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Unendliche Reihen

Geometrische Reihe Was ist 0,999… 1+q+q 2 +… Harmonische Reihe Riemannsche Zeta-Funktion Zerlegung in die Summe von Quadraten Leonhard Euler. Unendliche Reihen. Die geometrische Reihe. Wann hat diese Reihe einen Grenzwert für n  ∞?. Die harmonische Reihe 1+ ½ + 1/3 +….

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Unendliche Reihen

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Presentation Transcript

  1. Geometrische Reihe Was ist 0,999… 1+q+q2 +… Harmonische Reihe Riemannsche Zeta-Funktion Zerlegung in die Summe von Quadraten Leonhard Euler Unendliche Reihen

  2. Die geometrische Reihe Wann hat diese Reihe einen Grenzwert für n ∞?

  3. Die harmonische Reihe 1+ ½ + 1/3 +… Man kann leicht zeigen, dass die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe über alle Grenzen wächst, indem man nach unten abschätzt:

  4. Anwendung der harmonischen Reihe Die Überhänge der Klötze betragen von oben beginnend ½, ¼, 1/6, 1/8 usw. Der neu hinzukommende (n+1)te Klotz wird unten drunter geschoben, sodass der Schwerpunkt des Turmes aus n Klötzen genau über der Kante des neuen Klotzes liegt.

  5. Die Reihen ζ(s)=1+ 1/2s +1/3s +… Wir haben gesehen, dass diese Reihe für s = 1 gegen +∞ divergiert. Für 0 < s < 1 wird diese Reihe noch größer, da in diesem Falle 1/ns > 1/n. Somit divergieren auch diese Reihen gegen unendlich. Für s > 1 kann man aber zeigen, dass diese Reihen einen endlichen Wert haben. Wir zeigen dies für den Spezialfall s = 2. Dazu betrachten wir:

  6. Die Reihen ζ(s)=1+ 1/2s +1/3s +… Somit gilt: ζ Und damit ζ(s) < 2. Man kann zeigen, dass ζ(2)= π2 / 6 und ζ(4)= π4 / 90.

  7. Funktionalgleichung für ζ(s) Setzt man s=2n+1 ein, so hat man die trivialen Nullstellen von ζ(s), denn cos((2n+1)/2 π) = 0, also ζ(-2n) = 0. Beachtet man Γ(n) = (n-1)! und setzt dann s = 2 oben ein, also Γ(2) = 1, so hat man

  8. Die Riemann-Kurve x(t)= ζ(1/2 + it) Man erkennt, dass die Kurve x(t) für t=0,…,34 genau 5 Mal durch den Nullpunkt läuft. Die Zeta-Funktion hat in diesem Bereich 5 Nullstellen. Riemannsche Vermutung: Alle nichttrivialen Nullstellen s der Zeta-Funktion haben den Realteil Re(s)=1/2. Graph von x(t)= zeta(½ + it), t=0,…,34.

  9. Durch trickreiche Umformungen leitet man hieraus die folgenden beiden Identitäten ab: Hierbei sind und die Anzahl der Teiler von n, die den Rest 1 bzw. 3 bei Division durch 4 lassen. Zerlegung in Summen von Quadraten Die Jacobi-Tripelprodukt-Identität Für q < 1 und alle x gilt:

  10. Leonhard Euler (1707 – 1783) 15.4.1707 in Basel geboren und verstarb am 18.9.1783 in St.Petersburg. Euler studierte auch Fourier-Reihen. 1744 fand er die folgende Identität (0< x < 2π): π/2 - x/2 = sin x + (sin 2x)/2 + (sin 3x)/3 + ... Mit MUPAD: plotfunc2d(sin(x) +sin(2*x)/2 +sin(3*x)/3 +sin(4*x)/4,x=-10..10)

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