TROJUHOLNÍKY

1. TROJUHOLNÍKY O = a + b + c • Katarína Bačová a Gabriela Gadová • 1.C ,škol. rok:2001/2002 c² = a² + b²  +  +  = 180° a +b >c

2. Stručný obsah • Definícia, základné vlastnosti a klasifikácia trojuholníkov • Výšky, ťažnice a stredné priečky • Kružnica vpísaná a opísaná trojuholníku • Obvod a obsah trojuholníka • Pytagorova veta, Euklidove vety

3. Definícia trojuholníka • Trojuholník ABC je prienikom troch polrovín ABC, ACB a BCA pričom body A, B, C sú tri rôzne body, ktoré neležia na jednej priamke Body A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC, úsečky AB= c, BC= a, AC= b sú strany trojuholníka. Vnútorné uhly trojuholníka ABC značíme , , 

4. Vlastnosti všeobecného trojuholníka •  ABC – a, b, c sú dĺžky strán, ktoré ležia oproti vrcholom A, B, C •    sú veľkosti vnútorných uhlov pri vrcholoch A, B, C • r je veľkosť polomeru kružnice opísanej  •  je veľkosť polomeru kružnice vpísanej  • va, vb, vc sú veľkosti výšok na strany a, b, c • ta ,tb ,tc sú veľkosti ťažníc na strany a, b, c • Pre  ABC platí: 1. ++  = 180° 2.     a  b 3. a+b c 4. a:b:c = sin  :sin : sin  ( vzorce platia aj po cyklickej zámene )

5. Klasifikácia- Typy trojuholníkov 1. 2. 3. Podľa veľkosti vnútorného uhla: • 1. Ostrouhlé: každý z uhlov je menší ako 90° • 2. Tupouhlé: jeden z uhlov je väčší ako 90° • 3. Pravouhlé: jeden z uhlov má 90° Podľa veľkosti strán • 1. Všeobecné:  nie je pravouhlý, každá z troch strán má rôznu veľkosť • 2. Rovnoramenné: 2 strany majú rovnakú veľkosť • 3. Rovnostranné: všetky strany rovnaké 1. 2. 3.

6. Ťažnice trojuholníka • sú úsečky, ktorých koncové body sú vrcholy a stredy protiľahlých strán • označujeme ich ta, tb, tc ta= l AX l – ťažnica na stranu a tb = l BY l – ťažnica na stranu b tc = l CZ l – ťažnica na stranu c X – stred strany BC Y – stred strany AC Z – stred strany AB C X Y tb ta tc A Z B

7. Stredné priečky  • Stredné priečky: sú spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou  ; veľkosť strednej priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany  , s ktorou je rovnobežná. • lA1 B1l = ½ l AB l A1 B1 ll AB A1 = stred BC • lA1C1l = ½ l AC l A1C1 ll AC B1 = stred AC • l B1C1 l = ½ l BC l B1C1 ll BC C1 = stred AB . C A1 B1 B A C1

8. Osi vnútorných uhlov: sa v ľubovoľnom  pretínajú v 1 bode, ktorý je stredom kružnice vpísanej  ; stred kružnice leží vo vnútri  vpísaná kružnica – dotýka sa vnútorných strán  Osi strán: sú to priamky, ktoré sú osami strán  ; pretínajú sa v 1 bode, je stredom opísanej kružnice opísaná kružnica – prechádza vrcholmi  Opísaná a vpísaná kružnica 

9. Obsah, obvod a Pytagorova veta • Obsah  - označuje sa S S = ½ a.va = ½ b. vb = c.vc • Obvod  - označuje sa O O = a+b+c • Pytagorova veta – obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami S1, S2 – obsahy štvorcov nad odvesnami (strany a , b ) S -obsah štvorca nad preponou ( strana c ) S S1 c b a S2

10. V  ABC s pravým  pri vrchole C platí: P- je pätou výšky v na stranu AB ca = lAPl , cb = lBPl Veta o výške: v²= ca .cb Vety o odvesnách: a²= c .cb b²= c .ca Euklidove vety C a . B v b cb . ca A

11. Koniec prezentácie Použitá literatúra : Prehľad z matematiky , Matematika – Chystáte sa na maturitu ? ( r. 2000 )