posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos a meio. Marcamos a nova posição. Seja ela M2.

13. Por exemplo, se sair 3, a nova posição M2 será o ponto médio de M1 e B. C M1 M2 A B

14. Passos 3, 4, etc. Continuamos a lançar o dado, movendo-nos, de cada vez, para o ponto médio da última posição e do vértice “vencedor”.

15. As figuras seguintes mostram, progressivamente, os resultados da evolução do Jogo do Caos:

17. O padrão é inconfundível: uma Gaxeta de Sierpinski! Após 10000 jogadas, seria impossível notar a diferença entre o grupo de pontos e a Gaxeta de Sierpinski original.

18. Como é que do Jogo do Caos surge a Gaxeta de Sierpinski?

19. Vamos jogar utilizando a Gaxeta de Sierpinski...

20. Assumamos que todos os triângulos brancos da Gaxeta de Sierpinski são os triângulos que foram sucessivamente removidos ao triângulo original necessário para a sua construção.

21. Suponhamos que começamos com um ponto algures no meio do triângulo branco maior, removido da Gaxeta de Sierpinski.

22. Para onde se move o ponto depois de rolar o dado?

23. O ponto mover-se-á para um dos três triângulos imediatamente mais pequenos, já que estes triângulos representam todos os pontos que estão a metade da distância dos três vértices aos pontos do triângulo maior que foi removido.

24. Após mais uma jogada, o ponto move-se para um dos nove triângulos imediatamente mais pequenos. E assim por diante.

25. O ponto continuará a mover-se para os triângulos removidos, sucessivamente menores. Eventualmente, depois de mais algumas jogadas, o ponto mover-se-á para um triângulo tão pequeno que seja praticamente invisível.

26. Na realidade, a órbita de um ponto que comece em qualquer um dos triângulos removidos, nunca “alcançará” o triângulo de Sierpinski!

27. A Gaxeta de Sierpinski Modificada

28. A GAXETA DE SIERPINSKI MODIFICADA É uma simples variação da gaxeta de Sierpinski original. Como se constrói?

29. Início: A construção começa exactamente como a da Gaxeta de Sierpinski original. Começamos, então, com um triângulo arbitrário.

30. Passo 1: Aplicar o procedimento TSG ao triângulo.

31. Procedimento TSG Consiste em:

32. -Cortar Remover o triângulo médio do triângulo original.

33. -Modificar Deslocar cada um dos pontos médios dos lados do triângulo, para baixo ou para cima, de forma aleatória.

34. Aqui temos um possível resultado

35. Depois de concluído o Passo 1, obtemos 3 triângulos sólidos e um “buraco” no meio, com uma forma triangular.

36. Passo 2: Para cada um dos triângulos sólidos obtidos no passo anterior, repetimos o Procedimento TSG.

37. Ficamos, assim, com nove triângulos sólidos e com quatro “buracos” de forma triangular.

38. Passos 3, 4, etc. Aplicamos repetidamente o Procedimento TSG a cada um dos triângulos sólidos.

39. Quando o Procedimento TSG é repetido ao infinito, obtemos a Gaxeta de Sierpinski Modificada.

40. A figura seguinte mostra um exemplo de uma Gaxeta de Sierpinski Modificada depois de oito passos.

41. Podemos constatar que a Gaxeta de Sierpinski Modificada tem o inconfundível aspecto de uma montanha.

42. Adicionando alguns efeitos de cor, luz e sombra, podemos obter algo muito semelhante a uma montanha real. Mudando a forma do triângulo original, podemos mudar a forma da montanha e mudando as regras da distância permitida para os movimentos aleatórios, é possível alterar a textura da montanha.

43. No entanto, tal como nas verdadeiras montanhas da natureza, obtemos sempre o inconfundível “aspecto de montanha”.

46. O mais notável de tudo é que estas complicadas formas geométricas podem ser descritas em duas linhas, através de uma simples regra de substituição recursiva.

47. REGRA DE SUBSTITUIÇÃO RECURSIVA PARA A GAXETA DE SIERPINSKI • Começamos com um triângulo arbitrário. • Onde virmos um triângulo preto, aplicamos o procedimento TSG. MODIFICADA

48. E quanto à... AUTO-SIMILARIDADE? SERÁ QUE A GAXETA DE SIERPINKI MODIFICADA A POSSUI?

49. Não exactamente. Sempre que ampliarmos uma parte da Gaxeta de Sierpinski Modificada, não vemos exactamente o mesmo, mas sim pequenas variações da estrutura ampliada. Aquele aspecto característico de montanha vai aparecer em todas as escalas!

50. AUTO-SIMILARIDADE APROXIMADA QUANDO OLHAMOS PARA UM OBJECTO (OU FORMA) E PARA PARTES DESSE OBJECTO (OU FORMA) EM DIFERENTES ESCALAS E VEMOS ESTRUTURAS RECONHECIDAMENTE IDÊNTICAS, MAS NÃO SIMILARES, DIZEMOS QUE ESSE OBJECTO POSSUI AUTO-SIMILARIDADE APROXIMADA.