Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza

1. Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza

2. Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Gli argomenti di questa lezione sono: • Le rappresentazioni grafiche • I diagrammi di Bode • La rappresentazione nel piano complesso • Il diagramma polare (o di Nyquist)

3. Le rappresentazioni grafiche • Non si entra, per ora, nel merito dell’uso delle rappresentazioni grafiche nello studio dei sistemi • Si cercherà, invece, di stabilire alcune regole di facile apprendimento per tracciare, nel più immediato dei modi ed almeno in prima approssimazione, due tipiche rappresentazioni grafiche per le funzioni di trasferimento: • i diagammi di Bode • il diagramma polare (o di Nyquist)

4. I diagrammi di Bode

5. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode • I diagrammi di Bode sono due diagrammisemilogaritmici • Nel primo diagramma di Bode si rappresenta il valore, in dB, del modulo (o ampiezza) di una funzione G(s) al variare di w, posto s=jw • Nel secondo diagramma di Bode si rappresenta la fase della funzione G(s) • Si ricorda che la funzione G(s) è una funzione complessa con parte realeRe[G(s)] e coefficiente della parte immaginariaIm[G(s)]

6. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode • Cosa si intende per diagrammi semilogaritmici? • Sono diagrammi con assi ortogonali, come quelli cartesiani, nei quali, però, l’asse delle ascisse è graduato secondo il logaritmo (in base 10) della variabile indipendente (che qui è w) • Ricordando che log100 = - log101 = 0 log1010 = 1 log10100 = 2 e così via, si ha il diagramma che segue Precisazione: si noti che la funzione logaritmo non è, in effetti, definita per l’argomento 0;-, dunque, è in realtà il limite di tale funzione quando l’argomento tende a 0

7. decade decade decade decade decade Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode L’intervallo fra una “tacca” e l’altra, cioè ogni volta che log w aumenta di 1, si dice decade La variabile sull’asse delle ascisse è la pulsazionew • Poiché, come si è detto nella slide precedente, il logaritmo di 0 tende a - , naturalmente lo 0 in questo diagramma non può essere rappresentato! logw 0 1 2 3 4 5 w[rad/s] 1 100 10 101 100 102 1.000 103 10.000 104 100.000 105

8. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode : diagramma del modulo • È noto che il modulo di G(s) può essere calcolato come: |G(s)| = Re[G(s)]2+Im[G(s)]2 • Il suo valore in dB è, naturalmente: |G(s)|dB = 20 log |G(s)| • Si noti che • se |G(s)|=1|G(s)|dB=0 • se |G(s)|>1|G(s)|dB>0 • se |G(s)|<1|G(s)|dB<0

9. w[rad/s] Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: diagramma del modulo |G(s)|dB 80 60 La variabile sull’asse delle ordinate è il modulo, espresso in dB, |G(s)|dB 40 20 -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80

10. Im[G(s)] Re[G(s)] Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode : diagramma della fase • La fase di G(s) può essere calcolata come: j = tan-1 • La fase può essere espressa in gradi o in radianti • Si ricordi che • 0° = 0 [rad] • 90° = p/2 [rad] • 180° = p [rad]

11. w[rad/s] Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: diagramma della fase j [rad] [°] 180° p 135° 3p/4 La variabile sull’asse delle ordinate è la fasej p/2 90° 45° p/4 -45° -p/4 100 101 102 103 104 105 -90° -p/2 -135° -3p/4 -180° -p

12. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode • Per imparare le regole per la costruzione di un diagramma di Bode si partirà dall’illustrazione di alcuni esempi classici dai quali dedurre le regole fondamentali • Illustreremo di seguito la rappresentazione delle seguenti funzioni: • G(s) = k (k=costante reale positiva) • G(s) = s • G(s) = k•s • G(s) = 1/s • G(s) = 1+t•s • G(s) = 1/(1+t•s)

13. La funzione G(s)=k

14. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k • Posto s=jw, possiamo senz’altro dire che il valore in dB del modulo della funzione G(jw) è |G(jw)|dB = 20•log|k| • Tale valoreè • 0 se k=1 • positivo se k>1 • negativo se k<1 • La G(s) ha in questo caso parte realeRe[G(s)]=k e coefficiente della parte immaginaria nulla per cui j = tan-1 0 = 0

15. |G(jw)|dB k=1 |G(jw)|dB = 0per ogni valore diw 80 60 k<1 |G(jw)|dB < 0per ogni valore diw 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 k>1 |G(jw)|dB > 0per ogni valore diw -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma del modulo

16. j[rad] p 3p/4 p/2 p/4 w[rad/s] -p/4 100 101 102 103 104 105 -p/2 -3p/4 -p Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma della fase j = 0° per ogni valore diw

17. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k Riepilogando • La funzione G(s)=k (costante reale positiva) ha un modulo in dB costante e pari a 20•logk • Tale funzione non introduce alcuno sfasamento, cioè la sua fase è costantemente nulla al variare della pulsazionew

18. La funzione G(s)=s

19. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s • Posto s=jw, si calcola facilmente che il valore in dB del modulo della funzione G(jw) è |G(jw)|dB = 20 logw • Tale valoreè • 0 quandow=1 • cresce linearmente di 20 dB ogni volta che logw aumenta di 1,cioè per ognidecade • La G(s) ha in questo caso parte reale nulla e coef-ficiente della parte immaginariaIm[G(s)]=w per cui j = arctg (w/0) = 90° = p/2

20. |G(jw)|dB 80 60 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma del modulo ed aumenta di 20 dB per ognidecade |G(jw)|dBvale 0quandow = 1

21. j[rad] p 3p/4 p/2 p/4 w[rad/s] -p/4 100 101 102 103 104 105 -p/2 -3p/4 -p Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma della fase j = 90° per ogni valore diw

22. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s Riepilogando • La funzione G(s)=s ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0) • Tale funzione G(s)=s ha un modulo in dB che si annulla per w=1 e che cresce di 20 dB per decade • Inoltre essa introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di 90°

23. La funzione G(s)=k•s

24. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s • Posto s=jw,il valore in dB del modulo della funzione G(jw), per le proprietà dei logaritmi, si calcola facendo la somma dei logaritmi di k ed w|G(jw)|dB = 20•log(|k|•w) = 20•log|k| + 20•logw • Come si vede, è la somma delle funzioni viste in precedenza; il grafico del modulo risulta quindi uguale al grafico della funzione G(s)=s traslato verticalmente del valore di 20•log|k| • Il diagramma della fase è identico a quello della G(s)=s in quanto la parte reale di G(s)=k•s è nullaj = arctg (kw/0) = 90° = p/2

25. |G(jw)|dB 80 60 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma del modulo = diagramma di G(s)=k•s Diagramma di G(s)=s + diagramma di G(s)=k

26. j[rad] p 3p/4 p/2 p/4 w[rad/s] -p/4 100 101 102 103 104 105 -p/2 -3p/4 -p Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma della fase j = 90° per ogni valore diw

27. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s • Da quanto visto sulle rappresentazioni di tale funzione è possibile ricavare una regola generale • Il prodotto di una costante k (reale e positiva) su una funzione G(s) incide sui diagrammi di Bode nel seguente modo: • Il diagramma del modulo risulta traslato verticalmente del valore 20•log|k| • Il diagramma della fase rimane invariato

28. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s • Annotazione:la regola enunciata corrisponde al fatto che il modulo del prodotto di due numeri complessi è pari al prodotto dei moduli, mentre la fase di tale prodotto è pari alla somma delle fasi • Il numero reale k ha modulo|k| ed ha fase nulla • Quindi, nel modulo in dB, per la proprietà dei logaritmi, il valore 20•log|k| si somma a 20•logw • Inoltre, visto che k ha fase nulla,la fasedi G(s)=k•s è uguale a quella di s, cioè sempre 90°

29. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s • Sul diagramma del modulo si deve fare un’altra fondamentale considerazione • Il modulo in dB, assume valore 0 quando |G(s)|dB=20•(log|k|+logw)=0e quindi, con qualche passaggio algebrico, quandologw=-log|k|logw=log|k|-1 w=|k|-1 w=1/|k| • Il numero reale 1/|k| è dunque l’intersezione con l’asse delle ascisse della curva del modulo in dB della funzione G(s)=k•s

30. |G(jw)|dB 80 60 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k•s: diagramma del modulo Diagramma di G(s)=k•s 1/|k| Intersezione= 1/|k|

31. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k•s Riepilogando • La funzione G(s)=k•s ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0) • Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per w=1/|k| e che cresce di 20 dB per decade • Il suo modulo in dB può comunque essere sempre calcolato come somma del modulo in dB della funzione k e del modulo in dB della funzione s • Inoltre la funzione G(s)=k•s introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di 90°

32. La funzione G(s)=1/s

33. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s • Posto s=jw, il valore in dB del modulo della funzione G(jw), per le proprietà dei logaritmi, si calcola mediante la differenza |G(jw)|dB=20•log(1/w)=20•(log1-logw)=-20•logw • Poiché la funzione G(s)=1/s ha un modulo in dB che è pari a quello della funzione G(s)=s col segno cambiato, il suo diagramma del modulo risulta ribaltato verticalmente rispetto a quello di G(s)=s • Quanto alla fase, ricordando che la divisione di due numeri complessi ha fase pari alla differenza delle fasi, essa saràj = j(1)-j(s) = 0°-90° = -90° = -p/2

34. |G(jw)|dB 80 60 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma del modulo Diagramma di G(s)=1/s Diagramma di G(s)=s

35. j[rad] p 3p/4 p/2 p/4 w[rad/s] -p/4 100 101 102 103 104 105 -p/2 -3p/4 -p Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma della fase j = -90° per ogni valore diw

36. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Esercizio Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/s Suggerimento:si noti che tale funzione è il prodotto di k e di 1/s

37. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Riepilogando • La funzione G(s)=1/s ha un polo nell’origine (cioè per s=0, G(s) ha una singolarità) • Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per w=1 e che decresce di 20 dB per decade • Il suo modulo in dB può comunque essere calcolato sempre come differenza del modulo in dB della funzione 1 (che è pari a 0) e del modulo in dB della funzione s • Inoltre la funzione G(s)=1/s introduce uno sfasamento, costante al variare di w, di -90°

38. La funzione G(s)=1+ts

39. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • Posto s=jw, il modulo di G(s) è dato da |G(jw)| = 12+(tw)2 • Tale valore è • praticamente pari ad 1 quando tw << 1 • praticamente pari a tw quando tw>>1 • Il diagramma del modulo, quindi, assume • l’andamento della funzione G(s)=1 per valori di w prossimi a 0 • l’andamento della funzione G(s)=ts per valori di w molto grandi • Questi andamenti sono asintotici per G(s)=1+ts

40. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • Inoltre, come si è già visto, il diagramma del modulo della funzione G(s)=ts interseca l’asse delle ascisse nel punto w=1/|t| • Ma si può notare anche che il valore s=-1/t annulla la funzione G(s); esso è quindi uno zero della funzione G(s) • Si può allora trarre la conclusione che l’asintoto di G(s)=1+ts, quando w è molto grande, è proprio la retta che passa per il punto w=1/|t|, valore che è proprio il valore assoluto dello zero di G(s), e cresce di 20 dB per decade

41. |G(jw)|dB 80 60 40 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: diagramma del modulo Diagramma asintotico risultantedi G(s)=1+ts Diagramma di G(s)=ts asintotoperwmolto grande 1/|t| Diagramma di G(s)=1 asintotoperwmolto piccolo

42. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • Annotazione:più volte è stata usata l’espressione diagramma asintotico; • tale espressione significa che il diagramma costruito è solo un’approssimazione dell’andamento effettivo della funzioneG(s)=1+ts

43. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Esercizio • Calcolare lo scostamento del diagramma reale della funzione G(s)=1+t•s rispetto al diagramma asintotico nel punto w=1/|t|

44. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Soluzione • Per w=1/|t|, G(jw)=1+jt•w=1±j • In tal caso, il modulo di G(jw)=1±j è pari alla radice di 2 cioè |G(jw)|=1,4142 • Il valore in dB è dunque |G(jw)|dB= 20•log1,4142 = 3 dB • Poiché nel punto w=1/|t|il modulo rappresentato nel diagramma asintotico assume il valore 0 dB, lo scostamento richiesto è proprio pari a 3 dB

45. |G(jw)|dB 80 60 40 3 dB 20 w[rad/s] -20 100 101 102 103 104 105 -40 -60 -80 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: soluzione esercizio Diagramma asintotico G(s)=1+ts Andamentoeffettivo di G(s) 1/|t|

46. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • Per quanto riguarda la fase, si nota che quando w è molto piccolo, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente nullo • La fase, per w molto piccolo, è quindi j = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  0 • Per un valore molto grande di w, viceversa, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente + e quindi j = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  90° = p/2

47. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • I diagrammi di fase visti per G(s)=1 e per G(s)=ts sono quindi gli asintoti del diagramma della fase della funzione G(s)=1+ts, rispettivamente per w molto piccolo e per w molto grande • Si può notare inoltre che quando w=1/|t|, come si è visto dal precedente esercizio, G(s)=1+j e quindi la fase risulta j = arctg 1 = 45° = p/4 • Il diagramma della fase della funzione G(s)=1+ts passa quindi per il punto individuato dalle coordinate w=1/t e j=p/4

48. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts • Per completare il diagramma asintotico della fase, senza aggiungere ulteriori spiegazioni, che sono un po’ più complesse, si deve chiarire che il passaggio da un asintoto all’altro avviene quasi totalmente nell’arco di due decadi, la decade a sinistra dello zero e la decade a destra dello zero

49. j[rad] decade dopo p 3p/4 p/2 p/4 decade prima w[rad/s] -p/4 100 101 102 103 104 105 -p/2 -3p/4 -p Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+ts: diagramma della fase Il diagramma passa per questo punto Asintotoperw molto grande 1/|t| Diagramma asintotico della fase completo Asintoto obliquo Asintotoperw molto piccolo

50. Le rappresentazioni graficheI diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+ts Riepilogando • La funzione G(s)=1+ts ha uno zero per s=-1/t • Tale funzione ha un modulo in dB sempre crescente con w • Si può tracciare un diagramma asintotico del modulo che è: • pari a 0 per w<1/|t| • aumenta di 20 dB per decade per w>1/|t|