L I C Z B Y

1. L I C Z B Y S T I R L I N G A

2. James Stirling - matematyk szkocki ur.22 kwietnia1692- zm.5 grudnia1770 Zajmował się teorią szeregów nieskończonych i teorią krzywych algebraicznych trzeciego stopnia oraz opracował wzór Abrahama de Moivre’a na silnię n! Liczby Stirlinga zostały wprowadzone przez Jamesa Stirlinga w dziele„Methodus Differentialis”wydanym w Londynie w roku 1730. WZÓR LICZBY

3. WZÓR STIRLINGA • wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu • wartość silni. Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb n. Formalnie:

4. LICZBY STIRLINGA dzielimy na: Liczby Stirlinga I rodzaju Liczby Stirlinga II rodzaju WŁASNOŚCI

5. Liczby Stirlinga I rodzaju Czytamy: - opisują ilość sposobów na rozmieszczenie n liczbw k cyklach, oznaczane są symbolem lub rzadziej używanym symbolem: „k cykli n” Na przykład istnieje 11 różnych sposobów na stworzenie 2 cykli z 4 elementów ( s(4,2)): [1,2,3] [4], [1,2,4] [3], [1,3,4] [2], [2,3,4] [1], [1,3,2] [4], [1,4,2] [3], [1,4,3] [2], [2,4,3] [1], [1,2] [3,4], [1,3] [2,4], [1,4] [2,3]. Cykl singletowy(tzn. cykl składający się tylko z jednego elementu) zasadniczo odpowiada zbiorowi singletowemu (zbiór tylko z jednym elementem). Podobnie, 2-cykl odpowiada 2-zbiorowi, ponieważ [A, B] = [B, A], tak jak {A, B} = {B, A}.Ale istnieją różne 3-cykle:[A, B, C] i [A, C, B].Zauważmy, że 11 par cykli można uzyskać z poprzednio podanych (liczby drugiego rodzaju) siedmiu par zbiorów poprzez stworzenie dwóch cykli z każdego 3-elementowego zbioru.

6. Przykłady liczb Stirlinga I rodzaju Przykład 1.Liczba sposobów podziału n obiektów na k niepustych, rozłącznych bloków z cyklicznym uporządkowaniem elementów na każdym bloku. Przykład 2. Liczba sposobów rozsadzenia n osób przy dokładnie k okrągłych stolikach, jeśli przy stolikach może siedzieć nieograniczona liczba osób i liczy się sposób ich usadzenia przy danym stoliku (czyli to, kto obok kogo siedzi) /elementy zbioru-osoby cykle permutacji-stoliki/ Dla lepszego rozróżnienia liczb odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju rozpatrzmy sytuację: Mamy prostokątne stoliki ustawione w rzędzie. Sadzamy przy nich osoby tak, że wszystkie siedzą po tej samej stronie wszystkich stołów (czyli tworzą 'siedzący' szereg). Wtedy: to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że przy lewym końcu stolika (z perspektywy siedzących) siedzi najstarsza spośród osób przy tym stoliku, a pozostałe osoby siedzą w dowolnej kolejności po jej prawej stronie. to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna osoba) takich, że osoby przy każdym stoliku siedzą w kolejności od najstarszej (przy lewym końcu stolika) do najmłodszej (przy prawym końcu).

7. Wzór rekurencyjny przy założeniach Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to Pochodzenie wzoru rekurencyjnego: Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń n–liczb w k–cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi. Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k-1–cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób, poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe n-1–liczb jest rozmieszczonych w k–cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli "obok" każdej liczby, a liczb jest n-1, co oznacza n-1–sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można ustawić w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.

8. Potęgi kroczące Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących (silni dolnej) na zwyczajne potęgi: Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną) występuje zależność:

9. Trójkąt liczbowy s(n,k)=(n-1) s(n-1,k)+s(n-1,k-1) 11=3 * 3 + 2

10. Związek między liczbami Po zastosowaniu podstawowych rekurencji oraz (liczby Stirlinga pierwszego rodzaju)(liczby Stirlinga drugiego rodzaju) poza ich kombinatoryczne znaczenie, czyli uznając, że są prawdziwe dla wszystkich n,k całkowitych przy dodatkowym założeniu S(0,k)= s(0,k) = [k=0]i S(n,0) = s(n,0) =[n=0]otrzymujemy trójkąt Stirlinga dla cykli, który pojawia się powyżej trójkąta Stirlinga dla podzbiorów (i odwrotnie!) za to oba rodzaje liczb Stirlinga powiązane są wyjątkowo prostą zależnością: s(n,k) = S(-k,-n), dla całkowitych k, n.

11. Liczby Stirlinga II rodzaju - opisują ilość sposobów podziału zbioru n elementowego na k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dają cały zbiór, zatem opisują ilość k-blokowych partycji zbioru n. (NIEUJEMNE) Czytamy: "k podzbiorów n" Liczby Stirlinga II rodzaju oznaczane są symbolem: lub: S(n, k) Spełniają one związek rekurencyjny postaci: przy założeniach Przyjmuje się, że jeżelik > n, to:

12. Przykłady liczb Stirlinga II rodzaju: • Ilekroć poniżej będziemy mówiły o przypisywaniu ludzi do stolików lub do pokoi, to przyjmujemy, że: • osoby są rozróżnialne; • pokoje są rozróżnialne, np. ponumerowane; • stoliki są nierozróżnialne, tzn. identyczne UWAGA Przykład 1. Liczba rozmieszczeń n różnych przedmiotów (np. kulek, każda innego koloru) do m identycznych pudełek, gdy zajętych jest dokładnie k pudełek równa się Podobnie : n osób możemy rozsadzić przy dokładnie k stolikach na sposobów, jeśli przy stoliku może siedzieć nieograniczona liczba osób i sposób ich usadzenia przy danym stoliku nie ma znaczenia. Przykład 2. Liczba będąca iloczynem n różnych liczb pierwszych może być przedstawiona w postaci iloczynu k różnych czynników (niekoniecznie będących liczbami pierwszymi) na sposobów. Przykład 3. Rozważmy permutacje n liczb. Każda permutacja może być przedstawiona w postaci iloczynu rozłącznych cykli. Weźmy tylko te permutacje, których cykle (a konkretnie elementy tych cykli) są uporządkowane w pewien konkretny sposób, np. w porządku rosnącym. Permutacji n liczb spełniających te własność i rozkładających się na k cykli jest

13. Potęgi kroczące Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju są definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie normalnych potęg na potęgi malejące (silnię dolną). Zachodzi wówczas zależność: " x do m-tej ubywającej " Silnia dolna m czynników Dla wykładników mniejszych od 0 silnię dolną definiuje się jako:

14. Pochodzenie wzoru rekurencyjnego Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga drugiego rodzaju ilość sposobów podziału zbioru n–elementowego na k–podzbiorów niepustych, łatwo jest uzasadnić rekurencyjną zależność. Rozpatrzymy zbiór n–liczb, i wybierzmy jedną z nich. Jeżeli ta liczba stanowiła jednoelementowy podzbiór, to pozostałe n-1–liczb będzie podzielone na k-1–podzbiorów, zaś jedną liczbę można dodać na jeden sposób, jako kolejny podzbiór. Jeżeli liczba była elementem liczniejszego podzbioru, to pozostałe n-1–liczb zostało podzielone na k–podzbiorów, zaś dodatkową liczbę można dołączyć do każdego z podzbiorów, których jest k. Można to więc w tym przypadku zrobić na dokładnie k–sposobów. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można podzielić na 1 podzbiór na 1 sposób, a także na n–podzbiorów na 1 sposób. Za pomocą funkcji tworzących udowodnimy teraz jawny wzór na

15. Dowód: • * Niech - oznacza liczbę k blokowych partycji zbioru n elementowego, czyli ilość możliwości podziału zbioru n elementowego na k niepustych podzbiorów. • Mamy zbiór n elementowy, musimy utworzyć k niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dadzą nam nowy n elementowy zbiór. Rozpatrzmy np. pierwszy element: • może być on sam w którymś podzbiorze, a wtedy reszta (n-1 elementów) będzie rozłożona w k-1 niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, czyli na sposobów. • albo być w którymś z k podzbiorów, które zostały wcześniej podzielone na k niepustych podzbiorów, czyli sposobów jest • Sumując te dwa przypadki otrzymujemy: • (1) • ( Rekurencja obejmuje również ujemne wartości jak i np. przypadki kiedy k>n, ale wtedy naturalnie =0 )

16. Dowód cd: * Funkcje tworzące Mamy możliwość wyboru czy będziemy obliczać funkcję tworzącą po zmiennej k czy n czy k i n jednocześnie (funkcje tworzące wielu zmiennych). My zajmiemy się tylko drugą z nich. Niech: Funkcja Czyli zgodnie z zasadą mnożymy (1) stronami przez i sumujemy po wszystkich n.

17. Dowód cd: dla k>0 (przyjmujemy B0 (x)=1) (2) Zauważamy iż (2) można zapisać jako : Wyciągnijmy xk i rozłóżmy na ułamki proste Szukamy teraz współczynników Ai, jeśli pomnożymy przez 1-rxi podstawimy za , wszystkie po prawej wyzerują się i znajdziemy Ar

18. Dowód cd: Wróćmy do funkcji tworzącej Szukamy współczynników przy xn w rozwinięciu funkcji , zauważmy że w liczniku występuje xk czyli właściwie szukamy współczynników przy xn-k funkcji Zapiszmy to formalnie: = = Szukamy współczynnika przy zmiennej x, wszystko co jej nie zawiera to jakby stała czyli można zapisać: A teraz, wiemy że czyli Zatem: No i mamy jawny wzór na liczbę k-blokowych partycji zbioru n-elementowego: =

19. Trójkąt liczbowy S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k) 7= 1+2*3

20. WŁASNOŚCI LICZB Uzasadnienie: Zkażdego n-elementowego zbioru można stworzyć n!/n = (n-1)! różnych n-cykli, n>0. (Istnieje n! permutacji, a każdy n-cykl występuje n razy, bo każdy z jego elementów może być wypisany jako pierwszy.) Zatem otrzymujemy tezę. Jest to znacznie więcej niżktórą otrzymaliśmy w przypadku liczb podzbiorowych Stirlinga. Uzasadnienie: Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom) Zatem: s(n,n) = S(n,n) , co daje 1.

21. WŁASNOŚCI LICZB cd Uzasadnienie: Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów. Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami, albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom). Zatem: s(n,n) = S(n,n) oraz s(n,n-1) = S(n,n-1), co w każdym z przypadków daje 1. (Liczba sposobów ustawienia n obiektów w n-1 cykli lub podzbiorów odpowiada liczbie sposobów wybrania dwóch obiektów, które będą w tym samym cyklu lub podzbiorze.) Uzasadnienie: Ponieważ każda permutacja definiuje układ cykli (i odwrotnie, każdy układ cyklipermutację), jest liczbą permutacji n obiektów, które zawierają dokładnie k cykli. Jeżeli zsumujemy ją po wszystkich k, dla całkowitych i nieujemnych n musimy otrzymać całkowitą liczbę permutacji. Np.: 6+11+6+1=24=4!

22. CD. WŁASNOŚCI Związek liczb Stirlinga i liczb Bella Liczba Bella dla liczby naturalnej n (ozn: Bn) to liczba podziałów zbioru {1,...,n}. Bn = S(n,k) B n

23. CD. WŁASNOŚCI Związek pomiędzy liczbami Stirlinga II rodzaju i funkcjami z X na Y

24. Przykład |X| |Y| Niech X i Y będą zbiorami skończonymi, |X|= n i |Y| = m. Ile jest wszystkich funkcji całkowitych ze zbioru X w Y ? m*(m-1)*...*3*2*1 Ile jest różnych funkcji całkowitych różnowartościowych ? Ile jest funkcji całkowitych z X na Y ? ? Zauważmy, że jeśli mamy podział zbioru X na k części, to przypisując tym częściom elementy zbioru Y określamy funkcję z X na Y.

25. 2 3 4 1 Cd. przykładu Niech Y będzie zbiorem cztero-elementowym. X: 1 2 3 4 Każdy taki podział determinuje funkcję na zbiór Y określoną jako f(x)= y1, jeśli x jest elementem niebieskim, f(x)= y2, jeśli x jest czerwony, f(x)= y3, jeśli x jest żółty, f(x)= y4 , jeśli x jest zielony. Mamy dokładnie S(n,k) różnych podziałów zbioru X na k części. Odp.: k! S ( n , k ) k! różnych przypisań wartości

26. Koniec • PRZYGOTOWAŁY: • Edyta Kordowska • Katarzyna Młodzikowska • Agnieszka Potaś