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Shermila MOSTARSHEDI Directeur de thèse : Odile PICON

RÉFLEXION DES CHAMPS ELECTROMAGNÉTIQUES EN MILIEU URBAIN ET INCERTITUDE ASSOCIÉE : ANALYSE AU MOYEN DE FONCTIONS DE GREEN. Shermila MOSTARSHEDI Directeur de thèse : Odile PICON. Rapporteurs : Hervé AUBERT Walid TABBARA. Examinateurs : Marc HEDDEBAUT Jean-Marc LAHEURTE

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Shermila MOSTARSHEDI Directeur de thèse : Odile PICON

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  1. RÉFLEXION DES CHAMPS ELECTROMAGNÉTIQUES EN MILIEU URBAIN ET INCERTITUDE ASSOCIÉE : ANALYSE AU MOYEN DE FONCTIONS DE GREEN Shermila MOSTARSHEDI Directeur de thèse : Odile PICON Rapporteurs : Hervé AUBERT Walid TABBARA Examinateurs : Marc HEDDEBAUT Jean-Marc LAHEURTE Élodie RICHALOT Joe WIART Man-Faï WONG

  2. Contexte (1) Caractérisation précise de la propagation d’onde Modèle Méthode • Environnement urbain • Complexe et variable • Objets diffractants statiques et dynamiques • Diffractions à petite et à grande échelles Shermila Mostarshedi

  3. Contexte (2) Diffraction Réflexion spéculaire Réflexion non-spéculaire Qu’est-ce qu’un bon simulateur de propagation d’onde ? Complexité – Variabilité Temps de calcul Hétérogénéités locales Shermila Mostarshedi

  4. Plan de la présentation • Introduction • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  5. Introduction Méthodes rigoureuses FDTD, FIT, MoM Méthodes Méthodes basées sur le champ GO, GTD, UTD Méthodes asymptotiques Méthodes basées sur le courant PO, PTD, UTD Modèles Modèles empiriques  basés sur des mesures extensives Modèles spécifiques au site  basés sur les paramètres du site méthode : tracé de rayon Modèles théoriques  basés sur des conditions idéalisées méthode: optique physique Shermila Mostarshedi

  6. Plan de la présentation • Introduction • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  7. Équivalence inductive (Théorème d’induction) Problème original Problème équivalent exact Ji Ji n n Js = − n  Hi Mi Mi Ei , Hi 1,m1 Et , Ht Et , Ht 1,m1 1,m1 Ms = n Ei Ei , Hi E = Ei + Es H = Hi + Hs 1 ,m1 Es ,Hs 2 ,m2 2 ,m2 Problème équivalent approché n Objet métallique 1,m1 Ms = 2 n Ei Es ,Hs 1 ,m1 Courants équivalents  connus Objet diffractant  présent Objet diffractant  absent Shermila Mostarshedi

  8. Équivalence physique Problème original Problème équivalent exact en réflexion Ji Ji n n Js = n  H Mi Mi −Ei , −Hi Ei , Hi 1,m1 1,m1 Et , Ht 1,m1 Ms = −n E Ei , Hi E = Ei + Es H = Hi + Hs Es ,Hs 1 ,m1 1 ,m1 2 ,m2 Problème équivalent approché en réflexion n Js = 2 n  Hi 1,m1 Objet métallique Es ,Hs 1 ,m1 Courants équivalents  inconnus Objet diffractant  absent Courant équivalent  connu Shermila Mostarshedi

  9. Source : onde plane en polarisation TE z Er Ei i 0 ,m0 i Hi Hr y Et Ht 1 ,m1 Équivalence physique : (exacte) (approchée) Équivalence inductive : (exacte)   Méthode de l’optique physique (équivalence physique) = courants équivalents approchés + le rayonnement dans l’air  ? Méthode proposée ici (équivalence inductive) = courants équivalents exacts + le rayonnement à l’interface entre l’air et le diélectrique Shermila Mostarshedi

  10. Plan de la présentation • Introduction et contexte • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  11. Fonctions de Green – Potentiels auxiliaires Équation de Helmholtz → Équation aux dérivées partielles elliptique  Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′ (2 + k2 ) Φ(r) = S(r) et (2 + k2 ) GΦ(r, r′) = δ(r−r′) Constante de propagation Champs électromagnétiques E, H Intégration Sources Js, Ms Champs ou potentiels vecteurs électromagnétiques Intégration Dérivation Potentiels vecteurs et scalaires A, F, V, U Courants et charges électromagnétiques Fonction de Green → Réponse impulsionnelle du système  Φ(r) = ∫ GΦ(r, r′) S(r′) dr′ L [Φ(r)]= S(r) L [GΦ(r, r′)] = δ(r−r′) et Opérateur linéaire Inconnu Connu Delta de Dirac Shermila Mostarshedi

  12. Jy Jx My Mx Onde plane incidente en polarisation TE Onde plane incidente en polarisation TM s intégration surfacique avec la vraie source Jx ou y GA , GV  GEJ , GHJ My ou x GF , GU  GEM , GHM Champ électromagnétique rayonné Calcul du champ rayonné par une distribution surfacique de courants Dipôles élémentaires Distribution arbitraire de courants surfaciques  + Js y Js Ms x  + Ms Shermila Mostarshedi

  13. Calcul d’une composante de la fonction de Green Électrique (J) Magnétique (M)  composante du potentiel électrique suivant i créée par un élément de courant électrique suivant j Hypothèse simplificatrice : deux diélectriques semi-infinis La solution générale de l’équation scalaire de Helmholtz + Les conditions aux limites à l’interface entre les deux diélectriques Shermila Mostarshedi

  14. Expressions asymptotiques Fonctions de Green des potentiels Fonctions de Green des champs La forme des composantes de la fonction de Green du champ électrique : Intégrale de contour dans le plan complexe (Intégrale de Sommerfeld) + en absence de pôles Développement trigonométrique Les expressions du champ dépendent de la distance et de l’angle d’observation. Shermila Mostarshedi

  15. Validation : diagrammes de rayonnement des dipôles élémentaires Fonctions de Green Littérature Plan φ=90° r=3 My y (φ=90°) Jx εr = 1 x (φ=0°) εr = 3 Surface infinie Épaisseur infinie Plan φ=0° Shermila Mostarshedi

  16. Comparaison avec l’optique physique (1) Jx Jx Jx Jx My Jx Jx My My My Jx My My Jx Jx My My My Ex Courants équivalents Jx et My Équivalence physique – Optique physique Courants équivalents Jx et My Équivalence inductive – Fonctions de Green  M (x, y, z) 0 onde plane en polarisation TE y • r =10 et r =2 • f = 900 MHz ∞ r x Shermila Mostarshedi

  17. Comparaison avec l’optique physique (2) i = [0°, 90°] i = 0° i = 30° r = [0°, 90°] r = [0°, 90°] r = [0°, 90°] r r r Champ réfléchi (V/m) Fonctions de Green Optique physique +10 −10 20 40 Shermila Mostarshedi

  18. Plan de la présentation • Introduction et contexte • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  19. Caractéristiques des bâtiments urbains Application finale de la méthode  Bâtiments urbains • La façade d’un bâtiment : • est un milieu rugueux de surface finie • comporte des inhomogénéités de tailles et de matériaux divers • comporte des éléments d’épaisseur finie ou multicouches • et tous ces détails architecturaux forment un milieu complexe Shermila Mostarshedi

  20. Modèle de bâtiment urbain Application pratique de la méthode  Modélisation de bâtiments urbains • Notre modèle du bâtiment : • est un milieu plan de surface finie • est composé de béton de différents types • comporte comme unique inhomogénéités à grande échelledes fenêtres en verre • possède des fenêtres de taille et de type (simple ou double vitrage)différents • est un modèle simplifié Shermila Mostarshedi

  21. Milieu homogène de surface finie – champ lointain Fonctions de Green CST • Variation angulaire du champ • i = 0°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 100λ • Variation du champ dans la direction spéculaire • i = 0°, r = 0° • Sur une ligne entre 100λ−105λ 3,7λ r = 5 − j4 3,7λ H y (φ=90°) E Plan φ=90° CST  heures Green  secondes Erreur = 8% du lobe principal x (φ=0°) Erreur maximum = 1,7% L’écart vers les angles rasants est lié à l’effet de bord. Pour une surface infinie : Gxy = Gyx = 0 Pour une surface finie : Gxy ≠0 et Gyx ≠ 0 Plan φ=0° Erreur = 5% du lobe principal Shermila Mostarshedi

  22. Milieu homogène de surface finie – champ proche (1) − 40°< θ < 40° r > 0,5λ Fonctions de Green CST 4λ i = 0° • Variation angulaire du champ • i = 0°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ • Variation du champ dans la direction spéculaire • i = 0°, r = 0° • Sur une ligne entre 0λ−4λ 0 −1,5λ 1,5λ 3,7λ Erreur du module < 15% Erreur de la phase < 2% Shermila Mostarshedi

  23. Milieu homogène de surface finie – champ proche (2) − 45°< θ < 45° r > 2λ Fonctions de Green CST i = 30° • Variation angulaire du champ • i = 30°, r = [0°, 90°] • Sur un demi-cercle de rayon 1,5λ • Variation du champ dans la direction spéculaire • i = 30°, r = 30° • Sur une ligne entre 0λ−4λ 4λ 0 −1,5λ 1,5λ 3,7λ Erreur du module < 15% Erreur de la phase < 2% Shermila Mostarshedi

  24. Milieu homogène de surface finie – champ proche (3) CST Fonctions de Green Erreur (θi = 0°) z (λ) z (λ) Err. (%) Etotal (V/m) Près de la plaque, en dehors de ± 45° de l’axe z Erreur (θi = 30°) Dans la direction spéculaire z (λ) z (λ) Shermila Mostarshedi

  25. Comparaison avec l’optique physique 1m εr= 8 , θi= 0° εr= 8 , θi= 30° 1m H y (φ=90°) Fonctions de Green Optique physique E HFSS x (φ=0°) Les deux méthodes ne tiennent pas compte de l’effet de bord. εr= 2 , θi= 0° εr= 2 , θi= 30° • L’optique physique fonctionne moins bien pour : • une faible permittivité • en incidence oblique Shermila Mostarshedi

  26. Milieu d’épaisseur finie ∑Er Er θi Verre Air ∑Er θi cos θi − (εreq)½ cos θt sin θi ∑Er (θi , εr-verre , dverre, f ) = où sin θt =  (εreq)½ cos θi + (εreq)½ cos θt Matériau équivalent εreq Béton Béton Équation non linéaire  εreq complexe εr-verre , dverre, f donnés  εreq fonction de θi ∑Er  εreq valable en réflexion Shermila Mostarshedi

  27. Permittivité équivalente + j2,05 Partie réelle Partie imaginaire − j8,21 Coefficient de réflexion Permittivité équivalente 10 mm f = 900 MHz εr-verre = 5,5 Convention en régime harmonique de forme ejωt Re (ε)>0 Im (ε)<0  Milieu atténuateur Re (ε)>0 Im (ε)>0 Milieu amplificateur 50 mm 10 mm ou f = 900 MHz f = 4,5 GHz Shermila Mostarshedi

  28. Validation du modèle – Milieu de surface infinie 2 × |ΓFresnel| z r Rayon de la zone de Fresnel Double vitrage (verre-air-verre) • Onde plane en polarisation TE • θi = 0° , θr = 0° • f = 900 MHz • εr-verre = 5,5 • |ΓFresnel| de la structure multicouche = 0,532 4 mm H 16 mm 8 mm E εr-verre εr-verre εreq = −0,5213 + j1,375 z y x M (r=100 m) R ∞ r′ Matériau équivalent εreq Shermila Mostarshedi

  29. Validation du modèle – Milieu de surface finie Fonctions de Green CST Lame fine de verre (d ≈ 0,3λ)  La diffraction par les bords devient prépondérante. L’écart est lié à l’effet de bord. z Simple vitrage y • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz • εr-verre = 5,5 • d = 10 mm 1,2 m x 10 mm 1,2 m H E εr-verre • θi = 0° • θr = [0° , 90°] • θi = [0° , 15°, … , 90°] • θr = [0° , 15°, … , 90°] εreq = [εreq-0° , εreq-15° , … , εreq-90° ] εreq = εreq-0° Shermila Mostarshedi

  30. Validation du modèle – Milieu composé de surface finie Fonctions de Green CST L’effet de bord est secondaire en raison de la présence du béton. z y • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz • θi = 0° , θr = [0° , 90°] • εr-verre = 5,5  εreq = 17 + j18,39 • εr-béton = 6 − j4,8 x Double vitrage intégré dans un mur 2 m 1 m H 4 mm E 16 mm 8 mm 0,5 m Épaisseur importante Pertes importantes Shermila Mostarshedi

  31. Influence du type de vitrage sur le champ réfléchi vitrage infini (εr-verre = 5,5) simple vitrage (εreq = 0,622 + j2,053) double vitrage (εreq = −0,5213 + j1,375) fenêtres ouvertes (εr = 1) 12 m 1,5 m 2 m 12 m • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz • θi = 0° , θr = [0° , 90°] • εr-verre = 5,5 • εr-béton = 3,44 − j0,08 • r = 100 m Le type de vitrage est un paramètre influent dans le calcul du champ. Shermila Mostarshedi

  32. Plan de la présentation • Introduction • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  33. Sources d’incertitudes du champ au voisinage d’un bâtiment E = ∫∫ GE • Js ds s Dimensions de la surface réfléchissante Type du matériau et angle d’observation Source du problème • Matériau • Permittivité du béton • Forme des détails architecturaux • Largeur, hauteur et épaisseur des fenêtres • Pourcentage des inhomogénéités • Nombre des fenêtres • Distribution des inhomogénéités • Nombreuses petites fenêtres ou grande baie vitrée Shermila Mostarshedi

  34. Variation de la permittivité du matériau principal Type de béton A B C ε′r 6,13 3,44 10 ε′′r 0,13 0,08 2,5 Fréquence 1 GHz 1 GHz 750 MHz Pour attribuer une distribution statistique à la variation d’un paramètre, il faut avoir une bonne connaissance de la nature de la variation. une classe de bâtiments  un type de béton distribution gaussienne N(ε′r ; σ)  N(6,13 ; 0,25) tous les bâtiments dans une ville  différents types de béton distribution uniforme U(ε′r-min ; ε′r-max )  U(2 ; 10) Shermila Mostarshedi

  35. Variation aléatoire de la permittivité du béton (1) Coefficient de Variation σ CV = μ 12 m • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m) • θi = 0° • θr = 0° (lobe principal) , 2,4° (premier lobe secondaire) • r = 300 m • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = 10 mm • εr-béton = N(6,13 ; 0,25) avec tgδ = 0,02 • nombre d’échantillons = 10000 1,5 m 2 m 12 m  εreq-0° = 0,622 + j2,053 CV = 4% CV = 1,38% CV = 0,94% Shermila Mostarshedi

  36. Variation aléatoire de la permittivité du béton (2) • θi = 30° • θr = 30° (lobe principal) , 32,8° (premier lobe secondaire) • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = 10 mm  εreq-30° = 0,5167 + j1,7907 CV = 1,23% CV = 0,65% • Variation du matériau principal de la façade : • affecte plus le lobe principal du champ réfléchi • en incidence normale Shermila Mostarshedi

  37. Variation aléatoire de la permittivité du béton (3) moyenne minimum – maximum Différence relative minimale Différence relative maximale • θi = [0° , 60°] • θr = [0° , 60°] • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = 10 mm  εreq = [εreq-0° , … , εreq-60°] r = 100 m r = 300 m Shermila Mostarshedi

  38. Estimation des paramètres et test d’hypothèse statistique Weibull Normal Estimation non paramétrique Noyau Epanechnikov Beta Gamma • Estimation : Normal : μ = 0,5 σ = 0,007 Beta : α = 2610 β = 2608 Gamma : α = 5215 β =9e-5 • Test Kolmogorov-Smirnov : H0 : La fonction de répartition du champ est égale à la fonction de répartition estimée. K-S test  Avec un niveau de confiance de 95%, H0 peut être rejetée pour des distributions Normale, Gamma, Beta et Weibull. Shermila Mostarshedi

  39. Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (1) Réflexion spéculaire P1 P2 P3 Réflexion non-spéculaire P1: 2 m × 2 m P2 : 1 m × 1 m P3 : 0,4 m × 0,4 m • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m) • θi = 0° • θr = [0° , 7°] • r = 300 m • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = 10 mm • pourcentage du verre = 33% • εr-béton = 6,13 − j0,13 Shermila Mostarshedi

  40. Variation aléatoire de la distribution des fenêtres (2) Homogénéisation autorisée Réflexion spéculaire [0°, 30°] Réflexion non-spéculaire [2° , 32,5°] • Variation de la distribution des fenêtres : • affecte plus le champ réfléchi dans la direction non-spéculaire • en incidence normale Shermila Mostarshedi

  41. Variation aléatoire des dimensions des fenêtres • Onde plane en polarisation TE , TM • f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m) • θi = 0° , 30° • θr = [0°, 2°] , [30° , 32,5°] • r = 300 m , 100 m , 10 m • εr-béton = 6,13 −j0,0.13 • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = 10 mm 12 m 12 m Largeur Hauteur • Largeur = 1,5 m , Hauteur = N(2m ; 0,4m) • Largeur = N(2m ; 0,4m) , Hauteur=1,5 m CV=20% Catégorie de bâtiment  Taille de fenêtre standard Distribution gaussienne  Perturbation autour des valeurs nominales Pour toute polarisation, toute incidence et toute direction d’observation : CV dans la zone de Fresnel et plus loin < 4% CV dans la zone du champ proche > 40% Nécessité de tenir compte des hétérogénéités locales en champ proche Shermila Mostarshedi

  42. Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (1) Partie réelle Partie imaginaire 12 m • Onde plane en polarisation TE • f = 900 MHz (λ≈ 0,33 m) • θi = 0° • εr-béton = 6,13 −j0,13 • εr-verre = 5,5 • simple vitrage d = U(1 mm ; 20 mm) 1,5 m 2 m 12 m Permittivité équivalente Variation de l’épaisseur Transformation non-linéaire Variation de la permittivité équivalente Variation du champ réfléchi Shermila Mostarshedi

  43. Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (2) Distribution uniforme Linéaire 13 mm 4 mm • θi = 0° • θr = 0° • 2000 échantillons L’influence de la variation de l’épaisseur du verre sur le champ réfléchi est très importante. Shermila Mostarshedi

  44. Variation aléatoire de l’épaisseur des fenêtres (3) εreq = 0,96 + j0,52 εreq = 0,22 + j5,00 θr = 2,5° θr = 3,5° • θi = 0° • θr = 2,5° et 3,5° • 2000 échantillons Épaisseur = 3 mm θr = 2,5° Épaisseur = 17 mm θr = 3,5° Densité de probabilité Champ réfléchi 13 mm 4 mm Shermila Mostarshedi

  45. Plan de la présentation • Introduction • Principes d’équivalence • Fonctions de Green • Application des fonctions de Green • Études statistiques • Conclusions et perspectives Shermila Mostarshedi

  46. Conclusions Méthode • Basée sur − le principe d’équivalence inductive • − les fonctions de Green associées à l’interface entre • deux diélectriques semi-infinis sans singularité • Rapide • Précise − pour toute permittivité • − dans toutes directions : spéculaire et non-spéculaire • précision plus faible en directions rasantes Modèle • Méthode rapide  −S’intégrer facilement dans un modèle théorique • Méthode précise  − Fournir les coefficients de réflexion d’une méthode basée sur les rayons pour un modèle spécifiqueau site • Études statistiques  − Réduire le temps de calcul en simplifiant lesmodèles Shermila Mostarshedi

  47. Perspectives Méthode • Tenir compte de la diffraction • Analyser le champ transmis pour les études hybrides «outdoor/indoor » • Étudier l’existence/l’influence des ondes de surface sur les fenêtres • Améliorer les techniques d’intégration surfacique Modèle • Tenir compte de la forme de la source et l’incertitude associée • Mieux modéliser la variation aléatoire des paramètres • Accompagner les résultats avec une campagne de mesure • Intégrer la méthode dans un simulateur de propagation d’onde Shermila Mostarshedi

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