1 / 20

Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

Juhusliku suuruse arvkarakteristikud. Arvkarakteristikute roll. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon kirjeldab täielikult tema tõenäosuslikku käitumist. Sageli pole vajalik täielik informatsioon juhuslikust suurusest, vaid tema mõningad üksikud aspektid.

jonathon
Download Presentation

Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Juhusliku suuruse arvkarakteristikud

  2. Arvkarakteristikute roll Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon kirjeldab täielikult tema tõenäosuslikku käitumist. Sageli pole vajalik täielik informatsioon juhuslikust suurusest, vaid tema mõningad üksikud aspektid. Nende üksikute huvipakkuvate aspektide väljendamiseks kasutatakse tõenäosusteoorias juhusliku suuruse arvkarakteristikuid. Näiteks sagedamini kasutatavad karakteristikud on juhusliku suuruse paiknemist iseloomustavad karakteristikud (mingis mõttes “keskmist” väärtust väljendavad arvud) ja hajuvust (“laialipillutatust”) iseloomustavad karakteristikud.

  3. Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtuseks (matemaatiliseks ootuseks) EX (kasutatakse ka tähistusi MX ja mx) nimetatakse suuruse võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summat: (kui suurusel on lõplik arv väärtusi) (kui suurusel on lõpmatu arv väärtusi) Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus on ligikaudu võrdne katseseeria jooksul ilmnenud juhusliku suuruse väärtuste aritmeetilise keskmisega ning sealjuures seda täpsemalt, mida suurem on katsete arv. Kui viia läbi mitu katseseeriat, siis iga katseseeria jaoks leitud juhusliku suuruse väärtuste aritmeetilised keskmised kuhjuvad konstandi ümber, milleks on selle juhusliku suuruse keskväärtus.

  4. X – pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga p(x), tema kõik võimalikud väärtused asetsevad lõigus [a; b]: Jaotame lõigu [a; b] n osalõiguks pikkustega S  p(i) xi p(x) p(i) xi a b x1 xi x2 0 i x xi+1 xn+1 Summa on analoogne diskreetse juhusliku suuruse keskväärtuse definitsiooniga. Kui X  (- ; +) siis Pideva juhusliku suuruse keskväärtus Valime igal osalõigul ühe punkti abstsissidega 1, 2,...,n P(xi  x < xi+1) p(i) xi Pideva juhusliku suuruse Xkeskväärtus:

  5. 2) Konstandi keskväärtuseks on sama konstant: E(C) = C Keskväärtuse omadused (I) 1) Keskväärtus asub kindlasti juhusliku suuruse vähima ja suurima võimaliku väärtuse vahel, kuid ei tarvitse alati kuuluda suuruse võimalike väärtuste hulka. Näiteks täringuviskel saadava silmade arvu keskväärtus: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 =3,5; 3,5  {1; 2; 3; 4; 5; 6}; 1  3,5  6. Leidub juhuslikke suurusi, millel puudub keskväärtus. Konstanti C võib vaadelda diskreetse juhusliku suurusena, mis tõenäosusega p1 = 1 saavutab oma ainukese väärtuse, milleks on see konstant ise: x1 = C. Seetõttu tema keskväärtus: Tõestus E(C) = x1  p1 = C  1 = C

  6. Keskväärtuse omadused (II) 3) Konstantse kordaja võib tuua keskväärtuse tähise ette: E(CX) = C EX Tõestus (diskreetse juhusliku suuruse korral) 3) Juhuslike suuruste summa keskväärtus on võrdne nende suuruste keskväärtuste summaga: E(X + Y) = EX + EY 4) Sõltumatute juhuslike suuruste korrutise keskväärtus on võrdne nende suuruste keskväärtuste korrutisega: E(XY) = EX  EY Juhuslikud suurused on sõltumatud, kui neist ühe jaotusseadus ei sõltu teise juhusliku suuruse väärtusest.

  7. Keskväärtuse omadused (III) 5) Juhusliku suuruse hälbed kahele poole keskväärtust keskmiselt tasakaalustuvad: E(X-EX) = EX – E(EX) = EX – EX = 0 Järeldus keskväärtuse omadustest: E(AX + B) = A·EX + B Näide On teada, et EX = 5. Leida lineaaravaldise 4·X - 6 keskväärtus. Lahendus E(4·X – 6) = 4· EX – 6 = 4·5 – 6 = 14

  8. p(x) pi x M0X 0 M0X 0 xi Juhusliku suuruse mood Diskreetse juhusliku suuruse moodiksM0X nimetatakse selle suuruse kõige tõenäosemalt esinevat väärtust Pideva juhusliku suuruse mood on selle suuruse niisugune väärtus, mille korral tihedusfunktsioonil on maksimum. Kui jaotuspolügoonil või tihedusfunktsioonil on mitu maksimumi, siis on tegemist multimodaalse jaotusega. Kui aga maksimum puudub hoopis (selle asemel on miinimum), siis nimetatakse jaotust antimodaalseks.

  9. p(x) S1 S2 S1 = S2 x MeX Juhusliku suuruse mediaan Juhusliku suuruse mediaaniksMeX nimetatakse niisugust arvu, millest suuremate ja väiksemate juhusliku suuruse väärtuste saamine on võrdtõenäone: P(X < MeX) = P(X > MeX) = 0,5 Geomeetriliselt on mediaan sellise punkti abstsiss, millest vasakule ja paremale jäävate tihedusfunktsiooni graafiku aluste piirkondade pindalad on võrdsed. Kui jaotus on unimodaalne (ühe moodiga) ja sümmeetriline, siis langevad kõik kolm paiknemise karakteristikut – keskväärtus, mood ja mediaan kokku.

  10. Juhusliku suuruse keskväärtus määrab suuruse keskmise nivoo. Ta ei kajasta aga suuruse hälbimist keskväärtusest. Nii näiteks on suurustel X -1 1 Y -10 10p 0,5 0,5 p 0,5 0,5 keskväärtused võrdsed: EX = EY = 0, kuid samas paigutuvad suuruse Y võimalikud väärtused keskväärtusest tunduvalt kaugemale kui suurusel X. Juhusliku suuruse keskmiseks lineaarhälbeks d nimetatakse tema tsentreeritud hälbe absoluutväärtuse keskväärtust: või Juhusliku suuruse keskmine lineaarhälve Suuruse hajuvuse karakteristikuks ei kõlba ka E(X-EX), kuna see on alati null. Üksikute hälvete märgist vabaneme, kui võtame absoluutväärtused |X – EX|

  11. Juhusliku suuruse dispersiooniks DX nimetatakse tema tsentreeritud hälbe ruudu keskväärtust: DX = E(X – EX)2. Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutamise eeskiri: Pideva juhusliku suuruse dispersiooni arvutamise eeskiri: Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhälbeks: Juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve Dispersioon on mittenegatiivne. Tema dimensiooniks on lähtesuuruse dimensiooni ruut. Standardhälbe dimensiooniks on lähtesuuruse dimensioon.

  12. 1. näide Näited Juhuslikuks suuruseks on täringuviskel saadav silmade arv. Leiame selle suuruse dispersiooni ja standardhälbe Lahendus Eelnevalt leidsime, et EX = 3,5.

  13. Ühtlase jaotuse tihedusfunktsioon on: kui x [a; b] kui x [a; b] 2. näide Näited (II) Leiame ühtlase jaotuse keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe Lahendus

  14. 1) Konstandi dispersioon on null:DC = 0, kus C =const. 2) Konstantse teguri võib tuua dispersiooni märgi ette ruutu tõstetuna:D(CX) = C2DX. 3) Dispersiooni arvutamise teine eeskiri: DX = EX2 – (EX)2 4) Sõltumatute juhuslike suuruste puhul: D(X + Y) = DX + DY Omadustest 2 ja 4 järeldub:D(X - Y) = DX + DY Omadustest 1 ja 2 järeldub:D(CX + B) = C2DX Dispersiooni omadusi

  15. Juhusliku suuruse r-järku algmomendiks nimetatakse suurust MrX = EXr Juhusliku suuruse r-järku keskmomendiks nimetatakse suurust Juhusliku suuruse asümmeetriateguriks nimetatakse kolmandat järku keskmomendi ja standardhälbe kuubi jagatist: p(x) p(x) p(x) x x x AsX > 0 AsX = 0 AsX < 0 Momendid ja asümmeetriategur Juhusliku suuruse keskväärtus on seega 1. järku algmoment. Juhusliku suuruse dispersioon on seega 2. järku keskmoment.

  16. Juhusliku suuruse ekstsess defineeritakse nii: p(x) p(x) p(x) x x x ExX = 0 ExX > 0 ExX < 0 Juhusliku suuruse ekstsess Normaaljaotuse (sellest edaspidi) puhul on ekstsess võrdne nulliga. Ekstsess on positiivne siis, kui jaotusel on “rasked sabad” (ja enamasti ka terav tipp). Negatiivse ekstsessiga jaotus on suhteliselt lame, tihti tõkestatud väärtustega.

  17. Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral F(p ) = p. Kvantiili mõiste Kvantiil p, on juhusliku suuruse see väärtus, millest väiksemate väärtuste esinemise tõenäosus on p, s.t. P(X < p ) = p. Funktsiooni p = p (p) nimetatakse pöördjaotusfunktsiooniks ehk kvantiilfunktsiooniks. Väärtust p saab valida vahemikust 0  p  1 (tõenäosus asub selles vahemikus). Sageli räägitakse ka p 100%-lisest kvantiilist (näiteks p = 0,95 korral 95%-lisest kvantiilist).

  18. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon on Leida kvantiilid 0,5 ja 90% . Näide Lahendus Nimetatud kvantiilide leidmiseks tuleb lahendada võrrandid 1) F(0,5) = 0,52) F(90%) = 0,9 Jaotusfunktsiooni avaldisest selgub, et nende võrrandite lahendid on lõigul 0  x  /2. Sellel lõigul F(x) = sin x ja võrrandite lahenditeks saame: 1) 0,5 = arcsin 0,5 = /6  0,5232) 90%= arcsin 0,9  1,12

  19. Juhusliku suuruse p-täiendkvantiiliks nimetatakse niisugust väärtust 1- p , mis rahuldab võrrandit P(X < 1- p ) = 1 - p. Mediaan, kvartiilid, detsiilid. Täiendkvantiil. Väärtusele p = 0,5 vastavat kvantiili nimetatakse mediaaniks. Tõenäosustele p = 0,25 ja p = 0,75 vastavaid kvantiile 0,25 ja 0,75 nimetatakse vastavalt alumiseks ja ülemiseks kvartiiliks. Tõenäosustele p = 0,1 , p = 0,2 , ... , p = 0,9 vastavaid kvantiile 0,1 , ... , 0,9 nimetatakse detsiilideks. Vahet 0,75 - 0,25 kasutatakse ka juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikuna: kvartiilidevahelisse lõiku satub juhusliku suuruse väärtus tõenäosusega 0,5. Nii on 5%-liseks täiendkvantiiliks 95%-line kvantiil.

  20. Jaotusfunktsioon Tihedusfunktsioon F(x) p(x) 1 p P(X > x1- p) = p xp x xp x1- p x p-täiendkvantiil P(X < x p) = p p-kvantiil p-kvantiil Kvantiili ja täiendkvantiili geomeetriline interpretatsioon

More Related