積和形論理式と多段論理式

1. 積和形論理式と多段論理式 • 積和形論理式　＝　AND-ORの２段 • 多段論理式　＝　３段以上の任意の形 • 一般的には、多段論理式の方がコンパクトな表現になる • ace + ade + bce + bde + cf + df = (c + d)(e(a + b) + f) • 回路面積の目安　＝　リテラル数 • １６　→　６ • 回路遅延の目安　＝　２入力基本ゲートで表現した時の段数 • ５段　→　４段

2. 論理式の割り算 • f = gh + r • fをｇで割った商がhで、あまりがr • 一般的には、hとrはユニークには決まらない • hとrに制限をつけない＝論理的割り算 • 無限通りの割り方がある • １回の割り算に積和形論理式の簡単化と同じ手間がかかる • ghを代数的積に制限する＝代数的割り算 • 結果がユニークにできる • O(n log n)の手間で計算できる • そんなに悪くないことが多い

3. 論理式の代数的処理 • 代数的論理式とは、論理関数の積和形論理式表現で、他の１つのキューブに含まれるキューブ（single cube containmentと呼ぶ）のないもの • ab + abc + cdは代数的論理式ではない • ab + cdは代数的論理式 • 代数式fとgの代数的積fgとは、fgを展開し、single cube containmentについて冗長性を取ったもの • fとgに共通な変数がないとfgは必ず代数的積 • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdは代数的積 • (a + b)(a + c) = aa + ac + ab + bc = a + bcは代数的積ではない

4. 論理式の割り算の例 f= ad + ae + bcd + j g1 = a + bc g2 = a + b • fをg1で代数的に割ると、商はd、あまりはae + j • fをg2で代数的に割ると、商は(a + b)d、あまりはae + j　（代数的には割れない）

5. Weak division（代数的割り算であまりのキューブ数最小のもの）のアルゴリズム Weak_div(F,G): U = {uj}/* Fの全てのキューブだが、Gに現れるリテ ラルだけに制限したもの*/ V = {vj}/* Fの全てのキューブだが、Gに現れるリテ ラル以外のリテラルに制限したもの */ /* uj vjがFのj番目のキューブとなっている */ Vi = {vj ∈ V| uj = Gi} H = ∩ Vi R = F – GH return (H, R) • 上のアルゴリズムはO(n log n)です。どこがそうでしょうか？ • O(n)にできますか？

6. Weak divisionのアルゴリズム：例題 F = ace + ade + bc + bd + be + a’b + ab G = ae + b U = ae + ae + b + b + b + b + ab V = c + d + c + d + 1 + a’ + 1 Vae = c + d Vb = c + d + 1 + a’ H = c + d R = be + a’b + ab F = (ae + b)(c + d) +be +a’b + ab

7. Gをどうやって選ぶか？カーネル、コカーネルGをどうやって選ぶか？カーネル、コカーネル • 効果的に割れるGを探す必要 • Gは無限にある • 問題：　論理式の集合{Fi}が与えられた時、できるだけ多く共通に割れる代数的項を探す • 探索対象＝カーネルに制限 • 定義 • 積和形論理式がキューブフリーとは、すべての積項に共通なリテラルがないことを言う • 積和形論理式のカーネルとは、その論理式に含まれる複数の積項からリテラルをとってキューブフリーにしたもの • 積和形論理式のコカーネルとは、カーネルを作るときにとったリテラルの積

8. カーネル、コカーネルの例 x = adf + aef + bdf + bef + cdf + cef + g = (a + b + c)(d + e)f + g カーネル コカーネル a + b + c df, ef d + e af, bf, cf (a + b + c)(d + e)f + g 1

9. カーネルに関する基本定理 • 論理式F、Gについて、Fの任意のカーネルkFとGの任意のカーネルkGが共通に持つ積項がたかだか１の場合、FとGは積項数２以上の積和形論理式で代数的には割れない • つまり、論理式をカーネルで割ったしまえば、複数の論理式を共通に割れるのは、キューブに限定される

10. カーネルの計算アルゴリズム R ← Kernel(j, G) R ← 0 If (Gがキューブフリー）R ← {G} For i = j+1, …, n { If (liが１つの積項のみで現れる) then continue c ← G/liを割り切る最大キューブ If (あるk<i に対し、lk ∈ c) then continue else R ← R ∪ Kernel(I, G/(li・c)) } Return R • Kernel(0, F)がすべのカーネルを計算 • lk ∈ cが高速化のポイント（同じカーネルを求めない）

11. abcd+abce+adfg+aefg+adbe+acdef+beg b c a (a) e c d e f b d c (a) (a) ac+d+g e d g f d c e e f d+e b+df b+ef b+cf cd+g c+d ce+g d+e c+e k co-k ernel ernel + + + + + 1 a f g d e de (( bc )( ) ( b cf ))) beg + + + + a f g d e de ( bc )( ) ( b cf ) + + ab d e de c ( ) + abc d e + abd e c + abe d c + + ac d e def b ( ) + acd ef b = + = + a 注意: f ad ae d e =bc ( ).

12. 多段化の例 f1 = ab(c(d + e) + f + g) + h f2 = ai(c(d+e) + f + j) + k カーネルd + eで割ると l = d + e f1 = ab(cl + f + g) + h f2 = ai(cl + f + j) + k さらにカーネルcl + fで割ると m = cl + f f1 = ab(m + g) + h f2 = ai(m + j) + k 共通に割れるカーネルはないので、キューブで割る n = am f1 = b(n + ag) + h f2 = I(n + aj) + k