Mõistete vahelistest seostest õpilase mõtlemises

1. Mõistete vahelistest seostest õpilase mõtlemises Märten Karm Tartu Ülikool 1. november 2013

2. Mõistete olulisusest • Mõisted matemaatikas palju kasutuses • Matemaatika oskamise üheks eelduseks orienteerumine mõistetes • Milline on mõistete vaheliste seoste hulga struktuur e mõistete seostumise struktuur? Toetume mõnede autorite käsitlustele.

3. Mõtteskeemid (1) • Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162. • Õpilastel lasti lahendada üht geomeetria ülesannet ja samal ajal mõttekäiku valjult kommenteerida • Ülesandes mitu geomeetrilisest objekti; mitmeti lahendatav • Analüüsiti, milliseid skeeme õpilased kasutasid. • Skeem – ühe mõistega seotud informatsiooni organiseerimiseks kasutatav andmete struktuur

4. Mõtteskeemid (2) • Õpilased jaotati enne lahendamist kõrge ja madala sooritusvõimega õpilasteks • Aktiveeritud skeemide arv oli kõrgema sooritusvõimega õpilastel kõrgem • Madala sooritusvõimega õpilased rakendasid skeeme juhuslikult, ülesande püstitust silmas pidamata • Võimekamate õpilaste käsutuses rohkem skeeme ja need on keerukamad – mõistete vahelised seosed tähenduslikumad ja nad on suutelised ülesandeid sügavamalt analüüsima

5. Mõistekaart ja mõistete seostumise struktuurid • Mida kujutab endast üks keerukas mõistete seostumise struktuur? Kuidas välja selgitada? • Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142. • Mõistekaart – joonis, kus mõisted on kirjutatud kastide sisse ja omavahel ühendatud joontega, millele on kirjutatud mõisteid siduvad fraasid • Hay ja Kinchin jaotasid mõistete seostumise struktuurid kolmeks: • Kodarad (spokes) • Ahelad (chains) • Võrgustikud (networks)

7. Kodar Aritmeetiline jada Geomeetrilise jada summa Jada üldliige Konstantne jada Kahanev jada Jada Aritmeetilise jada summa Geomeetriline jada Kasvav jada Hääbuv geomeetriline jada

8. Ahel Aritmeetilise jada summa Jada Jada üldliige Aritmeetiline jada Geomeetriline jada Geomeetrilise jada summa Hääbuv geomeetriline jada Hääbuva geom jada summa

9. Võrgustik JADA Geomeetriline jada – Iga liikme ja talle eelneva liikme jagatis jääv (q) Aritmeetiline jada – Iga liikme ja talle eeleva liikme vahe jääv (d) Hääbuv geom jada: Muu jada Aritm jada üldliige Geom jada üldliige Jada üldliige Hääbuva geom jada summa Jada n esimese liikme summa Aritm jada summa Geom jada summa

10. Mõistete seostumise struktuuri tüüpide iseloomustus • Kodar • Õppeprotsessi alguse struktuur • Lihtne täiustada • Ahel • Uued mõisted lisatavad vaid ahela lõppu • Keskelt mõistete kustutamine lõhub struktuuri • Ei ole hästi üldistatav ega ülekantav • Võrgustik • Eksperttase • Sügav arusaamine avaldub seoste paljususes • Stabiilne struktuur – lihtne täiustada üldist struktuuri muutmata

11. Üleminek ühelt struktuuri tüübilt teisele • Õppimisprotsessi käigus teadmisi viimistletakse, seega struktuur täiustub • Kodar soodne pinnas õppimiseks – saab üle minna nii ahelale kui võrgustikule • Ahelalt võrgustikule on raske minna • Ahel → kodar → võrgustik

12. Kolmnurga lahendamine Pyth teor • Õpitakse siinus- ja koosinusteoreemi, uut pindala valemit Kolmnurga lahendamine Siinusteoreem Pyth teor Koosinusteoreem

13. Kolmnurga lahendamine Täisnurkne kolmnurk Suvaline kolmnurk Siinusteoreem Koosinusteoreem Pythagorase teoreem Kui Kui

14. Mõistekaartide kasutamine • Hay, D., Kinchin, I., & Lygo‐Baker, S. (2008). Making learning visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311. • Mõistekaartide kasutamine: • Õpilaste eelteadmiste väljaselgitamine • Mõistete seostumise struktuuri muutumise vaatlemine • Mehaaniline õppimine struktuuri ei muuda, mõttega õppimisel võib näiteks muutuda ahel võrgustikuks • Struktuuri kadumise hetke äratabamine • Õpetajapoolne teadmiste esitamine

15. Mõiste pildid • Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169. • Mõistete vaheliste seoste matemaatiline rangus ei kajastu alati inimeste mõtlemises • Mõtlemises tekivad seosed eelkõige kogemuslikul baasil • Ühe mõistega assotsieerub (lisaks teistele mõistetele) hulk eri nähtusi – tegevused, protsessid, vaimsed pildid, ülesanded jpm • Kogu seda tunnetuslikku struktuuri, mis inimesel ühe mõistega seostub, nimetavad Tall ja Vinner mõiste pildiks

16. Väärarusaamad mõiste piltides • Paljude mõistetega on kokkupuuteid juba enne formaalset defineerimist – see vormib mõiste pilti • Nii võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks lahutamise mõiste pildis • Ka definitsioonist alustades võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks pidevuse mõiste pildi osa ilmselt paljudel joonise tegemise võimalikkus pastakat paberilt tõstmata. Aga funktsioon y = 1/x • Õpetaja saab vääritimõistmise vältimiseks kohe alguses pidada silmas tekkivad mõiste pilti kui tervikut ning juhtida tähelepanu potentsiaalsetele väärarusaamadele

17. Näide funktsiooni mõiste pildi kohta • Funktsiooni mõiste pildi üheks osaks funktsiooni definitsioon • Õpilasele võivad funktsiooniga seoses meenuda hoopis teised mõiste pildi tahud – et esitatakse valemi abil, et graafikuid saab joonistada, et väärtuseid saab kanda tabelisse, et tunnis leitakse nullkohti jne • Mõistega tegeledes on korraga aktiivne vaid see osa mõiste pildi tahkudest, millega parajasti tegeletakse • Kui õpetaja tegeleb mõiste pildi kujunedes ainult ühe tahuga (nt funktsiooni õppides ainult esitusega valemi kujul), võib õpilasel mõiste pilt aheneda

18. Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (1) • Talli ja Vinneri katse • Testisid kõrgkooli matemaatikat õppima asuvaid õpilasi • Muuhulgas küsisid: • Kas 0,(9) on sama, mis 1? • Millised on murdude 0,5; 0,25; 0,(3); 0,(9) esitused harilike murdudena? • Suur hulk vastas esimesele küsimusele valesti, aga teisele õigesti

19. Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (2) • Mõiste pildi erinevad tahud olid vastuolus. • Esimeses ülesandes nähti arvu 0,(9) kui ühe lõpmatu arvjada piirväärtust, teises kui üht konkreetset arvu (murdu) • Jada piirväärtuse mõiste pildiga tugevalt seotud arusaam, et piirväärtus on arv, milleni jada liikmed kunagi ei jõua • Koolis leitakse ka enamasti just selliste jadade piirväärtuseid • Aitab õpetajapoolne ennetav potentsiaalsete veakohtade selgitamine

20. Kokkuvõte • Mõistetevahelisi seoseid saab iseloomustada mitmest aspektist: nt lähtudes struktuuri keerukuse astmest või tähenduslike seoste hulgast • Õpetaja omab kindlasti rikkalikku võrgustikukujulist struktuuri • Õpilastel ilmselt lihtsam ja põhineb assotsiatsioonidel • Õpetaja saab õpilast toetada valede assotsiatsioonide tekkimise ära hoidmisega ning toetada rikkaliku struktuuri tekkimist, kus oleks palju tähenduslikke seoseid • Sellised õpilased on suurema üldistamisvõimega ja tõenäoliselt ka ülesannete lahendamisel edukamad

21. Kasutatud kirjandus • Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162. • Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142. • Hay, D., Kinchin, I., & Lygo‐Baker, S. (2008). Making learning visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311. • Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.