YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 2 a)

1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ(Bölüm 2 a) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

2. Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü Verilen bir problem için diferansiyel ve integral denklemleri anlatan belirli fiziksel parametreler vardır. Cebirsel denklemler iki kategoriye ayrılırlar. 1) Doğrusal olan (linear) 2) Doğrusal olmayan (non-linear) Doğrusal (linear): Bilinmeyen bir başlangıç değeri içerir, açık veya gizli olabilir. Bilinmeyen parametrelerdeki doğrusal değişiklikler yine bilinmeyen parametreli fonksiyona işaret eder. Örnek: Uzaklığı s olan, bulunduğu konumdan hareket eden bir nesnenin konumu t=0 anında s = s0dır ve sabit hareket hızı v, ilgili zamanda; s=s0 +Vtolur. s ve V arasındaki herhangi bir doğrusal bağlantı ve ayrıca V’nin zamanla değişmediği varsayılırsa, V; s ve t arasındadır.

3. Doğrusal olmayan: Üssü birden farklı bir değere sahip olan ve/veya doğrusal olmayan fonksiyonlar içeren denklemlerdir. • Örnek: dv/dt= sabit = a≠0 kabul edersek, nesnenin üstünde gitgide hızlanan bir hareketi vardır (yerçekimi ivmesi benzeri),s ve t arasında görecelidir. s=so + Vot + (a/2)t2 • Vobaşlangıç hızıdır. Bu denklem, uzaklık (s) ve zaman (t) arasında doğrusal olmayan bir ilişkiye sahiptir, çünkü t parametresinin karesi gereklidir. • Örnek: Takip eden açının arasındaki ilişki θ açısı, zamanla t doğrusal olmayan bağlantıdır. θ=θocos ( *t) • Osilasyon =√(g/L), θo başlangıç açısıdır, g yerçekimi ivmesi ve L bağlantı çubuğunun uzunluğudur. Bu denklem doğrusal değildir. Çünkü; trigonometrik fonksiyon olan Cos() fonksiyonu doğrusal değildir.

4. Bir nesnenin sürüklenmesi sonucu değişen hızı; bo yerçekimi ivmesidir. c sabit sürüklenme katsayısıdır. Denklem (2.1.4a,b)’nin çözümü aşağıda verilmiştir. • Hızı bulalım ve zaman hangi s=0 aralığındadır; (Not; t=0 s=0 V=100 anlamsız bir çözüm yoludur)

5. Grafiksel gösterimi • Doğrusal olmayan denklemler f(x)=1980(1-e-0,1t)-98t iken f(x)=0 olabilir. • X bağımsız değişken ve f(x)’in bir fonksiyonudur. for t=-10:30 ft=(1-exp(-0.1*t)-0.05*t) plot(t,ft,'r*') hold on grid on end xlabel('t(sec)') ylabel('F(t)')

6. Grafik Yöntemi • Bu grafiğin yorumu kolayca yapılabilir ve denklem düzenlenebilir. e-0.1t=1-0.05t • Burada, düz çizginin y=1-0.05t kesişme noktası aranılacaktır, bu üstel f(t)=e-0.1tiken grafiği çizilmiştir. for t=-10:30 ft1=exp(-0.1*t) ft2=1-0.05*t plot(t,ft1,'r*',t,ft2,'b+') hold on end text(10,2.5,'* f(t)=exp(-0.1t)') text(10.,2.2,'+ f(t)=1-0.05t') xlabel('t(sec)') ylabel('F(t)')

7. Örnek 2.1. • Problem: Fonksiyonu tarayarak yaklaşık bir kök bulalım. • Çözüm:∆t=10 olarak alalım ve t=0 anından itibaren tarayalım. Tablo 2.1den yaklaşık kök değerinin t=40 civarında olduğunu görüyoruz. Gerçek (kesin) kök (40,50) aralığındadır, çünkü fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirmektedir. • Tablo 2.1fonksiyon değerleri t f(t) 0 0.0 10 -15.81 20 -15.31 30 -8.80 40 -0.085 50 9.44

8. Örnek 2.2 • Problem: Doğrusal olmayan aşağıdaki denklemin en küçük iki pozitif kökünü bulalım. • Tablo E2.2 :Farklı artma değerleri kullanılarak Örnek E2.2’yi çözdüğümüzde, köklerin değerlerinin yer değiştiğini görürüz.

9. Bisection Yöntemi Bisection, sürekli bir fonksiyonun bir sıfırının bulunması için kullanılan sistematik bir tarama tekniğidir. Bu yöntem, içerisinde bir sıfır bulunan bir aralığın öncelikle tespitine dayanır. Aralık sonunda fonksiyon zıt işarete sahiptir. Sonra aralık iki eşit alt aralığa bölünür ve hangi aralığın bir sıfır değeri içerdiğine bakılır. Sıfır içeren alt aralıklarda hesaplamalara devam edilir. Bir fonksiyon a ve b aralığında işaret değiştirsin ve bir [a, b] aralığında sıfır değerinin olduğunu varsayalım. Aralığın orta noktası m=(a+b)/2 dir. ve bir sıfır [a, m] yada [m, b] aralığında olmalıdır.

10. Bisection Yöntemi • Uygun alt aralıklar, fonksiyonun [a,m] değerleri arasında işaret değiştirip değiştirmediği görülerek test edilir. • İşaret değişiyorsa tarama bu aralıkta sürdürülür, değilse [m, b] aralığında tarama devam eder. Sağdaki şekil fonksiyonun sıfır değeri için ilk yaklaşımı göstermektedir. Y=f(x)=x2-3

11. Örnek • Bisection yöntemi kullanarak fonksiyonunun köklerini bulunuz. Başlangıç aralığı a=1 ve b=2 dir. • Başlangıç; • İlk iterasyon; bundan dolayı sıfır [1,3/2] aralığında değildir. • Sıfır [1,3/2] aralığında olduğunda, a=3/2 ve ya=-3/4 olarak atanır, b ve değişmeyen yb değerleri aynen kullanılır.

12. Örnek • Sonuçlar tablo olarak yazılırsa, konuyu anlamak daha kolay olacaktır.

13. Bisection yöntemi için MATLAB Programı

14. Sonuçlar Bisection yöntemi kullanılarak, f(x)=x^2 -3 denkleminin kökleri aşağıdaki gibi bulunur.

15. Bisection yöntemi (bazen tam olarak çalışmayabilir) • Bisectionyöntemi genellikle yavaşça yakınsar ve bazen tam olarak çalışmayabilir. Şekil 2.2.3 (x1, x2) aralığında f(x)<=0 için ve (x3, x4) aralığında f(x)>=0 için Bisection yöntemi çözüm üretmez. Her iki aralıkta sadece tek kök vardır.

16. Örnek E 2.2.1 • Problem : Bir topVo=10m/s başlangıç hızı ile yerden yukarı doğru fırlatılmaktadır. (hızlanma a= g= -9,8m/s2 dir). Topun yere dönmesi için gereken zamanı hesaplayınız.Topun hareketi için aşağıda verilen denklem kullanılacaktır. Tablo E2.2.1.: Bisection yöntemi ile F(t)=1+10t -4,9t2fonksiyonunun sonuçları aşağıda verilmiştir. Ea=yaklaşık hata ea=yaklaşık bağıl (göreceli) hata.

17. Örnek E 2.2.3. • Problem: Hızı ile orantılı bir sürüklenme kuvvetine sahip bir cismin hareketi problemini ele alalım. Cismin hareket denklemleri aşağıda verilmiştir. • So=0, Vo=100 m/s ,bo = -g = -9,80 ve c=0,12 olarak alalım. Herhangi s=0 zamanından sonra, cismin dikey yükseliş hareketini ve hızını bulalım. • S=0 olarak ayarlayalım ve yeniden hesaplayalım. • Taramada yada çizimde 10<t<20 aralığında bir kök vardır. Bunun için t1=10 ve t2=20 alırız.

18. Örnek E 2.2.3. E2.2.3. ün bu problemi için Bisection yönteminin yakınsaması tabloda görülmektedir;

19. Yanlış pozisyon (RegulaFalsi) Metodu • Yanlış pozisyon (yada regulafalsi ) metodu yakınsama güzergahında küçük düzelme ile bisection metoda benzer. • Kökün en düşük ve en yüksek sınırı genellikle daha iyi bir tahmin için kullanılır. • Doğrunun ve problemde verilen s rampasının yeri;

20. Yanlış pozisyon (RegulaFalsi) Metodu

21. Yanlış pozisyon (RegulaFalsi) Metodu • Bununla birlikte; Yanlış pozisyon metodunda özel durumlar vardır, BisectionMetot’undan daha iyi tahmin edilemez (sonuç vermez).

22. RegulaFalsi için MATLAB Programı

23. Sonuçlar

24. Sabit Nokta İterasyon Metodu • Doğrusal olmayan denklemlerin köklerinin bulunması için en kolay yoldur.(Basit iterasyon yolu olarak da bilinir.) • Denklemlerin a=g(a) formuna ihtiyacı vardır. • Örneğin; F(x) = x – ln (4 + x) = 0 Yeniden düzenlenebilir; x = ln (4 + x) = f(x) • Genel iterasyon prosedürü : xi+1 = f(xi)

25. Sabit Nokta Yöntemi İçin MATLAB Programı

26. Diyagram

27. Sonuçlar F(x)=ln(4+x)=0 denkleminin sabit nokta metodu kullanılarak elde edilen kökleri;

28. Newton-Raphson Metodu • Newton-Raphsonmetodu,Taylor serisinin x=xi noktasından genişletilmesi ile sağlanabilir. F(xi+1) = F(xi) + F(xi)h + F(xi)h2/2 + F(xi)h3/6 + … • xi+1kök için yapılan sonraki tahmindir ve h = xi+1 - xi • Eğer gelecek xi+1iterasyonu yaklaşık olarak kök ise o zaman F(xi+1) 0) olur. • Newton Raphson Metodu Taylor serisinin ikinci evrede kesilmesinden elde edilir ve F xi+1in çözümü;

29. Akış Diyagramı (Newton- Raphson)

30. Newton-Raphson Metodu • Hata: Hata, Taylor serisinin önde gelen kırpma hatalarından tespit edilir. • Gelecek iterasyondaki hata Ei = xr - xi ise,Ei+1akım hatasıdır. • Yakınsama- ardışık hataları daha küçültme gibi, metodun yakınsaması şu şekilde yeterli olur; • Sonraki iterasyon hatası önceki iterasyon hatasına oranlandıktan sonra, Newton Raphson Metodu ikinci dereceden yakınsamaya sahip olur ve böylece bu da ikinci sıra metodudur.

31. Newton-Raphson Metodu için MATLAB Programı

32. Newton-Raphson Metodu için MATLAB Programı

33. Bölüm 2a Sonu

34. Referanslar • Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 • Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 • Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 • Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 • Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001