Technika planowania eksperymentu

1. r.r@wp.pl: Prezentacja wygłoszona dnia 17.12.2002 na seminarium dyplomowym specjalności robotyka wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej Technika planowania eksperymentu Robert Ręgowski gr. R57 http://Robert.Regowski.Tripod.com

2. Wstęp Współczesne badania z jakimi spotykamy się w nauce wymagają niekiedy dużych nakładów środków – kosztów, czasu, energii. Technika planowania eksperymentu, powstała na gruncie statystyki matematycznej, próbuje dać odpowiedź na pytanie: jak przeprowadzić doświadczenie, aby przy minimalnych nakładach uzyskać jak najbardziej miarodajne wyniki.

3. Podstawowe zagadnienia planowania eksperymentów • Pojęcie eksperymentu • Przebieg eksperymentu • Potrzeba stosowania sformalizowanych planów • Rodzaje planów • Porównanie metod – tradycyjnej i współczesnej

4. Eksperyment Jako eksperyment uznajemy serię doświadczeń, umożliwiającą utworzenie opisu matematycznego (modelu) bądź poprawienie działania dotychczasowego obiektu. Inaczej mówiąc: eksperyment ma umożliwić identyfikację lub optymalizację rozważanego obiektu. Ponadto jakość identyfikacji lub optymalizacji zależeć może w dużym stopniu od doboru doświadczeń.

5. Poszukujemy związków i zależności między zmienną wyjściową Y a zbiorem zmiennych wejściowych X=[X1,X2,...Xn ] Przeprowadzamy doświadczenia w których zadajemy konkretne wartości zmiennych niezależnych Wyznaczamy wartości zmiennych wyjściowych Analizujemy statystycznie wyniki doświadczeń celem uzyskania zależności Y=f(X1,X2,...Xn) Analiza wariancji lub kowariancji Analiza regresji Przebieg eksperymentu

6. Regresja a korelacja • Znajomość regresji umożliwia przewidywanie przeciętnego zachowania się obiektu • Korelacja (kowariancja) daje nam możliwość określenia natężenia wzajemnej zależności zmiennych X i Y • Przy analizie regresji x, realizacja zmiennej X jest ustalana i przyjmuje się ze nie zawiera błędów. Mierzymy y – uzyskaną realizację zmiennej Y • W przypadku badania korelacji, zarówno X i Y zawierają błędy obserwacji

7. Potrzeba planowania eksperymentu Szukamy odpowiedzi na pytanie: jakie mamy przyjąć wartości zmiennych wejściowych aby przeprowadzić doświadczenie z najmniejszym nakładem środków. Plany stanowią zespół wytycznych, co do wyboru wartości wejść w zależności od tego jakie informacje o obiekcie nas interesują

8. Poziomy planu • Wartości wielkości wejściowych nazywamy poziomami czynników • Zakładamy, że liczba poziomów czynników w planie jest jednakowa i nazywamy ją liczbą poziomów planu

9. Podstawowe rodzaje planów eksperymentów • Plany dwupoziomowe • Kompletne • Ułamkowe (frakcyjne) • Plany wielopoziomowe • Kompozycyjne • Ortogonalne • Trój- i wielo- poziomowe • Kompletne • Ułamkowe • Plany symplektyczne (dla mieszanin)

10. Plany dwupoziomowe Plan eksperymentu dwupoziomowego zakłada przyjmowanie wartości wejść na dwóch poziomach. np. dla zmiennej Xi przyjmujemy dwa poziomy: • mniejszy – x(min)i • większy – x(max)i Plany dwupoziomowe są najprostsze w realizacji i niekiedy nazywa się je planami eliminacyjnymi.

11. Standaryzacja zmiennych Jeśli zmienna Xi przyjmuje dwie wartości x(min)i i x(max)i, przeprowadzamy normowanie do poziomów –1, +1, stosując zależność kodującą: W ten sposób, bez względu na charakter zmiennych wejściowych, eksperyment możemy zapisać w postaci takiego samego planu

12. Plan kompletny dwuwartościowy 2p Plan kompletny polega na wyczerpaniu wszystkich możliwych skojarzeń zmiennych wejściowych. np. Dla dwóch zmiennych (p=2), z kodowaniem ±1 ma on postać: Liczba doświadczeń realizujących plan kompletny dwupoziomowy: 22 =4

13. 3 4 1 -1 1 -1 1 2 Plan kompletny dla 2 zmiennych Punkty planu kompletnego w przestrzeni zakodowanych zmiennych niezależnych

14. Postać zakodowana Postać normalna Macierze wejść • 1 kolumna: x0formalna zmienna o wartościach 1 • 2 kolumna: wartości zmiennej x1 • 3 kolumna: wartości zmiennej x2 • 4 kolumna:człon interakcyjny, lub dodatkowa zmienna X3 Środkowe kolumny stanowią plan eksperymentu.

15. W wyniku przeprowadzonego doświadczenia otrzymujemy wektor wyjść: Y’=[y1,y2,y3,y4]; • Szukamy wektora współczynników regresji liniowej (metoda najmniejszej sumy kwadratów): b=(x’x)-1x’y • Otrzymujemy wektor: • Wynik eksperymentu dwupoziomowego ma zatem postać funkcji:

16. 5 6 1 7 8 1 1 2 1 3 4 Plan 23 Plan kompletny dwupoziomowy dla 3 zmiennych

17. Metoda Boxa – Wilsona • Służy do planowania eksperymentów polegających na szukaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych. • Dwa etapy: • Niewielka seria doświadczeń dla znalezienia lokalnego opisu matematycznego; • Większa seria doświadczeń w pobliżu obszaru najbardziej interesującego

18. Przykład – planowanie dwupoziomowe Rozważmy obiekt opisany charakterystyką nieliniową: y=f(x1,x2,x3). Szukamy maksimum wyjścia obiektu w obszarze o ograniczeniach: 0x1 100; 0x2 500; 0x3 100; Rozwiązanie: • Startujemy z punktu: x10=30; x20=250; x30=50 • W otoczeniu tego punktu szukamy opisu liniowego o postaci y=b0+b1x1+ b2x2+b3x3 • Przyjmujemy kroki próbne: x1=3; x2=20; x3=2; • Przeprowadzamy eksperyment otrzymując macierz wyjść y

19. Obliczamy: Standaryzacja Podstawiamy do powyższych wzorów wartości poziomów próbnych: xn: xn0- xn ; xn0+ xn Otrzymamy: : -1; +1

20. Macierze wejść i macierz wyjść • Postać zakodowana • Macierz wyjść • Postać normalna

21. Szukana funkcja • Postać funkcji nieliniowej

22. Wyznaczaniewspółczynników Współczynników : szukamy na podstawie wzoru: • Obliczamy : • det =4096 • ( )-1=1/8 I • Zatem:

23. Poszukiwany model w postaci funkcji regresji:

24. Szukanie maksimum Aby znaleźć maksimum przeprowadzamy kolejne doświadczenia: • Przyjmujemy kroki robocze Rxn proporcjonalne do współczynników i xn według wzoru: • krok roboczy: • x1=+10 • x2=+200 • x3=+5 Dla x2 napotykamy Ograniczenia, wstawiamy więc do tabeli 0 Osiągnięte maksimum lokalne: y=455,0

25. Maksimum globalne W dalszych doświadczeniach szukamy maksimum globalnego: • Dla x1=100, x2=0, x2=0 (oba ograniczenia przekroczone) mamy: max(y)=800

26. Eksperyment ułamkowy 2p-k • W przypadku 3 zmiennych, w kompletnym dwupoziomowym eksperymencie przeprowadzamy 23=8 doświadczeń; • Dla 30 zmiennych: 230=1 073 741 824 dośw. które, jeśli trwały by 1 s. wymagały by 34 lat; • Dla dużej liczby zmiennych tworzymy plany połówkowe (2p-1), ćwiartkowe (2p-2), ósemkowe (2p-3) itp. • Liczba k nie może przekroczyć wartości przy której liczba równań nie pozwala na uzyskanie założonego modelu regresji

27. Tworzenie planu frakcyjnego • Model o postaci: • Przyjmujemy, że jedna ze zmiennych unormowanych równa jest współdziałaniu pierwszego rzędu pozostałych zmiennych: Relację taką nazywamy funkcją generującą: • Model przyjmuje postać:

28. Tabele planów

29. dla dla 6 5 1 7 1 1 1 8 1 1 1 2 4 1 3 Plany 23-1

30. Równania 2, 3, 5, 8 spełniają założenie: • Równania 1, 4, 6, 7 spełniają założenie: • Dla funkcji gen.: mamy spełnione: • Biorąc pod uwagę funkcję generującą i powyższe równania, poszukiwana funkcja przyjmie postać:

31. Struktura uwikłania interakcji Na podstawie powyższych zależności możemy stwierdzić że równanie: jest prawidłowym modelem pod warunkiem, że człony interakcyjne są pomijalne w porównaniu z oddziaływaniami głównymi.

32. Plany wielopoziomowe • Użycie dwóch poziomów zmiennych wejściowych nie daje możliwości analizy zależności nieliniowych • Testowanie zależności i interakcji kwadratowych wymaga co najmniej trzech poziomów planu

33. Centralne plany kompozycyjne • Umożliwiają wyznaczenie równania regresji postaci: • Wyróżniamy: • Plany ortogonalne; • Plany rotalne (rotatabilne); • Plany kompletne trójpoziomowe 3p; • Plany kompletne frakcyjne 3p-k;

34. Plany ortogonalne • Dają możliwość aproksymacji wielomianu drugiego stopnia • Plan nazywać będziemy ortogonalnym, jeżeli w każdej kolumnie macierzy planu suma iloczynu poszczególnych elementów kolumny będzie równa 0. • Jeśli kolumny macierzy planu są ortogonalne, to wówczas macierz jest macierzą diagonalną • W przypadku pełnej ortogonalności poziomy czynników i członów interakcyjnych nie są skorelowane.

35. Celem zapewnienia jak największej ortogonalności planu typu 2p lub 2p-k stosuje się rozszerzenie o dwa dodatkowe poziomy +ort–ort – tzw. punkty gwiezdne • Pozostałe zmienne dla tych poziomów równają się 0 • Wartość ort nazywamy odległością osiową i wyznaczamy z zależności: Gdzie: ns – liczba punktów wierzchołkowych jądra planu; ns – liczba punktów gwiezdnych; no - liczba punktów centalnych;

36. 7 3 4 1 5 6 9 1 -1 -1 1 2 8 Plan ortogonalny

37. Plany rotalne • Plany ortogonalne maja wadę: dokładność aproksymacji zależy w nich od przyjętych wartości zmiennych niezależnych • Wady tej nie mają plany rotalne w których punkty wartości zmiennych wejściowych są umieszczone na powierzchni wielowymiaro-wej sfery o środku w początku układu współrzędnych, czyli: gdzie  – promień • Wariancja zmiennej zależnej pozostaje stała bez względu na wartości zmiennych niezależnych

38.  • Do warunku rotalności prowadzi rozszerzenie planu typu 2p lub 2p-k( jądra planu) o punkty gwiezdne +rot–rot • Odległość osiowa rot wyznaczana jest z zależności:

39. Plany optymalne • Procedury planów optymalnych polega na wy-borze z listy możliwych punktów planu (kan-dydatów), takich punktów które zagwarantują uzyskanie maksimum informacji • Ogólne kryterium: minimalizacja korelacji zmiennych wejściowych;

40. Plany A–optymalne • Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by na przekątnej macierzy były możliwie największe wartości w stosunku do elementów poza przekątną • Warunek A–optymalności: tr(.) – suma elementów na przekątnej macierzy (ślad macierzy)

41. Plany D–optymalne • Najmniejsza korelacja między zmiennymi niezależnymi wystąpi, gdy wybierzemy taki plan, by wyznacznik macierzy miał możliwie największą wartość • Warunek D–optymalności: • Kryterium D–optymalności skraca czas obliczeń w stosunku do A–optymalności

42. en xn1 xn2 xn7 yn .... Porównanie planów tradycyjnego (XIX w.) i współczesnego • Rozpatrujemy prosty obiekt liniowy o 7 wejściach i wyjściu opisanym zależnością: n=1,2,... – numery obserwacji

43. xn1 xn2 xn7 ... • Zakłócenia en mają rozkład normalny • Model obiektu: • Przyjmujemy, że pomiary mogą być dokonywane w obszarze ograniczonym: -1xk +1 k=1,2,...,7

44. Plan najbardziej tradycyjny: • Układ równań: • Współczynniki modelu: • Wariancje współczynników

45. Plan unowocześniony: • Układ równań: • Współczynniki modelu: • Wariancje współczynników:

46. Plan współczesny: • Dla zmiennych x1,x2,x3, przyjęto plan dwupoziomowy 23, a dla dalszych zmiennych przyjęto: • Współczynniki modelu: • Wariancje współczynników:

47. Literatura • Dobosz Marek.: Wspomagana komputerowo statystyczna analiza wyników badań. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2001 • Mańczak Kazimierz.: Technika planowania eksperymentu. WNT Warszawa 1976

48. Dziękuję za uwagę