Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Budowlanych im. Kazimierza Wielkiego w Szczecinie • Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych im. F. Ratajczaka w Kościanie • ID grupy: 97/26_mf_g1 , 97/45 _mf_g1 • Opiekun: Krzysztof Markwart, Anna Berlińska • Kompetencja: Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Jak się waha wahadło? • Semestr/rok szkolny: MGP 3 rok szkolny 2011/2012

3. Spis treści • WSTĘP • RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM • PRAWO GRAWITACJI • NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO • RZUT PIONOWY • RZUT POZIOMY • RZUT UKOŚNY • WAHADŁO • WAHADŁO MATEMATYCZNE • WAHADŁO FIZYCZNE • DŁUGOŚĆ ZREDUKOWANA • WAHADŁO FOUCAULTA • ZEGAR WAHADŁOWY • CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA • OPIS WSTĘPNY • RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • RUCH WAHADŁA O ZMIENIANEJ DŁUGOŚCI • WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA GRAWITACYJNEGO • RUCH WAHADŁA FIZYCZNEGO • PODSUMOWANIE • ŹRÓDŁA MULTIMEDIALNE

4. wstęp • Na temat wspólnej pracy w ramach Międzyszkolnych Grup Uczniowskich tym razem wybraliśmy „Jak się waha wahadło?”. • Jest to temat interesujący zarówno ze strony fizycznej jak i matematycznej, co w pełni łączy charaktery obu naszych grup. • Grupa z Zespołu Szkół Budowlanych w Szczecinie zajęła się głównie opisem teoretycznym zagadnienia. Grupa z Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych z Kościana zajęła się częścią doświadczalną, ze względu na uzyskany w ramach projektu AS KOMPETENCJI sprzęt pomiarowy. • Mamy nadzieję że nasza prezentacja będzie odzwierciedleniem naszej wspólnej pracy.

5. RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM - PRAWO GRAWITACJI • Nie można omawiać ruchu wahadła bez uwzględnienia obecności pola grawitacyjnego, które ten ruch powoduje. • Co to jest Pole grawitacyjne? Pole grawitacyjne –  jest to obszar działania sił grawitacyjnych. Źródłem pola jest każde ciało mające masę - wytwarza wokół siebie  pole grawitacyjne które działa na wszystkie ciała znajdujące się w jego otoczeniu. • Skupmy się na moment na samej sile grawitacji. • Prawo powszechnego ciążenia, zwane także prawem grawitacji Newtona, głosi, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

6. RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM - PRAWO GRAWITACJI • Jest to ogólne prawo fizyczne, bazujące na empirycznych obserwacjach Newtona, które nazwał on indukcją (wpływem).Wchodzi ono w skład podstaw mechaniki klasycznej i zostało sformułowane w pracy sir Isaaca Newtona pt.: Philosophiae naturalis principia mathematica, opublikowanej po raz pierwszy 5 lipca 1687 r. W swym dziele Newton przedstawił spójną teorię grawitacji, opisującą zarówno spadanie obiektów na Ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.

7. RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM - PRAWO GRAWITACJI • Newtona interesowało również czy z takim rodzajem oddziaływania mamy do czynienia we wszechświecie. Analizując teorie Kopernika o Układzie Słonecznym Newton doszedł do wniosku ze przyczyną zakrzywienia toru ruchu planet jest działanie siły o charakterze siły dośrodkowej która swoje źródło ma w Słońcu .To odkrycie upewniło Newtona w tym że każde dwa ciała posiadające masę wzajemnie się przyciągają:

8. RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM – natężenie pola grawitacyjnego • Pole grawitacyjne wytwarzane przez masę Ziemi w obszarze obejmującym niewielkie odległości od Ziemi w porównaniu z jej promieniem, jest polem jednorodnym, czyli linie pola są do siebie równoległe, a natężenie pola jest w każdym punkcie takie samo. • Natężeniem pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek siły grawitacji, działającej w tym punkcie na umieszczone tam ciało próbne, do masy tego ciała.

9. RUCH CIAŁ W POLU GRAWITACYJNYM – natężenie pola grawitacyjnego • Natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora natężenia pola grawitacyjnego jest taki sam jak kierunek i zwrot siły grawitacji. • Wartość natężenia pola grawitacyjnego odpowiada znanemu nam na co dzień i używanemu często przyspieszeniu grawitacyjnemu.

10. Ruch ciał w polu grawitacyjnym • Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia , siła grawitacji działająca pomiędzy ciałami – zwłaszcza, gdy jedno z ciał ma dużą masę – jak Ziemia – ma znaczący wpływ na ruch ciał znajdujących się w jego pobliżu. • W polu grawitacyjnym obserwujemy kilka charakterystycznych rodzajów ruchu: • Rzut pionowy • Rzut poziomy • Rzut ukośny • Rzut – to ruch składający się z co najmniej dwóch różnych rodzajów ruchu

11. Ruch ciał w polu grawitacyjnym – rzut pionowy • Rzut pionowy składa się z dwóch ruchów następujących po sobie. • Są to:-Ruch jednostajnie opóźniony w górę z opóźnieniem g: ciało w czasie wznoszenia osiągnie wysokość • Ruch jednostajnie przyspieszony w dół z przyspieszeniem g: ciało w czasie opadania • zwiększa prędkość od zera do wartości, jaką nadano mu w chwili wyrzucenia.

12. Ruch ciał w polu grawitacyjnym – rzut poziomy • Warunki początkowe: ciało jest wyrzucone z wysokości h z prędkością  v0x w kierunku poziomym. Rzut poziomy składa się z dwóch ruchów, które odbywają się równocześnie.

13. Ruch ciał w polu grawitacyjnym – rzut poziomy • Są to:Ruch jednostajny prostoliniowy w kierunku poziomym ze stałą prędkością vx. • Ruch jednostajnie przyspieszony w kierunku pionowym z prędkością początkową równą zeru i przyspieszeniem g. • W tym czasie ciało przebędzie w ruchu jednostajnym w kierunku poziomym drogę, którą nazywamy zasięgiem:

14. Ruch ciał w polu grawitacyjnym – rzut ukośny • Rzut ukośnyWarunki początkowe: ciało jest wyrzucone z prędkością v0 tworzącą kąt α z kierunkiem poziomym. • Torem ruchu jest parabola o ramionach zwróconych w dół

15. Ruch ciał w polu grawitacyjnym – rzut ukośny • Rzut ukośny składa się z zachodzących równocześnie dwóch ruchów. Są to:Ruch jednostajny prostoliniowy w kierunku poziomym z prędkością v0x = v0 ⋅ cosα. • Ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową w kierunku pionowym do góry v0y = v0 ⋅ sinα aż do osiągnięcia maksymalnej wysokości oraz swobodny spadek od chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości. • Czas wznoszenia: • Maksymalna wysokość: • Zasięg:

16. Wahadło – wahadło matematyczne • Wahadło matematyczne (wahadło proste) jest to ciało o masie punktowej zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. • Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt α. Na masę m działa siła przyciągania grawitacyjnego (siła ciężkości) wyrażana wzorem Q = mg oraz siła naprężenia (naciągu) nici N.

17. Wahadło – wahadło matematyczne • Siłę ciężkości rozkładamy na składowe:- jedna składowa równoważy siłę naprężenia - druga składowa dostarcza niezbędnego przyspieszenia dośrodkowego do utrzymania ruchu po łuku okręgu, siła ta jest zwrócona przeciwnie do przesunięcia. • Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi : • Wychylenie wahadła α musi być małe (zakłada się, że sin(α) ≈ α) • Przyjmując to, otrzymujemy: • Minus oczywiście nie oznacza, że wartość siły jest ujemna, tylko to, że zwrot działania siły jest przeciwny do zwrotu przesunięcia. • stała mg/l określa stałą k w równaniu F = -kx :

18. Wahadło – wahadło matematyczne • Przy małej amplitudzie okres wahadła matematycznego wynosi więc: • g- przyspieszenie grawitacyjne • l - długość nici. • Okres drgań wahadła nie zależy od jego masy.

19. Wahadło – wahadło matematyczne • Przekształcając odpowiednio wzór na okres drgań wahadła, możemy wyznaczyć wzór na przyspieszenie grawitacyjne w zależności od okresu i długości wahadła matematycznego:

20. Wahadło – wahadło Fizyczne • Wahadło fizyczne – dowolna bryła sztywna mogąca obracać się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości tej bryły. Można tez je zdefiniować następująco: • Każde ciało rzeczywiste zawieszone, w punkcie znajdującym się powyżej jego środka ciężkości, nazywamy wahadłem fizycznym. • Ciało takie, odchylone z położenia równowagi i puszczone swobodnie, wykonuje drgania własne. Rysunek obok przedstawia niejednorodną bryłę elipsoidalną mającą możliwość drgań wokół punktu 0.

21. Wahadło – wahadło Fizyczne • Siły działające na środek ciężkości wahadła fizycznego A są takie same jak działające na kulkę wahadła matematycznego. Gdy wahadło fizyczne zostanie wprawione w drgania, wówczas jego ruch możemy rozpatrywać jako obrót bryły sztywnej wokół nieruchomej osi, dla której słuszne jest dynamiczne równanie ruchu obrotowego: • Iε = M, • gdzie: - M = Fhr = mgrsinα - to moment siły Fh względem osi obrotu przechodzącej przez punkt O, - r - to odległość środka masy wahadła A od osi obrotu O, - I - to moment bezwładności wahadła względem osi obrotu O, - m - to masa wahadła,

22. Wahadło – wahadło Fizyczne • - a - to przyspieszenie liniowe środka masy wahadła. • Podstawiając ostatnie zależności do równania ruchu mamy: • Z ostatniego równania wynika, że przyspieszenie liniowe środka masy wahadła fizycznego zależy wprost proporcjonalnie od wychylenia z położenia równowagi.

23. Wahadło – wahadło Fizyczne • Zatem, dla małych wychyleń, wahadło fizyczne drga harmonicznie. Możemy napisać: • Z ostatniego wzoru wynika, że okres drgań wahadła fizycznego zależy od jego momentu bezwładności I, odległości środka masy od osi obrotu r, masy m i przyspieszenia grawitacyjnego w danym miejscu g.

24. Wahadło – długość zredukowana • Zauważmy, że gdybyśmy zbudowali wahadło matematyczne o długości • wtedy jego okres drgań byłby taki sam jak wahadła fizycznego o masie m i momencie bezwładności I, które drga wokół osi obrotu oddalonej o r od środka masy. • Długość wahadła matematycznego określoną powyższym wzorem nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. • Długość zredukowana wahadła fizycznego, jest to taka długość wahadła matematycznego, które drga z takim samym okresem, jak rozpatrywane wahadło fizyczne.

25. Wahadło - Wahadło Foucaulta • Wahadło Foucaulta - jest to wahadło, które ma możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Wahadło Foucaulta dowodzi obrotu Ziemi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w 1851 w Panteonie w Paryżu.Ponieważ w tym wahadle wymagany jest duży okres drgań, a także długi czas wahań, ramię wahadła powinno być bardzo długie, nawet kilkunastometrowe.W działaniu wahadła ujawnia się siła Coriolisa. Jeżeli wahadło puścić w ruch, to po pewnym czasie obserwator na Ziemi zauważy, że płaszczyzna wahań zmieniła się. Gdyby zbudować wahadło zdolne do wahań przez 24 godziny i umieścić je na biegunie geograficznym Ziemi, to w ciągu doby płaszczyzna jego wahań obróci się o 360°. Na mniejszych szerokościach geograficznych obrót będzie odpowiednio wolniejszy (proporcjonalnie do sinusa szerokości)

26. Wahadło - Wahadło Foucaulta • Wahadło Foucaulta na Zamku Książąt Pomorskich w Szczecinie

27. Wahadło - Zegar wahadłowy • Zegar mechaniczny wykorzystujący wahadło jako regulator chodu do odmierzania czasu. Do wskazywania czasu w zegarach wahadłowych wykorzystuje się wskaźnik analogowy w postaci tarczy i wskazówek. Zegar wahadłowy napędzany jest zazwyczaj siłą grawitacji (obciążnik na lince), sprężyną lub elektromagnesem.

28. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA • Wykonaliśmy szereg doświadczeń z wahadłami zmieniając kąt wychylenia oraz długość wahadeł zbliżonych do matematycznego. Filmowaliśmy poruszające się wahadło później wykonując pomiary i analizując wyniki. Korzystaliśmy z opcji wideopomiarów w programie COACH6. • Robiliśmy także pomiary dla wahadła fizycznego, który stanowił pręt o zmiennym punkcie zawieszenia. • Zapraszamy do opisu i analizy poszczególnych doświadczeń.

29. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Badamy ruch wahadła o różnych kątach wychylenia. Pomiarów dokonaliśmy dla wahadła o długości 1,11 m. • Pierwszy pomiar wykonaliśmy dla kąta 5° , 10° ,15 °, 20° , 30° , 40° i 60°. • Niepewność pomiaru długości szacujemy na 0,01 m. • Badamy zależność długości okresu wahań od wychylenia początkowego. • Odczytujemy długość okresu wahań z wykresu sporządzonego przez program COACH6 na bazie wideopomiarów.

30. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI

31. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Odczytujemy okres drgań dla poszczególnych kątów wychylenia: • - Dla 5° okres T = 2,10s • - Dla 10° okres T = 2,12s • Dla 15° okres T = 2,14s • Dla 20° okres T = 2,18s • Dla 30° okres T = 2,23s • Dla 40° okres T = 2,30s • Dla 60° okres T = 2,44s

32. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • I sporządzamy wykres zależności okresu drgań od kąta wychylenia:

33. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Sprawdzamy słuszność pomiarów dla małego kąta czyli 5° korzystając ze wzoru: • Za przyspieszenie grawitacyjne podstawiliśmy : • g=9,81 m/s² • Otrzymaliśmy wynik: • T=2,1135 s • Wynik otrzymany przez nas różni się o 0,64 % od teoretycznego, co można uznać za zgodność doświadczenia z teorią.

34. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O ZMIENNEJ DŁUGOŚCI • 1.Pomiar długości okresu wahadła w zależności od jego długości. • Wykonujemy pomiary dla wahadeł o różnych długościach i kącie wychylenia 5°. Wykorzystując opcję wideopomiarów w programie COACH6 analizujemy zarejestrowane przez nas za pomocą kamery doświadczenia. Z wykresów zależności wychylenia od czasu odczytujemy okres zmian ruchu wahadła. Aby uniknąć tłumienia drgań, związanego z występowaniem sił oporu bierzemy pod uwagę jedne z pierwszych „wahnięć” . • Pomiary wykonaliśmy dla wahadeł o długościach: • l=0,76m • l=1,11m • l=1,49m • l=1,84m

35. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Ad.a – wahadło o długości l=0,76m. • Z wykresu zależności zmian położenia w czasie dla naszego wahadła odczytujemy okres ( zaznaczone na wykresie czerwoną kreską):

36. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Odczytana wartość okresu drgań wynosi dla kolejnych wahnięć to: • Widzimy, że okres maleje – jest to wynikiem występowania sił oporu powietrza. Do dalszych badań będziemy brali pod uwagę pierwszy wynik pomiaru długości okresu . • Ta = 1,70 s

37. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Ad.b – wahadło o długości l=1,11m. • Z wykresu zależności zmian położenia w czasie dla naszego wahadła odczytujemy okres ( zaznaczone na wykresie czerwoną kreską):

38. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Odczytana wartość okresu drgań wynosi dla kolejnych wahnięć to: • Widzimy, że w tym przypadku czas trwania kolejnych wahnięć jest właściwie taki sam. Do dalszych badań będziemy brali pod uwagę oczywiście wynik: • Tb = 2,10 s

39. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Ad.c – wahadło o długości l=1,49m. • Z wykresu zależności zmian położenia w czasie dla naszego wahadła odczytujemy okres ( zaznaczone na wykresie czerwoną kreską):

40. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Odczytana wartość okresu drgań wynosi dla kolejnych wahnięć to: • Widzimy, że okres maleje – jest to wynikiem występowania sił oporu powietrza. Do dalszych badań będziemy brali pod uwagę pierwszy wynik pomiaru długości okresu . • Tc = 2,55 s

41. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Ad.d – wahadło o długości l=1,84m. • Z wykresu zależności zmian położenia w czasie dla naszego wahadła odczytujemy okres ( zaznaczone na wykresie czerwoną kreską):

42. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Odczytana wartość okresu drgań wynosi dla kolejnych wahnięć to: • Widzimy, że okres maleje – jest to wynikiem występowania sił oporu powietrza. Do dalszych badań będziemy brali pod uwagę pierwszy wynik pomiaru długości okresu . • Td = 2,70 s

43. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Zapisujemy zależność okresu drgań od długości wahadła w formie tabeli i przedstawiamy graficznie za pomocą wykresu:

44. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – RUCH WAHADŁA O USTALONEJ DŁUGOŚCI • Z wykresu wyraźnie widać, że długość okresu wahań wahadła zależy od jego długości. Im dłuższe wahadło tym dłuższy okres drgań. • Korzystając z naszych pomiarów możemy zająć się wyznaczeniem przyspieszenia grawitacyjnego. • Uwzględnimy nasze pomiary dla różnych długości oraz niepewność pomiaru długości, oraz wyznaczymy niepewności dla okresu wahań. • Niepewność pomiaru długości to: 0,01m a dla czasu to 0,02s: • Δl = 0.01m • ΔT = 0.02s

45. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA GRAWITACYJNEGO • Znając niepewności pomiaru długości wahadła i okresu , możemy wyznaczyć niepewność wyznaczanej wartości przyspieszenia ziemskiego, które wyraża się wzorem: • A niepewność: • Wykonujemy konieczne obliczenia i wyniki zapisujemy w tabeli. Wyznaczamy średnią wartość przyspieszenia grawitacyjnego i średnią wartość niepewności pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego

46. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA GRAWITACYJNEGO

47. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA – WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA GRAWITACYJNEGO • Widzimy, że dla pomiaru okresu dla wahadła o długości 1,49 m wynik znacznie odbiega od pozostałych. Może to wynikać ze złego skalowania w programie Coach6, bądź z niedokładnych pomiarów długości wahadła. • Zapisujemy wynik naszych pomiarów i obliczeń w postaci: • g = 9,822 +/- 0,101 m/s² • Porównujemy wynik z wynikami z tablic fizycznych. Spisujemy wartość g dla Poznania – najbliżej Kościana z podanych miast. • gt= 9,812 • Widzimy, że wynik wykonanych pomiarów jest zgodny z wartością tablicową. Oznacza, to że wahadło może służyć do wyznaczania przyspieszenia grawitacyjnego. Oczywiście zakładając przyjęcie małego kata wychyleń.

48. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA - RUCH WAHADŁA FIZYCZNEGO • Badamy ruch wahadła fizycznego dla różnych jego długości. Naszym wahadłem jest pręt o długości: • L=1m • zawieszany w różnych –odległościach od środka masy – czyli zawieszamy go w odległościach • -d=0,5L • –d=0,45L • -d= 0,25L • -d=0,17L • Za pomocą stopera mierzymy czas 10 wahnięć. Powtarzamy 5 razy dla każdej długości.

49. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA - RUCH WAHADŁA FIZYCZNEGO • Teoretyczną wartość okresu drgań będziemy wyznaczać ze wzoru: • Gdzie I jest momentem bezwładności pręta w naszym przypadku i wyznaczamy ten moment bezwładności ze wzoru: • Moment bezwładności dla pręta, gdy oś przechodzi przez środek masy wynosi:

50. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA - RUCH WAHADŁA FIZYCZNEGO • Wyznaczamy momenty bezwładności i wzory na okres w poszczególnych przypadkach : • d=0,5L • d=0,45L • d=0,25L • d=0.17L