2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Az E. tér projektív lezárása2.4. Affin transzformációk2.5. Projektív transzformációk

2. Amit tudni illik . . . • Összefoglaló:  G19-Matematikai-alapfogalmak-ti.html

3. Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell (GM): tárolás, építés pontok, vonalak, felületek – testek Elemzés, átalakítás: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 3

4. 2.1. Koordináta-rendszereink • A Descartes-féle derékszögű koordináták • Polár-koordináták • Gömbkoordináták, henger-koordináták • Baricentrikus koordináták • ( Homogén koordináták)

5. a Descartes-féle (ferdeszögű) KR • Egy KR-t meghatároz:- egy pont (origó, kezdőpont)- a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot),- és a tengelyeken kijelölt egység • Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával: P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) ! ! ! a pont vetülete a tengelyekre a másik két tengely síkjával párhuzamosan

6. DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR) • Kijelöli 5 „pont”: O, X, Y, Z, E • Pontok: P = (x, y, z)T = (x) |y| (z) • kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), + Z felől nézve: X  Y: CCLW balsodrású (balos, balkezes)

8. A síkban: • Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E • Pontok: P = (x, y)T = (x)(y) • kétféle irányítása: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), X tengely  Y tengely: CCLW balsodrású (balos, balkezes)

9. A képernyő kr.: balsodrású !

10. A képernyő kr + mélység: jobbos

11. Síkbeli polárkoordináták (ti) P = ( r,  ); ( 0 r ), ( 0 < 2) O: kezdőpont, x: polár-tengely,  : a pozitív elfordulás iránya.

12. Síkbeli polárkoordináták (ti) • PK  DK : x = r  cos , y = r  sin  • DK  PK : r = x2+y2 és = arctan( y / x ), ha x 0 és x0 = 0, ha y = 0 és x > 0 = , ha y = 0 és x < 0 = /2, ha x = 0 és y > 0, ill.y < 0= meghatározatlan, ha x = y =0 (a kezdőpont).

13. Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) Alapsík (XY), benne PKR: O, r, és aZ tengely, gömbkoordináták: P = (r, , ); r: 0 r : polárszög; <2 az alapsíkban)azimut; 0 vagy -/2 /2

14. Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) henger-koordináták: ( r, ,  ) GK  DK : x = cos  = r  sin  cos ; y =  sin  = r  sin  sin , z = r  cos   = r  sin = x2+y2, (az alapsíkban) DK  GK : . . .

15. Pontrendszer súlypontja (olv) M p2,m2 p1,m1 p1,m1 M p2,m2 p3,m3 • Pi tömegpontok; i = 1,2,…,n;Pi pont, pi, helyvektor, mitömeg • A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege;M = (  mi·pi) / miM =  (i·pi );i = mi/ mi ; 0 < i < 1; i = 1 • Más mi súlyokhoz, más súlypont • A i súlyok arányosan változtathatók !

16. Baricentrikus koordináták (1) • a0, a1,…,anE n ; n+1 pont kifeszíti az n dimenziós teret • E n –ben mindenXponthoz egyértelműen: {0, 1,…, n} valósak:X = 0a0 + 1a1 +…+ nan; i=1 • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. • {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái

17. Baricentrikus koordináták (2) • X = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1 • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. • Például: egy egyenesen (n=1): X = 0a0 +1a1 • {i} homogén jellegű koordináták: { 'i }  { h i } ; h  0 ugyanaz a pont • Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van.

18. Koordináta-rendszereink • Descartes-féle derékszögű koordináták • Polár-koordináták • Gömbkoordináták, henger-koordináták • Baricentrikus koordináták • ( Homogén koordináták - később)