L i c z b a p i

1. L i c z b a p i Historia i zastosowanie liczby pi Łukasz Misztal 2a

2. Co to π? Liczba π (ludolfina) – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1. Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

3. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku). Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

4. Historia π Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin, ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.

5. Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości. Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π.

6. W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory doszli w 1674. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji szereg potęgowy. W 1596, Ludolph van Ceulen, stosując metodę Archimedesa obliczył wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku. Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!).

7. Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.

8. Ciekawostki • W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. • Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. • Naukowiec Ceulen na swoim nagrobku wyryte ma 35 miejsc po przecinku liczby π, tyle ile sam wynalzał. • O liczbie π powstało wiele wierszy i poematów (ich autorską jest m. in. Wisława Szymborska).

9. Wzory zawierające liczbę π • Geometria: obwód okręgu, pole elipsy, objętość kuli, powierzchnia kuli, miara łukowa kąta, objętość walca. • Analiza matematyczna: m. in. rozkład normalny, wzór Eulera, wzór Sterlinga. • Teoria liczb: prawdopodobieństwo dwóch losowo wybranych liczb całkowitych, względnie pierwszych; średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą. • Fizyka: zasada nieoznaczoności, równanie pola grawitacyjnego.

10. Koniec Łukasz Misztal 2a • Źródła: • pl.wikipedia.org/wiki/Pi • http://www.math.edu.pl/liczba-pi • http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_pi.php