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INVERSÃO DE MATRIZES

INVERSÃO DE MATRIZES. DEFINIÇÃO. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A. é indicada por A -1. tem ordem n,. obedece a relação: A -1 . A = A . A -1 = I n. onde I n é a matriz identidade de ordem n. acx - bcz = - c acx + adz = 0. ax + bz = 1 cx + dz = 0.

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INVERSÃO DE MATRIZES

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  1. INVERSÃO DE MATRIZES

  2. DEFINIÇÃO Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A é indicada por A-1 tem ordem n, obedece a relação: A-1 . A = A . A-1 = In onde In é a matriz identidade de ordem n.

  3. acx - bcz = - c • acx + adz = 0 ax + bz = 1 cx + dz = 0 adx + bdz = d -bcx - bdz = 0 x y z w A-1 = a b c d A = x y z w = . a b c d 1 0 0 1 d -b -c a d/det(A) -b/det(A) -c/det(A) a/det(A 1 det(A) A-1 = A-1 = INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2 Por definição: Tem-se: z = -c/(ad – bc) (ad – bc)z = - c x = d/(ad – bc) (ad – bc)x = d Por processo semelhante se calcula: y = -b/(ad – bc) w = a/(ad – bc) ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A. Deste modo: ou

  4. a b c d A = Troca o sinal Troca de posição d -b -c a 1 det(A) Em resumo: Se então A-1 =

  5. Lembre-se que: 1 – o complemento algébrico do elemento aij é o elemento denotado por aij que se obtém por: aij = (-1)i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a linha i e a coluna j da matriz A) 2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante da matriz A. 3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o resultado é zero.

  6. A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A. a11 a12 a13 ..... a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ........................................ Se A = a11 a12 a13 ..... a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ........................................ então A = MATRIZ ADJUNTA

  7. a11 a12 a13 ..... a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ................................... Sendo A = a11 a21 a31 ..... a12 a22 a32 ... a13 a23 a33 ... ................................... T ( A ) = A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA

  8. T O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que: n n Se i  j, cij = aik.aik = 0 Se i = j, cij = aik.aik = det(A). K = 1 K = 1 • 0 0 ... • 0 1 0 ... • 0 0 1 ... • .................... det(A) 0 0 ... 0 det(A) 0 ... 0 0 det(A) ... .......................................... Det(A). pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de igual fila. pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela. = Portanto, C =

  9. T = det(A).I A.( A ) A. = I. T ( A ) det(A) 1 T ( A ) det(A) A INVERSA DE UMA MATRIZ Como foi visto: ou Concluindo: é a inversa da matriz A.

  10. 1 7 • 4 9 • 6 6 2 Calcular a inversa da matriz A = -46 50 -12 40 -36 -12 -27 36 -27 -46 40 -27 50 -36 36 -12 -12 -27 • 9 • 6 2 a11 = (-1)1+1.det = 1.(8 – 54) = - 46. a13 = 1. (12 – 24) = -12 2 9 6 2 a12 = (-1)1+2.det = (-1).(4 – 54) = 50. a21 = (-1). (2 – 42) = 40 Primeira linha de A e primeira linha de A. a22 = (1). (6 – 42) = - 36 T a23 = (-1). (18 – 6) = -12 ( ) a31 = (1). (9 – 36) = - 27 a32 = (-1). (6 – 42) = 36 A = A = -46 40 -27 50 -36 36 -12 -12 -27 a33 = (1). (12 – 2) = - 27 -1 172 A-1 = EXEMPLO: Matriz adjunta Determinante da matriz A Det(A) = 3.(-46) + 1.50 + 7.(-12) = -172 Transposta da adjunta INVERSA

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