Método de diferenças finitas para problemas lineares

1. Método de diferenças finitas para problemas lineares • Problema linear de valores de contorno de segunda ordem, y´´ = p(x)y´+ q(x)y + r(x), com x entre a e b, y(a) =  e y(b) =  • Seleciona N>0 • Divide [a,b] em (N+1) subintervalos iguais • xi = a+ih, para i = 0,1,...,N+1 e h = (b-a)/(n+1) • No interior da malha: y´´(xi) = p(xi)y´(xi) + q(xi) y(xi) + r(xi), i = 1,2,...,N

2. Calculando y(xi+1) e y(xi-1) pela série de Taylor, somando essas equações e fazendo uma simples manipulação algébrica obtem-se: y´´(xi) = 1/h2[y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)] - h2 /24 [y(4)(+) + y(4)(-)] • Usando o teorema do valor intermediário: y´´(xi) = 1/h2[y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)] - h2/12[y(4)(i)], chamada de fórmula centrada de y´´(xi) • A fórmula centrada para y´(xi), obtida de maneira semelhante é: y´(xi) = 1/2h[y(xi+1) - y(xi-1)] - h2/6(y´´´(i)

3. Substituindo y´´(xi) e y´(xi) na equação original temos: y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)/h2 = p(xi)[y(xi+1) - y(xi-1)/2h] + q(xi)y(xi) + r(xi) - h2/12[2p(xi)y´´´(i) - y(4)(i)] • juntando as condições de contorno: w0 =  e wn+1 = , e [(2wi - wi+1 - wi-1)/h2] + p(xi)[(wi+1 - wi-1)/2h] + q(xi)wi = -r(xi), para i = 1,2,...,N

4. Reescrevendo a equação anterior -(1+h/2p(xi))wi-1 + (2 + h2q(xi))wi - (1-h/2p(xi))wi+1 = -h2r(xi) resultando em um sistema de equações da forma Aw = b

5. Teorema 11.3 • Supondo p, q e r continuas em [a,b], se q(x) >= 0 então o sistema trigonal tem uma única solução em h < 2/L onde L = maxa<=x<=b|p(x)|

6. Equação diferencial parcial elíptica • Equação de Poisson: 2 u(x,y)  2u/x2(x,y) + 2u/ y2(x,y) = f(x,y), para (x,y)  R u(x,y) = g(x,y) para (x,y)  S onde R = {(x,y)|a<x<b, c<y<d} e S denota o contorno de R • Método usado é uma adaptação do método de diferenças finitas

7. Escolha inteiros n e m • Defina h e k em que: h = (b-a)/n k = (d-c)/m • Coordenadas (xi,yi): xi = a + ih, para i = 0,1,...,n yj = c + jk, para j = 0,1,...,m

9. Linhas x=xi e y=yi são linhas de grade • Suas intersecções são pontos de junção da grade • Usando as fórmulas centradas de 2u/x2(xi,yj) e 2u/y2 (xi,yj) e as condições de contorno na equação de Poisson, obtemos a método centrado com erro da ordem de O(h2 + k2) 2[(h/k)2 + 1]wi,j – (wi-1,j + wi-1,j) – (h/k)2(wi,j + wi,j-1) = -h2f(xi,yj), para valores dentro de R • Para os contornos: w0,j = g(x0,yj), wn,j = g(xn,yj), para j = 0,1,...,m wi,0 = g(xi,y0), wi,m = g(xi,ym), para i = 1,2,...,n-1

10. Localização dos pontos em forma de estrela

11. Se usarmos condições de contorno apropriadas teremos um sistema linear (n-1)(m-1) por (n-1)(m-1) com aproximações não conhecidas wi,j para u(xi,yj) • Renomeando os pontos: Pl = (xi,yj) e wl = wi,j onde l = i + (m-1-j)(n-1) para i = 1,2,...,n-1 e j = 1,2,...,m-1

12. Grade com pontos renomeados