8. JEDNOSTAVNI I SLO ENI KAMATNI RACUN

1. 8. JEDNOSTAVNI I SLO�ENI KAMATNI RACUN

2. KAMATA (oznaka: I ) � naknada koju du�nik placa za posudenu glavnicu (oznaka: C0) RAZDOBLJE UKAMACIVANJA (KAPITALIZACIJE) (oznaka: n) � osnovni vremenski interval u kojem se obracunavaju kamate (propisano zakonom ili se definira ugovorom) KAMATNA STOPA (KAMATNJAK) (oznaka: p) � iznos koji se placa za 100 novcanih jedinica za neki osnovni vremenski interval Kad ka�emo da je kamatna stopa 8% u formulama za kamatnu stopu treba uvrstiti p = 8, a ne p = 8% = 0.08

3. ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA � obracun kamata se vr�i i isplacuje ili pribraja unaprijed za neko vremensko razdoblje, pri cemu se kamate obracunavaju od konacne vrijednosti iznosa (anticipativna kamatna stopa se oznacava sa q) Uzmimo da je na pocetku jedinicnog razdoblja du�nik posudio iznos C0 uz kamatnu stopu q. Du�nik odmah placa kamate u iznosu , a osnovni dug C0 vratit ce na kraju razdoblja. Za du�nika je opisani nacin obracuna kamata identican nacinu kada mu se na pocetku razdoblja posudi iznos:

4. PRIMJER 1. Neka osoba danas posudi iznos od 5000 kn uz uvjet da ce ga vratiti tocno za godinu dana. Ako je dogovoren anticipativni nacin obracuna kamata uz godi�nju kamatnu stopu q = 10, koliko i kada ce du�nik morati platiti vjerovniku da bi podmirio dug na dogovoreni nacin? Obracun kamata je godi�nji. Du�nik mora odmah platiti vjerovniku kamatu u iznosu Godinu dana nakon zadu�enja du�nik ce jo� vratiti vjerovniku iznos koji je posudio, tj. iznos od 5000 kn. Dakle, du�nik je cjelokupni dug podmirio s dva iznosa: odmah je platio kamatu Ia i godinu dana kasnije osnovni dug C0

5. DEKURZIVAN OBRACUN KAMATA - obracun kamata se vr�i i isplacuje ili pribraja danom iznosu na kraju danog vremenskog razdoblja, pri cemu se kamate obracunavaju od pocetne vrijednosti iznosa (anticipativna kamatna stopa se oznacava sa p) Uzmimo da je na pocetku jedinicnog razdoblja du�nik posudio iznos C0 uz kamatnu stopu p. Du�nik placa kamate na kraju razdoblja u iznosu zajedno sa osnovnim dugom C0, tj. dug C0 na kraju razdoblja u cijelosti ce podmiriti iznosom:

6. PRIMJER 2. Neka osoba danas posudi iznos od 5000 kn uz uvjet da ce ga vratiti tocno za godinu dana. Ako je dogovoren dekurzivni nacin obracuna kamata uz godi�nju kamatnu stopu p = 10, koliko i kada ce du�nik morati platiti vjrovniku da bi podmirio dug na dogovoreni nacin? Obracun kamata je godi�nji. Du�nik mora odmah platiti vjerovniku kamatu godinu dana nakon posudbe u iznosu zajedno sa dugom od 5000 kn. Dakle, du�nik je cjelokupni dug podmirio jednim iznosom na kraju jedinicnog razdoblja koji osim temeljnog duga C0 sadr�i i kamatu Id

7. PRIMJER 3. Na koju vrijednost naraste glavnica od 2000 kn nakon jedne godine uz 9% kamata godi�nje? Provedimo obracun uz dekurzivnu i anticipativnu kapitalizaciju C0 = 2000, p = 9 (q = 9), n = 1, C1 = ? Dekurzivno: kamate se racunaju na pocetnu vrijednost glavnice

8. Anticipativno: kamate se racunaju od konacne vrijednosti glavnice C1

9. kamate se uvijek racunaju na istu pocetnu vrijednost za svako razdoblje ukamacivanja Kamate za svako od n razdoblja ukamacivanja: Ukupne kamate za svih n razdoblja: Konacna vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jedinicnog razdoblja uz fiksnu kamatnu stopu p u svakom jedinicnom razdoblju: JEDNOSTAVNI KAMATNI RACUN

10. Ako je vrijeme ukamacivanja izra�eno u mjesecima, onda treba uva�iti da jedna godina ima 12 mjeseci, tj. m mjeseci je m/12 godina, pa se jednostavne kamate za m mjeseci racunaju formulom: Ako su vremenska razdoblja dani, koriste se sljedece 3 metode: francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, dani u mjesecima racunaju se prema kalendaru, a za izracunavanje jednostavnih kamata koristi se formula:

11. njemacka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, svaki mjesec 30 dana, a za izracunavanje jednostavnih kamata koristi se formula: engleska metoda: uzima se da godina ima 365 dana (prijestupna 366), dani u mjesecu racunaju se prema kalendaru, za izracunavanje jednostavnih kamata koristi se formula:

12. PRIMJER 4. Kupac je morao podmiriti fakturu 19. o�ujka 2006. godine iznosom od 30000 kn. No, zbog nesolventnosti on je to ucinio tek 15. lipnja 2006. Ako je dogovoreno sa prodavateljem da zbog ka�njenja placa 8% zateznih kamata, kolikim iznosom je podmirio fakturu 15. lipnja 2006? Obracun kamata je po jednostavnom kamatnom racunu. Izracunat cemo tra�ene jednostavne kamate prema francuskoj, njemackoj i engleskoj metodi. U tu svrhu nu�no je najprije odrediti broj dana zaka�njenja placanja fakture po svakoj metodi. Bez obzira koja metoda za obracun dana se koristi, prvi dan (19. o�ujka) se ne uzima dok se posljednji dan (15. lipnja) uracunava u obracunu dana.

15. PRIMJER 5. Uz koliku je godi�nju kamatnu stopu du�nik posudio 40000 kn ako je vjerovniku nakon 5 godina u cijelosti podmirio dug s iznosom od 57000 kn? Kamate se obracunavaju po jednostavnom kamatnom racunu. C0 = 40000, n = 5 (godine), C5 = 57000, p = ? Ukupne jednostavne kamate: Iz formule dobijemo da je :

16. PRIMJER 6. Koliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn za razdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p1=10, a u preostale 3 godine smanjen je za 5%? Razdoblje od 5 godina treba podijeliti na 2 podrazdoblja: prvo podrazdoblje iznosi 2 godine, a drugo 3 godine Za prvo podrazdoblje: C0 = 15000, p1=10, n1 = 2 Za drugo podrazdoblje: C0 = 15000, p2=10 � 5%10 = 9.5, n2 = 3 Ukupne kamate:

17. kamate se izracunavaju na glavnicu koja je uvecana za prethodno obracunate kamate svakog razdoblja kapitalizacije (tj. racunaju se kamate na kamate) DEKURZIVNO UKAMACIVANJE : SLO�ENI KAMATNI RACUN

18. Izraz, naziva se dekurzivnim kamatnim faktorom i oznacava se sa r Formulu (*) mo�emo pisati i u obliku: Ukupne slo�ene kamate predstavljaju razliku izmedu konacne i pocetne vrijednosti:

19. ANTICIPATIVNO UKAMACIVANJE:

20. Izraz, naziva se anticipativnim kamatnim faktorom i oznacava se sa ? Formulu (**) mo�emo pisati i u obliku: Ukupne slo�ene kamate predstavljaju razliku izmedu konacne i pocetne vrijednosti:

21. a) dekurzivno: b) anticipativno: PRIMJER 7. Kolika je konacna vrijednost glavnice od 5000 kn nakon 5 godina uz slo�enu kapitalizaciju i godi�nju kamatnu stopu p = 2.5 (q = 2.5)?

22. PRIMJER 8. Uz koju kamatnu stopu iznos od 20000 kn kroz 5 godina naraste na 33701.16 kn ako je obracun kamata slo�en, godi�nji i anticipativan?

23. PRIMJER 9. Koliki iznos treba �tedi�a ulo�iti danas u banku ako �eli da na osnovi te uplate na kraju osme godine (racunajuci od danas) raspola�e iznosom od 50000 kn? Obracun kamata je slo�en, godi�nji i dekurzivan, a banka obracunava kamate po kvartalnoj stopi p = 2. Banka obracunava kamate po kvartalnoj stopi, a to znaci da obracunava kamate 4 puta godi�nje. Dakle, u 8 godina banka 32 puta obracunava kamate. C32 = 50000 kn, n = 32, p = 2, C0 = ? Pocetni iznos je:

24. PRIMJER 10. Za koje se vrijeme neki ulog povecao zajedno sa slo�enim kamatama za 120% ako se kamate obracunavaju po godi�njoj kamatnoj stopi 7.3. Obracun kamata je slo�en, godi�nji i dekurzivan.