Identificando Linguagens Não Regulares

1. Identificando Linguagens Não Regulares • Linguagens regulares podem ser finitas; • Uma linguagem é regular sss, em processando qualquer cadeia, a informação a ser armazenada em qualquer estágio é estritamente limitada.

2. Exemplo: A linguagem L={ an bn|n0} não é regular. • Suponha que L é regular. Então existe um AFD M=(Q, {a,b},S,q0,F) que a reconhe-ce. Seja k o número de estados de M. Consideremos o funcionamento de M na entrada anbn, onde n k

3. aaaaaaaaaabbbbbbbbbb q 0 n n r • Como nk, deve existir algum estado p tal que M está em p mais de uma vez enquanto percorrendo a parte inicial da sequência de a’s (princípio da casa dos pombos).

4. Quebre anbn em 3 pedaços u, v, w onde v é a cadeia de a’s percorrida entre duas ocorrências de p. aaaaaa aaaabbbbbbbbbb q0u pvpw r

5. Seja j=|v|>0 (j=4, no exemplo) *(q0,u) = p *(p,v) = p *(p,w) = r  F • Logo podemos remover v o que resultaria numa cadeia ser erroneamente aceita:

6. *(q0,uw) = *(*(q0,u),w) = *(p,w) = r  F aaaaaa bbbbbbbbbb q0 p r u w

7. Lema do Bombeamento (Pumping Lemma) TEOREMA: Seja L uma linguagem regular. Então existe um inteiro positivo m, tal que w  L com |w| m pode ser decomposta comow= xyz com |xz|m e |y|1 tal que wi=xyiz está também em L para todo i = 0,1,2, ...

8. Prova • Sejam q0, q1,…, qn os estados do AFD que reconhece L. Agora tome uma cadeia w  L tal que |w|=km=n+1. • Seja q0,qi,qj, … ,qf o conjunto de estados do autômato no reconhe-cimento de w. Como esta cadeia tem no mínimo n+1 entradas, pelo menos um estado deve ser repetido, e tal repetição não deve começar após o n-ésimo movimento.

9. Portanto, a sequência deve ter a seguinte forma q0,qi,qj, … ,qr, … ,qr, …, qf • indicando que devem existir subcadeias x, y, z de w tal que *(q0,x)=qr, *(qr,y)=qr, *(qr, z)=qf com |xz|  n+1 = m e |y|1. • Donde segue imediatamente que *(q0,xz)=qf, *(q0, xy2z)=qf, *(q0,xy3z)=qf ... q.e.d

10. Gramáticas • Gramáticauma ferramenta comum e poderosa para definir linguagens. • Definição: Uma gramática G é uma quádrupla G=(V, T, S, P) onde: • V é um conjto finito de variáveis ou símbolosnão-terminais; • T é um conjunto finito de símbolos terminais; • S  V é um símbolo especial chamado de símbolo inicial ou variável de início; • P é um conjunto finito de produções

11. As regras de produção são da forma xy, onde x é um elemento de (VT)+ e y está em (VT)*. • As produções são aplicadas como segue: • dada uma cadeia w da forma w=uxv, dizemos que a produção é aplicável a esta cadeia e podemos usá-la para trocar x por y, obtendo assim uma nova cadeia z=uyv • Isto é escrito por wz (w deriva z ou z éderivada de w ou z deriva de w).

12. Se w1w2...wn, dizemos que w1 deriva wn e escrevemos w1*wn • * indica que foi tomado um número não-especificado de etapas (inclu-indo zero) para derivar wn de w1. Logo w*w sempre se dá. • Para indicar que pelo menos uma produção foi aplicada, escreve-mos w+v

13. Aplicando as regras de produção em ordens diferentes, uma gramática pode gerar muitas cadeias. O conjunto de todas tais cadeias é a linguagem definida ou gerada pela gramática.

14. Linguagem Gerada • Definição: Seja G = (V, T, S, P) uma gramática. Então o conjun-to L(G) = {wT* | S*w} é a linguagem gerada por G. • Se w  L (G), então a sequência Sw1w2 … wnw é uma derivação da sentença (ou palavra) w.

15. Exemplo • G = <{S}, {a,b}, S, P> onde P é dado por SaSb e S • Então SaSb  aaSbb  aabb • Logo podemos escrever S*aabb • Uma gramática define completamen-te L(G), porém pode não ser fácil obter uma descrição explícita da linguagem a partir da gramática. • Neste exemplo, no entanto, não é difícil conjecturar que L(G)={anbn|n0}

16. Gramáticas Regulares • Uma gramática G = <V, T,S,P> diz-se linear à direita se todas as produções são da forma A xB ou Ax onde A, B  V, e x  T*. • e linear à esquerda se todas as produções são da forma AxB Ax

17. Uma gramática regular é uma que é ou linear à direita ou linear à esquerda. • Observe que numa gramática regular no máximo aparece uma variável no lado direito de qualquer produção. Além disso, essa variável está mais à esquerda ou mais a direita de qualquer produção.

18. Exemplos • G1 = ({s},{a,b},S,P1), P1: SabS|a é linear à direita. • SabS  ababS  ababa • L (G1) é a linguagem L((ab)*a) • G2 = ({S,S1,S2},{a,b},S,P2), com produções SS1ab, S1S1 ab|S2, S2a é linear à esquerda. • S S1abS1ababS2ababaabab • L(G2) é a linguagem L(a(ab)*)

19. Cuidado! A gramática G=({S,A,B},{a,b},S,P) com produções SA AaB| BAb não é regular!

20. Gramáticas Lineares À Direita Geram Linguagens Regulares • Construir um AFND que simula as derivações de uma gramática linear à direita. Ab…cDAb…cdE por DdE • O AFND vai do estado D para o estado E quando o símbolo d for encontrado.

21. Teorema. Seja G = (V, T, S, P) uma gramática linear à direita. Então L(G) é uma linguagem regular. Prova. Assumir V={V0,V1,…,Vp}, com S=V0 e que temos produ-ções da forma V0v1Vi, Viv2Vj, …, ou Vnvl, …

22. Se w é uma cadeia em L(G), então por causa das formas das produções em G, a derivação deve ter a forma da equação acima. V0 v1Vi  v1v2Vj * v1v2… vk Vn  v1v2… vk ve = w

23. O autômato a ser construído repro-duzirá a derivação, consumindo cada um desses v’s. • O estado inicial do autômato será ro-tulado V0, e para cada Vi existirá um estado não final rotulado Vi. • Para cada Via1a2…amVj definire-mos tal que *(Vi,a1a2…am)=Vj • Para cada Via1a2…am ,*(Vi,a1a2…am)=Vf, onde Vf é um estado final. Os estados intermedi-ários não são de interesse e podem ser dados rótulos arbitrários.

24. vi vj a1 a2 am ... representa Via1a2…amVj a1 a2 am … representa Via1a2…am vi vf

25. Suponha agora que w  L (G). No AFND existe uma aresta de V0 a Vi rotulada v1, de Vi a Vj rotulada v2, etc., tal que Vf  *(V0, w), e w é aceita por M. • Inversamente, suponha que w é aceita por M. Para aceitar w o autômato tem de passar pela sequência de estados V0, Vi,…,Vf usando caminhos rotulados v1,v2,…,vl

26. Portanto, w deve ter a forma w=v1v2…vkvl e a derivação V0v1Viv1v2Vj*v1v2…vkVk  v1v2…vkvl é possível. Logo W está em L(G), e assim o teorema está provado.

27. Exemplo • Construir um autômato que aceita a linguagem gerada pela gramática V0aV1 V1abV0 |b • começamos do grafo de transição com vértices V0, V1 e Vf.

28. A primeira regra de produção cria uma aresta rotulada a entre V0 e V1. Para segunda regra, precisamos introduzir um vértice adicional tal que existe um caminho rotulado ab entre V1 e V0.

29. Finalmente, precisamos adicionar uma aresta rotulada b entre V1 e Vf • A linguagem gerada pela gramática e reconhecida pelo autômato é a linguagem regular L ((aab)*ab) b a v0 v1 vf b a v2

30. Gramáticas Lineares À Direita Para Linguagens Regulares • Começamos agora do AFD para a linguagem e invertemos a construção do teorema anterior • Os estados do AFD tornam-se as variáveis da gramática, e • Os símbolos que causam as transições tornam-se os terminais nas produções

31. Teorema: Se L é uma linguagem regular sobre o alfabeto , então existe uma gramática linear à direita G = (V,,S,P) tal que L = L(G).

32. Prova: Seja M = (Q,,,q0, F) um AFD que aceita L. Assumiremos que Q = {q0,q1,…, qn) e  = {a1, a2,…am}. • Vamos construir uma gramática linear à direita G = (V, , S, P) com V = {q0, q1,…,qn} e S = q0. • Para cada transição  (qi, aj) = qk de M, colocamos em P a produção qiajqk. • Além disso, se qk está em F, acrescentamos a P a produção q.

33. Primeiro mostramos que G defini-da dessa maneira pode gerar toda cadeia em L. Considere w  L da forma w = aiaj…akal. • Para M aceitar essa cadeia ele deve se movimentar via  (q0, ai) = qp,  (qp, aj) = qr, ...  (qs, ak) = qt,  (qt, al) = qf F

34. Por construção, a gramática terá uma produção para cada um desses ’s. Portanto, podemos fazer a derivação q0aiqpaiajqr*aiaj…akqt  aiaj…akalqfaiaj…akal com a gramática G, e w  L(G).

35. Inversamente, se w  L(G), então sua derivação deve ter a forma da equação acima, mas isto implica que  (q0, ai, aj…akal) = qf, completando a prova. q.e.d.

36. Equivalência Entre Linguagens Regulares E Gramáticas Regulares • Os resultados anteriores estabele-cem a conexão entre linguagens regulares e gramáticas lineares à direita. • Podemos fazer uma conexão análo-ga entre linguagens regulares e gramáticas lineares à esquerda, mostrando assim, a equivalência de gramáticas e linguagens regulares.

37. Teorema. Uma linguagem é regular se e somente se existe uma gramáti-ca regular G tal que L = L(G).