Matrizes 2009

1. Matrizes2009 Colégio Integrado Jaó. Prof. Paulo.

2. Matrizes • Exemplos:

3. Matrizes • Definição: toda tabela de números dispostos em linhas ou colunas. • Cada elemento da matriz é indicado por dois índices: • Formando assim um conjunto m x n (m por n) elementos dispostos em m linhas e n colunas onde aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.

4. Matrizes Especiais • Matriz-linha – matriz de tipo 1×n • Matriz-coluna – matriz de tipo m×1 • Matriz-quadrada – matriz de tipo n×n ou de ordem n • elementos principais = Aii diagonal principal • tr(A) = traço de uma matriz quadrada = soma dos elementos da diagonal principal • Matriz transposta • obtém-se através da troca ordenada de linhas por colunas (colunas por linhas) de uma matriz.

5. Matrizes Especiais

6. Operações Matriciais • Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais. • Elementos homólogos – elementos com índices iguais

7. Adição e subtração de matrizes • A adição ou subtração de duas matrizes é uma matriz cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos.

8. Multiplicação por um escalar • O produto de uma matriz por um escalar é uma matriz que se obtém multiplicando o escalar por cada um dos elementos da matriz.

9. Multiplicação de Matrizes • Considerem-se duas matrizes A e B tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto das matrizes A e B é uma matriz P=A.B onde

10. Multiplicação de matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 x 3 3 =

11. = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

12. = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

13. = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

14. = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

15. = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

16. = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

17. = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 27 29 2 x 3 2 x 3 1 0 2 3 x 3

18. Propriedades 1. Em geral, AB ≠ BA, ou seja, não é comutativa. 2. Associatividade: (AB)C = A(BC). 3. α(AB) = (αA)B = A(αB), A(–B) = (–A)B = –(AB). 4. (A + B)C = AC + BC se A e B são m×n e C e n×p. 5. D(A + B) = DA + DB se A e B são m×n e D e p×m. 6. Elemento neutro da multiplicacao: AIn = ImA = A , em que Ip e a matriz identidade de ordem p.

19. Criptografia • Fundamentação Teórica Criptografia Kriptós: escondido, oculto Grápho: grafia

20. Introdução à Criptografia • A Criptografia é a ciência que estuda as formas de se escrever uma mensagem em código. Trata-se de um conjunto de técnicas que permitem tornar incompreensível uma mensagem originalmente escrita com clareza, de forma a permitir que apenas o destinatário a decifre e compreenda (Cavalcante, 2004).

21. A cifra de Hill • Método que se utiliza da Álgebra Linear para codificar e decodificar uma mensagem através da multiplicação de matrizes. • Pré-requisito para Cifra de Hill • Matrizes • Multiplicação de Matrizes • Inversa de uma Matriz • Matriz Identidade

22. A cifra de Hill Quando uma mensagem esta codificada por uma Matriz A2x2 , dizemos que se trata de uma 2-Cifra de Hill. A decodificação é feita multiplicando a mensagem codificada pela inversa da matriz codificadora.

23. A cifra de Hill • Tabela de conversão de caracteres em números.

24. Exemplo de codificação e decodificação Tomemos a mensagem: Tudo bem? e substituamos cada letra por um número, de acordo com a tabela anterior. T udo b e m ? 5921415 0 2 5 13 94

25. Exemplo de codificação e decodificação • Montamos uma matriz 3x3 com os números encontrados: 59 21 4 15 0 2 5 13 94

26. Exemplo de codificação e decodificação Usaremos com chave a matriz: Agora efetuamos a multiplicação da matriz chave pela matriz texto. Substituindo os valores da matriz pelos símbolos da tabela temos a mensagem codificada: Óuftm!em?