MATEMATIKA

1. MATEMATIKA Kombinácie Šišák & Duda

2. Obsah ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– • - variácie a permutácie • - kombinácie • - binomická veta • - Pascalov trojuholník • - záver

3. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Variácie a permutácie • - variácie bez opakovania • - permutácie bez opakovania • - variácie s opakovaním • - permutácie s opakovaním

4. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Variácie bez opakovania • - variáciou k-tej triedy z n prvkov bez opakovania danej základnej n-prvkovej množiny je každá usporiadaná k-tica zostavená z týchto prvkov tak,že záleží na ich poradí (a prvky sa neopakujú). • - počet Vk (n) všetkých variácií bez opakovania je Vk (n)=n(n-1).(n-2)...(n-k+1). • => Príklad

5. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-variácie bez opakovania Koľkými spôsobmi možno z 30 členov organizácie zvoliť predsedu,podpredsedu a pokladníka? Riešenie: Z 30 prvkov vyberáme 3 , pričom záleží na poradí-ide teda o variácie bez opakovania:

6. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Permutácie bez opakovania • - ak n=k, potom variácie bez opakovania n-tej triedy z n prvkov nazývame permutácie bez opakovania • - počet P(n) všetkých možných permutácií n prvkov bez opakovania je P(n)=n.(n-1).(n-2)...3.2.1=n! (čítaj n-faktoriál). Príklad

7. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-permutácie bez opakovania Koľko rôznych prirodzených čísel možno zostaviť z cifier 1,2,3,4,5 ? Riešenie: Ide o permutácie:

8. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Variácie s opakovaním • - ak prvky k-tice nemusia byť rôzne (teda ak sa môžu opakovať),hovoríme o variáciách s opakovaním,resp. permutáciách s opakovaním. • - počet variácií k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je V´k (n)= . Príklad

9. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-variácie s opakovaním Koľko rôznych vrhov možno vykonať 4 kockami so stenami označenými jednou až šiestimi bodkami? Riešenie: Ide o štvorčlenné variácie s opakovaním zo 6 prvkov.Ich počet je:

10. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Permutácie s opakovaním • - označenie permutácií s opakovaním:P´ • - pre počet P´ (k1,k2,...,kn) všetkých permutácií k prvkov s opakovním z daných n prvkov (k>n), pričom prvý prvok sa opakuje k1-krát, druhý k2-krá atď. P´ (k1,k2,...,kn)= . Príklad

11. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-permutácie s opakovaním Koľko permutácií s opakovaním možno vytvoriť z písmen slova OKOLO ? Riešenie: Všetkých písmen je 5. O sa opakuje trikrát, počet všetkých permutácií s opakovaním je:

12. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Kombinácie • - kombinácie bez opakovania • - kombinačné číslo • - kombinácie s opakovaním

13. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Kombinácie bez opakovania • - kombináciou k-tej triedy z n prvkov bez opakovania danej základnej n-prvkovej množiny je každá k-tica rôznych prvkov zostavená z prvkov základnej množiny tak,že nezáleží na ich poradí (a prvky sa neopakujú). • - pre počet kombinácií Ck (n)platí: Príklad

14. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-kombinácie bez opakovania Koľkými spôsobmi možno vybrať dve farby v kartách ,keď máme 4 karty,každú inej farby (srdce,pika,káro,kríž) ? Riešenie: Vytvárame dvojprvkové kombinácie zo štyroch možných farieb (srdce,pika,káro,kríž).

15. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Kombinačné číslo • - symbol nazývame kombinačným číslom (čítame n nad k). • - ak ,potom pre kom.čísla platí:

16. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Kombinácie s opakovaním • - označenie kombinácií s opakovaním:C´ • - pre počet kombinácií k-tej triedy z n prvkov s opakovaním vytvorených z n prvkov základnej množiny tak,že sa každý prvok môže až k-krát opakovať,je: Príklad

17. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Príklad-kombinácie s opakovaním V predajni majú 4 druhy čokolád. Koľkými spôsobmi možno kúpiť 7 čokolád ? Riešenie: Ide o kombinácie siedmej triedy zo štyroch prvkov s opakovaním, pre ich počet platí:

18. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Binomická veta • - pre ľubovoľné reálne alebo komplexné čísla a,b a ľubovoľné prirodzené číslo n platí binomická veta • - jednotlivé sčítance v tomto binomickom rozvoji výrazu nazývame členmi binomického rozvoja.Pre k-tý člen platí: Pokračovanie

19. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Pokračovanie-binomická veta -kombinačné čísla nazývame binomické koeficienty. Tieto koeficienty tvoria n-tý riadok Pascalovho trojuholníka.

20. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Pascalov trojuholník • - na základe vlastností kombinačných čísel vyplýva,že každý riadok začína a končí jednotkou a je symetrický.Každé číslo vnútri Pascalovho trojuholníka sa rovná súčtu dvoch najbližších čísel z predchádzajúceho riadku. Pascalov trojuholník

21. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Pascalov trojuholník n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 atď. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22. Variácie a permutácie Kombinácie Bin.veta Pasc.troj. Menu Záver • - táto prezentácia vznikla na podnet pani profesorky Páričkovej a sme jej veľmi vďační,že nás „prinútila“ využiť počítač aj na iné veci ako sú hranie PC hier. • VĎAKA!!!