LA THERMODYNAMIQUE

1. LA THERMODYNAMIQUE pour madame et monsieur Toutlemonde Le 7 juin 2014 Denis Chadebec

2. Remarque: dans tout cet exposé, il sera fait un usage répété d’une des plus belles théories mathématiques de tous les temps : le Calcul Différentiel & Intégral initiée au moyen âge puis énoncée par Newton & Leibnitz au XVIIe siècle

3. Pas de paniqueon va tout détailler! Pas de paniqueon va tout détailler!

4. GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005 DE LA FORCE A L’ENERGIE fig 022 LA LOI DE CONSERVATION DE L’ENERGIE fig 038 L’ENERGIE OU LES ENERGIES ? fig 051 L’IRRÉVERSIBILITÉ fig 058 L’IDENTITÉ FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067 LE CORPS ET SON MILIEU fig 082 fig 092 RENDEMENT OPTIMAL D’UN MOTEUR fig 095 LES GAZ PARFAITS L’EXPÉRIMENTATION fig 100 fig 108 L’ENTROPIE ET LE DÉSORDRE COUPUSCULAIRE fig 114 ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT 13 chapitres répartis en 5 grands chapitres vont être commentés l’un après l’autre

5. GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES

6. Grandeur f’ Grandeur x Valeur initiale xo GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Aire = grandeur f

7. Aire = δf Grandeur f’ Grandeur x Valeur initiale xo Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Regardons δf Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f

8. Aire plus grande que la variation δf de f ≤ max(f’)δx Grandeur f’ Grandeur x Valeur initiale xo Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x δf Elle vaut Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f

9. Aire plus petite que la variation δf de f max(f’)δx ≤ min(f’)δx ≤ Grandeur f’ Grandeur x Valeur initiale xo Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x δf Elle vaut Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f

10. Aire = max(f’)δx ≤ δf min(f’)δx ≤ Grandeur f’ ≤ ≤ Grandeur x Valeur initiale xo δx δx δx Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Divisons partout par δx δf Variation δx de la grandeur x et simplifions Aire = grandeur f

11. Aire = δf grandeur f’ grandeur x valeur initiale xo Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x min(f’)δx max(f’)δx ≤ δf ≤ max f’ min f’ ≤ ≤ δx δx δx Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f

12. Aire = δf grandeur f’ devient devient f ’ f ’ limite ≤ ≤ δf grandeur x valeur initiale xo δx limite (quand δf tend vers 0) de = f ’(x) Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zéro min(f’)δx max(f’)δx ≤ δf ≤ max f’ min f’ ≤ ≤ δx δx δx variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f

13. Aire = δf grandeur f’ δf grandeur x valeur initiale xo δx limite (quand δf tend vers 0) de = f ’(x) Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Quand δx est suffisamment petit les grandeurs δf et δx sont considérées comme proportionnelles variation δx de la grandeur x δf = f ’(x) δx Aire = grandeur f Vocabulaire : on dit que f est différentiable par rapport à x et que f’ est la dérivée de f par rapport à x

14. Variation δf de la grandeur f Grandeur f grandeur f’ Variation δx de la grandeur x δf grandeur x valeur initiale xo δx limite (quand δf tend vers 0) de = f ’(x) δx δf Aire = f Courbe représentative de f

15. Variation δf de la grandeur f Variation nommée df Tangente Sécante Abscisse Ordonnée δf dx Δf = δx Variation dx de la grandeur x df f’(x) dx = Variation nommée Δf grandeur f Variation δx de la grandeur x δf δf grandeur x δx δx limite (quand δf tend vers 0) de limite (quand δf tend vers 0) de = f ’(x) = f ’(x) En suivant la sécante δx δf Δf dx Retenons cette équation de la tangente df = f ’(x) dx

16. nous adoptons une démarche intellectuelle très fréquente en physique : Tangente δf Grandeur f seuil δmaxx C’est pourquoi, ces deux écritures seront utilisées à tour de rôle selon les besoins du moment δx δf δf Grandeur x δx δx limite (quand δf tend vers 0) de limite (quand δf tend vers 0) de = f ’(x) = f ’(x) quand une grandeur f dépend d’une autre grandeur x, nous admettons que, si la taille de la variation δx est en-dessous d’un seuil δmaxx peut être assimilée à df la variation δf de f δf = f ’(x) δx df = f ’(x) dx parce que nous admettons que

17. Point de contact grandeur f’ Tangente Δx Δx δf ’ = f ’’(x) Aire = grandeur f m grandeur x δf = f ’(x) δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même f ’(m) = f ’(x) + δf ’

18. Segments égaux Point de contact Tangente grandeur f δf δx Δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même Δx δf ’ = f ’’(x) f ’(m) = f ’(x) + δf ’ m grandeur x Segments égaux sécante δf parallèle à la tangente δf = f ’(x) δx δf = f ’(m) δx

19. Point de contact Tangente sécante grandeur y parallèle δy δx Δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même Δx δf ’ = f ’’(x) f ’(m) = f ’(x) + δf ’ m δx Δx f ’’(x) f ’(x) + δf = grandeur x Substituons f’(x) δf = f ’(m) δx δf = f ’(x) + δf ’δx Substituons δf ’ Note : si δx est négatif alors δx est aussi négatif On développe : δf = f ’(x) δx + f ’’(x) Δxδx, Δx et δx sont de même signe, et si δx est petit alors Δx est encore plus petit.

20. La thermodynamique traite des échanges d’énergie entre les systèmes physiques. Mais sait-on vraiment ce qu’est cette grandeur ? L’énergie est un pouvoir de déplacer les corps et qui se consomme quand elle agit Qu’est-ce que c’est ? La même chose que la force ? Non ... Parce que ... La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps qui ne se consomme pas quand elle agit

21. DE LA FORCE À L’ÉNERGIE Sous-chapitres : - La vitesse - L’accélération - La force - L’énergie

22. La vitesse

23. Vitesse Temps Espace dx dt vx vx 1 Aire = dx Temps dt Au commencement était une idée très ancienne ... ... si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps alors le tableau nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vxdt Cette formule nous donne la géométrie ci-contre

24. L’accélération

25. Temps Espace dx dt vx vx 1 Aire = dx t Si maintenant la vitesse est variable … le corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps … ... mais une distance qui varie avec le temps alors le tableau nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vxdt Vitesse Cette formule nous donne la géométrie ci-contre mais l’aire de la surface jaune est toujours égale à la distance … Temps dt

26. Cas particulier bien utile : La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au temps Temps Vitesse dvx dt vx dvx ax 1 Aire = dx t alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès … dvx = ax dt Définition : le nombre ax est l’abscisse de l’accélération. Vitesse Temps dt

27. Cas particulier bien utile : La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au temps dx = dt (vxo + vx) 1 2 1 2 Aire jaune aire verte = Temps Vitesse Aire jaune = dt (vxo + vx) dvx dt dvx vx ax 1 vxo vxo alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès : Conclusion : si, pendant le temps dt l’accélération est constante, alors la distance parcourue est donnée par la formule dvx = vx – vxo Aire totale = longueur x largeur = dt (vxo + vx) Vitesse Temps dt

28. D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une : dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt (cette idée est venue au moyen âge de la pratique de l’épure des architectes antiques) De la diapositive 26 vient La force dvx = ax dt

29. D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une : dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt Comment Newton a défini la force ? • Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une accélération. Faisons quelques expériences de pensée • Expérience de pensée 2 – Si, à ce deuxième corps l’accélération est doublée ... • Expérience de pensée 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double, et si on lui imprime la même accélération, alors ... ... alors nous admettrons que la force qu’il subit est encore doublée. ... nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doublée. Etudions les trois définitions suivantes : Fx = m ax , Fy = m ay , Fz = m az . Nous voyons bien que les résultats des deux expériences de pensée précédentes sont respectés. Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter cette définition de la force Note : Trois coordonnées font d’une force une Grandeur orientée

30. L’énergie

31. Multiplions la force par le déplacement 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m (vx - vxo)(vx + vxo) Fx dx = m ax (vx + vxo)dt m dx (vx + vxo) m ax dt (vx + vxo) = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx = dt (vxo + vx) 1 m (vx2 – vxo2) m vx2 m vxo2 Fx dx – = = = d m vx2 2 Fx dx = d m vx2 Fx dx = m ax dx , Fydy = m aydy , Fzdz = m az dz . Substituons le déplacement par sa formule de calcul Vu l’identité remarquable (p – q) (p + q) = p2 – q2 Fx = m ax , Fy = m ay , Fz = m az .

32. Fx dx Fy dy Fz dz = d = d = d m vz2 m vx2 m vy2 1 1 1 1 2 2 2 2 = d m (vx2 + vy2 + vz2) Additionnons membre à membre : sachant la règle d(f + g + h) df + dg + dh = et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs Fx dx + Fydy + Fzdz Petites justifications mathématiques parce que df + dg + dh = (f – fo) + (g – go) + ( h – ho) = f – fo + g – go + h – ho = f + g + h – fo – go – ho = (f + g + h)– (fo + go + ho) = d(f + g + h)

33. Ce triangle est rectangle L2 = vx2 + vy2 vz vy Ce triangle est rectangle vx v vx vy on applique le théorème de Pythagore v2 = L2 + vz2 v2 = vx2 + vy2 + vz2 vz vy vx v, vx, vy et vz sont des distances parcourues en une seconde comme si la vitesse restait figée

34. Fx dx Fz dz Fy dy = d = d = d m vy2 m vz2 m vx2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 m (vx2 + vy2 + vz2) = d m v2 Additionnons membre à membre : sachant la règle d(f + g + h) df + dg + dh = et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs Fx dx + Fydy + Fzdz = d

35. 1 1 2 2 = d m (vx2 + vy2 + vz2) = d m v2 Force Fx Aire = travail Position x dx Fx dx + Fydy + Fzdz Travail de la force du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’ cas d’une force constante

36. 1 1 2 2 Fx dx + Fydy + Fzdz = d m (vx2 + vy2 + vz2) = d m v2 Force Fx Position x dx Et si la force n’est pas constante ? δW (de l’anglais work = travail) du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’ cas d’une force non constante Aire = travail

37. 1 1 2 2 = d m (vx2 + vy2 + vz2) = d m v2 1 1 à ) W( de D (départ) A (arrivée) Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) =m vA2 – mvD2 = 2 2 Ce théorème est connu comme celui de l’énergie cinétique δW (de l’anglais work = travail) du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’

38. La loi de conservation de l’énergie

39. Un classement essentiel des forces Si oui Si non 1 1 à ) W( de Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) =m vA2 – mvD2 = W(de D à Ref) + W(de Ref à A) 2 2 à ) W( de D (départ) A (arrivée) = 1 1 1 Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) =m v2 – mv02 2 2 2 1 =m vA2 – mvD2 = UD – UA 2 Choisissons un lieu n’importe où dans l’espace … et nommé Ref (il nous servira de lieu de référence) W(de D à A) est toujours décomposable en W(de D à Ref) + W(de Ref à A) Question : La force est nonconservative Le résultat, dépend-t-il du choix du lieu de référence ? La force est conservative W(de M à Ref) est renommé UM pour n’importe quelle force seulement pour les forces conservatives

40. Et si plusieurs forces agissent simultanément ? 1 1 ) =m vA2 – mvD2 = 2 2 à ) W( de = UD – UA 1 1 Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) =m vA2 – mvD2 2 2 On additionne ! Donc on additionne les travaux conservés et les travaux non conservés Pour l’ensemble des forces somme des UD – UA +somme des W autres forces(de D à A) seulement pour les forces conservatives

41. Et si le système est composé de plusieurs corps ? 1 1 ) =m vA2 – mvD2 somme des UD – UA +somme des W autres forces(de D à A) = 2 2 somme (tous les corps) des UD – UA +somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) 1 somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des mvD2 = 2 1 2 On additionne !

42. LA LOI DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

43. Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? somme (tous les corps) des UD – UA +somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) 1 somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des mvD2 = 2 1 2 Raisonnons d’abord sur une seule coordonnée, l’abscisse par exemple m v2 1 2 Si le corps est au repos Leur vitesse est vx : à cause du désordre de leurs mouvements l’addition de toutes ces vitesses est zéro. Mais la somme des carrés vx2 de ces vitesses n’est pas zéro Sa vitesse Vx est nulle donc la somme des v2 est non nulle ! La somme de ces énergies cinétiques est la chaleur du corps Les corpuscules (microscopiques) ? Le corps (macroscopique) ?

44. Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? est Σvx2 + ΣVx2 + somme des 2 vxVx qui est nulle somme des 1 2 1 2 m vx2 m vx2 facteur commun + M Vx2 somme des = somme (tous les corps) des UD – UA +somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) 1 somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des mvD2 = 2 1 2 somme des m Vx2 Additionnons sur les trois coordonnées (abscisse, ordonnée et cote) + 1 2 1 2 Si un corps est en mouvement Leur vitesse est vx + Vx Si on nomme M la masse du corps La somme des carrés (vx + Vx)2 de ces vitesses alors la somme des m est M Sa vitesse Vx est non nulle La somme de ces énergies cinétiques est c’est la chaleur du corps Q c’est l’énergie cinétique du corps Les petits (microscopiques) ? Le gros (macroscopique) ? Loi de conservation de l’énergie

45. Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? 1 2 m vx2 + M Vx2 somme des = somme (tous les corps) des UD – UA +somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) 1 somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des mvD2 = 2 1 2 V V 1 2 Si un corps est en mouvement La somme de ces énergies cinétiques est = c’est la chaleur du corps Q c’est l’énergie cinétique du corps Les petits (microscopiques) ? Le gros (macroscopique) ? + QA + QD Loi de conservation de l’énergie

46. + somme (tous les corps) des m VA2 – somme (tous les corps) des mVD2 + QA + QD somme (tous les corps) des UD – UA +somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) 1 1 somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des mvD2 = 2 2 1 1 2 2 V V somme (tous les corps) des – UD + UA somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) = Soustrayons les énergies potentielles + QA + QD Loi de conservation de l’énergie

47. somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) = 1 1 1 + QD m VD2 + UD m VA2 + UA + QA – somme (tous les corps) des 2 2 2 1 2 somme (tous les corps) des – UD + UA somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) = + somme (tous les corps) des m VA2 – somme (tous les corps) des mVD2 + QA + QD puis regroupons les énergies cinétiques et potentielles Loi de conservation de l’énergie

48. Regroupons à gauche les forces non conservatrices 1 2 1 2 Il en perd ou reçoit sous forme d’énergie potentielle de ses parties macroscopiques Il en perd ou reçoit sous forme d’énergie cinétique de ses parties macroscopiques Le système physique reçoit ou perd de l’énergie sous forme de travail des forces non conservatives Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) + QD m VD2 + UD m VA2 + UA + QA – somme (tous les corps) des =

49. Regroupons à gauche les forces non conservatrices 1 2 1 2 Nom donné par les thermodynamiciens : énergie interne Renommés UA et UD par les thermodynamiciens Nous devons alors les renommer ! Ce sera UpotA et UpotD La discipline qui se préoccupe de ces échanges est la thermodynamique Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur somme (tous les corps) des W autres forces(de D à A) + QD m VD2 + UD m VA2 + UA + QA – somme (tous les corps) des =

50. L’ENERGIE OU LES ENERGIES ?