Die e-Funktion

1. Die e-Funktion Eine Exponentialfunktion mit besonderer Ableitung Mathe Server – Gymnasium Korschenbroich

2. Die allgemeine Exponentialfunktion Graphen von und

3. Ergebnisse • Der Graph von fa´ geht durch eine Streckung parallel zur y-Achse aus dem Graphen von fa hervor. • Für ein a mit 2,7<a<2,8 stimmen die Graphen von f und f´ überein. • Alle Graphen verlaufen durch P(0|1). • Für ein a mit 2,7<a<2,8 ist die Gerade g(x)=x+1 eine Tangente.

4. Problem Für welche Basis a stimmen f(x)=ax und f´(x) exakt überein?

5. Die Ableitung von Grenzwert des Differenzenquotienten:

6. Definition der Eulerschen Zahl • Falls fa´(0)=1 ist, stimmen fa(x) und fa´(x) überein. • Diejenige Basis, für welche die zugehörige Exponentialfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt, wird mit e bezeichnet und Eulersche Zahl genannt. • Die Exponentialfunktion f mit f(x)=ex wird e-Funktion genannt.

7. Da fe´(0)=1, folgt für eine genügend kleines h: Setze h=1/1000 und löse nach e auf: Bestimmung von e Die Eulersche Zahl als Folgengrenzwert:

8. Zusammenfassung • Die e-Funktion reproduziert sich beim Ableiten, d.h.: • f(x)=ex f´(x)=ex • mit f´(0)=1