UNIDAD 3

1. UNIDAD 3 FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES “Matrices” Dr. Daniel Tapia Sánchez

2. Estos son los temas que estudiaremos: 3.6 Concepto de matriz e Igualdad de matrices 3.6.1Concepto de matriz e igualdad de matrices 3.6.2Clasificación de matrices según sus elementos 3.6.3Clasificación de matrices según su forma 3.7Operaciones con matrices 3.7.1Suma 3.2.2Producto 3.2.3Potencia

3. æ ö a a a ...... a 11 12 13 1n ç ÷ a a a ...... a ç ÷ 21 22 23 2n ç a a a ...... a ÷ = (a ) 31 32 33 3n ij ç ÷ .. .. .. .. .. ç ÷ a a a ...... a è ø m1 m2 m3 mn Dimensión de la matriz 3.6 Concepto de matriz e Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. 2ª columna 3ª fila Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

4. 2 1 1 Estos datos se pueden agrupar en una matriz 1 1 1 1 1 0 Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente: • Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel. Matriz: Ejemplo 2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel. 3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

5. æ ö 2 5 – 3 ç ÷ Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = ç ÷ 1 – 4 1 è ø æ ö 2 5 – 3 1 ç ÷ * Tiene la siguiente matriz ampliada: A = ç ÷ 1 – 4 1 – 2 è ø æ ö x æ ö æ ö 2 5 – 3 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ y Tiene la siguiente expresión matricial: = ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 – 4 1 – 2 è ø è ø z è ø Expresión matricial: ejemplo El sistema

6. 3.6.2 Clasificación de matrices según sus elementos • Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. • Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. • Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros. • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. • Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros. • Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

7. Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 ) · = a a ij ji • 2 4 • 3 5 • 4 5 -1 • 0 2 -4 • -2 0 3 • 4 -3 0 æ 2 ö ç ÷ 4 Matriz columna: A = · ç ÷ 6 è ø æ ö 1 3 5 ç ÷ 2 4 6 Matriz cuadrada: A= · ç ÷ 1 1 1 è ø Diagonal secundaria Diagonal principal 3.6.3 Clasificación de matrices: Forma • Matriz simétrica:es una matriz cuadrada que verifica que: • Matriz antisimétrica:es una matriz cuadrada que verifica que:

8. æ ö æ ö a a a a b b b b 14 14 11 12 13 11 12 13 ç ÷ ç ÷ a a a a b b b b A + B = ( a ) + ( b ) = + = 24 24 ç ÷ ç ÷ 21 22 23 21 22 23 ij ij a a a b b b a b è ø è ø 31 32 33 34 31 32 33 34 æ ö a a a a + b + b + b + b 11 11 12 12 13 13 14 14 ç ÷ a a a a + b + b + b + b = = ( a + b ) ç ÷ 21 21 22 22 23 23 24 24 ij ij a a a a + b + b + b + b è ø 31 31 32 32 33 33 3 4 34 3.7.1 Suma de matrices 3.7 Operaciones con matrices Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij) Es decir, se suman los elementos de ambas matrices que estén en la misma posición.

9. Propiedades de la adición de matrices Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. • Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C • Conmutativa:A + B = B + A • Elemento neutro:A + O = O + A = A donde O es la matriz nula. • Elemento opuesto:A + (– A) = (– A) + A = O • La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

10. æ ö ka ka ka æ a a a ö 11 12 13 11 12 13 ç ÷ ç ÷ ka ka ka a a a . . = ( ka ) k A = k (a ) = k · = ç ÷ 21 22 23 ç ÷ ij 21 22 23 ij ka ka ka a a a è ø è ø 31 32 33 31 32 33 3.7.2 Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

11. Propiedades suma y producto por un número Sean A y B dos matrices del mismo orden yk y h dos números reales. • Distributiva I:k(A + B) = kA + kB • Distributiva II:(k + h)A = kA + hA • Elemento neutro:1 · A = A • Asociativa mixta:k(hA) = (kh)A

12. El producto de la matriz æ ö a a a ...... a 11 12 13 1n ç ÷ a a a ...... a ç ÷ 21 22 23 2n a a a ...... a A = (a ) = ç ÷ 31 32 33 3n ij .. .. .. .. .. ç ÷ è ø a a a ...... a m1 m2 m3 mn por la matriz æ ...... ö b b b b ç ÷ 11 12 13 1 p ...... b b b b ç ÷ 21 22 23 2 p ç ÷ ...... b b b b B = (b ) = ç ÷ ij 31 32 33 3 p .. .. .. .. .. ç ÷ ç ÷ ...... b b b b è ø n 1 n 2 n 3 np 3.7.3 Producto de matrices es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1. b1j + ai2. b2j + ... + ain. bnj

13. 1 2 0 æ ö 2 1 – 1 æ ö multiplicando cada fila ç ÷ 1 0 – 3 1. El producto de A por la matriz B = ç ÷ = 3 – 2 0 è ø è ø 0 1 – 2 de A por cada columna de B. æ 1 2 0 ö æ ö æ ö 2 1 – 1 3 3 – 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 0 – 3 . A · B = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 – 2 0 1 6 6 è ø è ø 0 1 – 2 è ø (aij)2,3. (bij)3,3 = (cij) 2, 3 producto posible Ejemplo: producto de matrices 2.¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

14. filas (cij)m,p (aij)m,n . (bij)n,p = Posible columnas ¿Cuándo es posible el producto de matrices? El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

15. 1 0 0 ...... 0 æ ö æ ö 1 0 0 ...... 0 ç ÷ ç ÷ 0 1 0 ...... 0 0 1 0 ...... 0 ç ÷ ç ÷ I e I 0 0 1 ...... 0 = = ç ÷ 0 0 1 ...... 0 m n ç ÷ ç ÷ .. .. .. .. .. ç ÷ .. .. .. .. .. è ø ç ÷ 0 0 0 ...... 1 0 0 0 ...... 1 è ø las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: Im· A = A · In = A Propiedades del producto de matrices (I) I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxpy C de dimensión pxr. A . (B . C) = (A . B) . C II.Elemento neutro. Si A es una matriz mxn, y III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr. A . (B + C) = A . B + A . C IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp. (A + B) . C = A . C + B . C

16. 0 2 0 – 3 0 0 æ ö æ ö æ ö ç ÷ . ç ÷ ç ÷ Ejemplo: Aunque = ninguno de los factores que ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 0 0 0 0 0 è ø è ø è ø forman el producto es la matriz nula. Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si A . B = O entonces no siempre ocurre que A = O ó B = O. III. Si A . C = B . C y C  O, entonces no necesariamente A = B. IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. V. (A – B)2 A2– 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

17. Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. An = A . A . ........... . A n veces æ ö 1 1 æ ö æ ö æ ö 1 1 1 1 1 2 ç ÷ = A ç ÷ ç ÷ ç ÷ = × = = 2 ç ÷ A A A ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 1 è ø 0 1 0 1 0 1 è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö 1 1 1 3 1 4 æ ö æ ö æ ö 1 1 1 2 1 3 ç ÷ ç ÷ ç ÷ = × × × = × = × = 4 3 A A A A A A A ç ÷ ç ÷ ç ÷ = × = = 3 2 A A A ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 1 0 1 0 1 è ø è ø è ø 0 1 0 1 0 1 è ø è ø è ø - æ ö æ ö æ ö 1 1 1 n 1 1 n ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = × = = - 1 n n A A A A A L ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 2 3 0 1 0 1 0 1 è ø è ø è ø - veces n 3.7.4 Potencia de una matriz Ejemplo: