Číselné těleso

1. Definice 29. Číselné těleso Buď T podmnožinou komplexních čísel. Množinu T nazveme číselným tělesem, je-li alespoň dvouprvková a právě když platí 1) 2) 3) 4) tj. je-li množina T uzavřená vůči sčítání, odčítání, násobení a dělení. Číselná tělesa jsou množiny Q, R a C, Q je nejmenší ve smyslu inkluze. Pozn. : v přednáškách o lineární algebře budeme značit čísla (prvky z tělesa) řeckými písmeny (α, β, γ, δ …), kdežto vektory písmeny latinskými. Tato notace se v matematice často používá. Ve fyzice se setkáme spíše s notací, kde jsou čísla i vektory latinkou, vektory jsou ovšem psány tučně nebo s šipkou. V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

2. Speciální značení pro odlišení normálních a vektorových operací. Definice 30. Vektorový prostor Nechť jsou dány následující matematické objekty: 1) Číselné těleso T. 2) Neprázdná množina V. 3) součet vektorů Zobrazení 4) Zobrazení součin čísla a vektoru Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi , právě když platí axiomy vektorového prostoru : S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání : S2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :

3. Vektorový prostor S3) Existence nulového vektoru : S3) Existence opačného vektoru : Opačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b. N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem: N2) Násobení jedničkou :

4. Vektorový prostor D1) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání čísel : D2) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání vektorů : Pozn. : Vektorový prostor musí být uzavřený vůči sčítání vektorů a násobení vektoru číslem. Axiomy pak zajistí, že vektory se chovají obdobně jako čísla a podléhají obdobným zákonům. To umožňuje konstruovat rozsáhlý matematický aparát bez toho, aniž bychom doopravdy znali vlastní podobu vektorů. Pozn. : V dalších částech přednášky budeme vektorový součet a násobení vektoru číslem značit již standardně + a . , z kontextu bude jasné, zda se jedná o vektorové nebo klasické operace.

5. Věta 3. Vektorový prostor Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. potom platí: 1) Existuje právě jeden nulový vektor. 2) Ke každému vektoru z V náleží právě jeden vektor opačný. 3) Pro každé má rovnice a = b + x právě jedno řešení, a to x = -b + a. 4) 5) 6) Tato věta říká o vektorech věci, které u čísel považujeme za naprosto samozřejmé. Protože ale vektory nemusejí být čísla, ale naprosto cokoliv, a protože operace s nimi mohou bát naprosto libovolné, je třeba tvrzení dokázat. Dokážeme jen tvrzení 1) a 2).

6. Vektorový prostor Důkaz 1) : Z axiómu S3 víme, že existuje (alespoň) jeden nulový vektor. Že je právě jeden dokážeme sporem – uvažujme, co se stane, když budeme předpokládat existenci dvou různých, θ1a θ2. Muselo by zároveň platit (S3) Protože a je libovolné, můžeme si postupně zvolit a = θ1,a = θ2, z čehož plyne a protože platí komutativní zákon (axiom S1), plyne z toho, že θ1= θ2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva (nulové) vektory jsou různé.

7. Vektorový prostor Důkaz 2) : Existenci opačného vektoru zajišťuje axiom S4. Jednoznačnost opět dokážeme sporem. Kdyby existovaly dva opačné vektory b1 a b2 k vektoru a, pak by muselo zároveň platit využijeme-li axiomy S1, S2 a S3, pak několika jednoduchými úpravami získáme došli jsme tedy k b1= b2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva vektory jsou různé. Q.E.D. Důkazy ostatních částí jsou stejně snadné, zkuste si je sami. Konstrukce vektorového prostoru nám dává jistotu, že se s vektory bude dát zacházet podle všech rozumných pravidel. A to i přes to, že dopředu nemusíme vědět, CO vlastně vektory jsou – stačí, že víme, jak správně zkonstruovat vektorové operace (uzavřenost, respektovat axiomy).

8. Definice 31. Vektorový prostor Tn Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic ve tvaru: kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory R2 nebo R3.

9. Definice 32. Vektorový prostor Tn,m Buď T číselné těleso, n a m přirozená čísla. Množina V pak množina takzvaných matic, tabulek čísel ve tvaru : Pozn. : první index u složky zde značí číslo sloupce (pozice ve vodorovném směru), druhý index u složky značí číslo řádku (pozice ve svislém směru). V tomto bodě se přednáška hrubě rozchází z většinou matematické literatury. Usnadní to ale studentům orientaci při sledování přednášky o výpočetní technice – pole se v programech značí tak, jak je to zavedeno na této průsvitce. kde α11 až αnm jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako u předchozího vektorového prostoru – tedy standardní číselné operace po složkách. Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn,m nebo Cn,m.

10. Definice 33. Vektorový prostor P Buď T = C komplexní číselné těleso, množina V = P množina všech polynomů. Její prvky jsou tedy funkce ve tvaru kde všechna αn jsou čísla z tělesa C. Definujme operace takto: součet funkcí násobení funkce číslem Protože v každém bodě t C jsou funkční hodnoty komplexní čísla, axiomy určitě platí.

11. Definice 33. Vektorový prostor šipek Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“. Definujme operace takto: součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá defino- vat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.

12. Příklad Zajímavý vektorový prostor Buď T = R reálné číselné těleso, množina V interval ( 0, +∞). Definujme operace jako Je tato konstrukce vektorovým prostorem? Operace sčítání je uzavřená. N1 – asociativní zákon (.) . Operace násobení je uzavřená. N2 – násobení jedničkou . S1 – komutativní zákon. D1 – distributivita S2 – asociativní zákon (+). D2 – distributivita S3 – existuje nulový vektor. Je to vektorový prostor! S4 – existuje opačný vektor.

13. Definice 34. Lineární kombinace Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí): Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že Číslaαinazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.

14. Definice 35. Lineární obal Nechť je soubor vektorů z V. Množinu všech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-árním obalem a značíme

15. Věta 3. Lineární obal Nechť je soubor vektorů z V. Platí: 1) 2) 3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění. 4) Pozn. : lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem. Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).

16. Definice 36. Příklad Lineární závislost a nezávislost Nechť je soubor vektorů z V. Říkáme, že soubor je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazveme soubor lineárně závislý (LZ). Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R2 jsou LZ nebo LN: Zkoumáme všechny lineární kombinace souboru. Hledáme mezi nimi takovou, jejíž koeficienty nejsou samé nuly a přesto je nulová. Pokud ji najdeme, je soubor LZ, pokud ne, je LN.

17. Příklad Lineární závislost a nezávislost Zjistěte, zda následující soubory vektorů z prostoru šipek jsou LZ nebo LN: Tento soubor je nezávislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, musíme je oba dva vynásobit nulou. Tento soubor je závislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, stačí je k sobě prostě přičíst. Hledaná netriviální LK je tedy 1, 1.

18. Příklad Lineární závislost a nezávislost Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R3 jsou LZ nebo LN: a) LZ Další sami …

19. Zkrácenina z {1, 2, 3, … , n } Věta 4. Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : 1) Jednoprvkový soubor (x1) je LZ právě tehdy, když x1 = θ. Jinak je LN. 2) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární závislost či nezávislost se nezmění.. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když tedy pokud v souboru existuje takový vektor, který lze nakombinovat (vytvořit lineární kombinací) z ostatních. Například v souboru lze první prvek nakombinovat z dalších dvou pomocí koeficientů -½,4 :

20. Věta 4. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když Důkaz Kombinace vektoru z ostatních Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : Jelikož výrok je ekvivalence, je potřeba dokázat postupně pravdivost implikací oběma směry. Tj. nejdřív „soubor je LZ“ => „v souboru je vektor, který lze nakombinovat z ostatních“. Toto je lineární kombinace dávající nulu. Protože soubor je LZ, existuje tato kombinace jako netriviální, tedy minimálně jedno z čísel αi je nenulové Označme jej αk . Jednoduchou úpravou získáme

21. Věta 4. 3) Nechť je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když Důkaz Nenulový koeficient lineární kombinace Lineární závislost a nezávislost Kritéria lineární závislosti a nezávislosti : Nyní druhý směr ekvivaence, tj. „v souboru je vektor, který lze nakom-binovat z ostatních“ => „soubor je LZ“. Jednoduchou úpravou přejdeme z kombinování vektoru xk k lineární kombi-naci celého souboru, která je nulová, ovšem netriviální (tj. alespoň jeden koeficient je nenulový). Q.E.D.

22. Definice 37. Definice 38. Věta 5. Báze a dimenze Nechť je soubor vektorů z V. Pokud platí 1) Soubor je lineárně nezávislý 2) říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor nazýváme bází prostoru V. Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n (dimenze V je n). Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞. Buď V vektorový prostor. Platí Ve V existuje n-členná báze.

23. Báze a dimenze Z báze vektorového prostoru lze lineární kombinací získat libovolný další vektor. Chceme-li tedy znát celý vektorový prostor, stačí znát jednu bázi. Dimenze určuje maximální možnou velikost LN souboru. Přidáme-li do n-členného LN souboru další vektor, stane se LZ. Nulový vektorový prostor V = {θ} má dimenzi 0 (dim V = 0) a bázi nemá žádnou. Každý LN k-členný soubor vektorů z prostoru V o dimenzi n, k < n, lze vhodným výběrem dalších vektorů z V doplnit na bázi. Dimenze závisí i na tělese. Zatímco prostor V=C s tělesem T=C má dimenzi 1, prostor V=C s tělesem T=R má dimenzi 2. Otázka : jakou dimenzi má V=R, T=C?

24. Báze a dimenze prostoru Tn Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech. Soubor vektorů ve tvaru je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý vektor lze pomocí něj vyjádřit jako

25. Báze a dimenze prostoru Tn,m Tvrdíme, že dim Tn,m = n ∙m. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n ∙ m členech. ve tvaru Soubor vektorů je tzv. standardní bází Tn,m . Vektorů je opravdu n ∙m.

26. Báze a dimenze prostoru P Tvrdíme, že dim P = ∞. Kdybychom prostor omezili podmínkou, že se v něm smějí nacházet polynomy nejvýše stupně n-1, tedy polynomy ve tvaru pak by dimenze byla konečná (n). I přes toto omezení je totiž V vektorovým prostorem (někdy se značí Pn), neboť sečteme-li dva polynomy nejvýše řádu n-1, dostaneme opět polynom řádu n-1 (a stejně tak vynásobíme-li polynom číslem). Standardní báze by pak vypadala takto: Pokud ale řád polynomů neomezíme, pak by ani tato báze nemohla být konečná. I pro libovolně vysoké n bychom mohli najít polynom s vyšším stupněm, který z této báze nakombinovat nejde. V tomto případě by bylo možné mluvit o bázi nekonečné (funkční řada), takovými útvary se však základní lineární algebra nezabývá. Setkáme se s nimi později v matematické analýze.

27. e2 e1 Jednotková délka Báze a dimenze prostoru šipek Tvrdíme, že dim Š = 2. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o 2 členech. x 1.1 x 1.5

28. Definice 39. Kroneckerovo delta Zaveďme symbol Kroneckerovo delta: pro i = j například : pro i ≠ j Typicky se používá ve složitějších výrazech se sumami a podobně:

29. Souřadnicový funkcionál Věta 6. Souřadnice v dané bázi Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že tj. každý vektor lze z báze nakombinovat právě jedním způsobem. Označme čísla αi jako Tento složitý zápis poukazuje na fakt, že čísla αi závisí jednak na zvoleném vektoru x, ale i na zvolené bázi, tj. na vektorech xi. Změníme-li cokoliv z toho, změní se αi . Dá se říci, že čísla αi jsou vlastně jakýmisi „funkcemi“ báze a vektoru x. Platí: 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. 2) 3) 4)

30. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že Vezměme různé báze prostoru R2 . O tom, že soubory jsou skutečně báze je snadné se přesvědčit. Prozkoumejme, jak lze z těcho bází nakombinovat vektory u = ( 5, 6 ), v = ( -1, 3 ), w = (0,2) :

31. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

32. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

33. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že

34. Věta 6. 1) tj. x#ije zobrazení z prostoru do tělesa. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že Pro danou bázi je i-tá souřadnice každého vektor daná. Tedy můžeme opravdu definovat zobrazení, které každému vektoru přiřadí i-tou souřadnici (číslo z tělesa). Opravdu tedy Tato zobrazení jsou ale pro každou bázi jiná – stejný vektor má v různých bázích různé souřadnice.

35. Věta 6. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že 2) 3) Souřadnicové funkcionály mají vlastnosti lineárních zobrazení (podrobně viz následující přednáška) Příklad ve standardní bázi R2 na vektorech u = (3,3), v = (-1,6) Toto platí pro všechny vektory, báze a prostory.

36. Věta 6. Souřadnice Nechť je báze V. Potom ke každému vektoru x z V existuje právě jedna n-tice z tělesa taková, že 4) Každý bazický vektor lze z báze nakombinovat pomocí jedné jedničky a n-1 nul:

37. Souřadnice Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s prostorem Tn. (6,6) (2,4) (4,2) Věta 6 zajišťuje, že můžeme používat podobné nákresy jako tento. Předpokládáme při nich automaticky, že souřadnice v obou prostorech jsou ve standardních bázích.

38. Shrnutí • Číselné těleso, vektorový prostor, jeho operace a axiomy • Vlastnosti vektorového prostoru plynoucí přímo z axiomů • Základní vektorové prostory (n-tic, matic, polynomů, šipek) • Lineární kombinace • Lineární obal a jeho vlastnosti • Lineární závislost a nezávislost • Kritéria LN, LZ • Báze a dimenze vektorového prostoru • Dimenze a standarní báze základních vektorových prostorů • Kroneckerovo delta • Souřadnice a souřadnicový funkcionál