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Monte-Carlo per il Monopoli

Monte-Carlo per il Monopoli. Costan tino. Vesu vio. Vicolo Stretto. Impr. Gran Sasso. Raff. Verdi. Monte rosa. Traia- no. Ate- neo. Dante. Vicolo Corto. Univ. Magel- lano. Giulio Cesare. Marco Polo. Colom bo. Giardi ni. Impero. Vit toria. Acca- demia. Roma. Augu sto.

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Monte-Carlo per il Monopoli

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Presentation Transcript

  1. Monte-Carlo per il Monopoli

  2. Costantino Vesuvio VicoloStretto Impr. GranSasso Raff. Verdi Monterosa Traia-no Ate-neo Dante Vicolo Corto Univ Magel-lano GiulioCesare MarcoPolo Colombo Giardini Impero Vittoria Acca-demia Roma Augusto Staz.Sud Tassa Prob Soc.Elettrica Staz.Ovest Prob. Acq.Pot. Staz.Nord Impr Via Prig. Tassa Impr. Staz.Est Prob Vaiin prigione Parcheggio DEI - Univ. Padova (Italia)

  3. Probabilità • 16 tra cui: • vai in carcere • vai al Via • vai al Vicolo Corto DEI - Univ. Padova (Italia)

  4. Imprevisti • 16 tra cui: • vai in Carcere • vai al Via • vai a Via Accademia • vai a Largo Colombo • vai a Stazione Nord • vai a Parco della Vittoria • fai 3 passi indietro DEI - Univ. Padova (Italia)

  5. Turno di gioco • Ad ogni turno ogni giocatore lancia i dadi, e a seconda del numero ottenuto muove il segnalino di altrettanti spazi sulla tavola. • A seconda della casella su cui il segnalino si ferma, al giocatore si presentano le possibilità di diventare il proprietario del lotto, pagare l’affitto o le tasse, pescare dal mazzo di probabilità o imprevisti, o finire in prigione. DEI - Univ. Padova (Italia)

  6. Tiri doppi • Quando un giocatore, gettando i dadi, fa con entrambi dadi lo stesso numero, procede col suo segnalino come di solito e sopporta le conseguenze buone o cattive inerenti al terreno su cui è arrivato, ma deve tirare una seconda volta e spostare di nuovo il segnalino in rapporto al numero fatto. • Tirando tre volte di seguito un numero doppio andrà in prigione. DEI - Univ. Padova (Italia)

  7. Prigione • Pagamento • Tirando dadi doppi • Utilizzando “uscite gratis di prigione” • Condonato al terzo turno in prigione DEI - Univ. Padova (Italia)

  8. Un primo modello: assunzioni • Consideriamo come unica casella “speciale” la 31: Vai in prigione • Se si finisce sulla casella “Vai in prigione” con un tiro doppio non si tira immediatamente per uscire di prigione • Si simula un solo giocatore • Ci si disinteressa di come si esce dalla prigione DEI - Univ. Padova (Italia)

  9. Modellare il tabellone • Nel tabellone ci sono 40 caselle • Alcune caselle speciali richiedono azioni particolari (ad es Vai in prigione) • Rappresentiamo il tabellone con un vettore di 40 elementi, in cui memorizzeremo il numero di volte che un giocatore passa in ogni casella DEI - Univ. Padova (Italia)

  10. Modellare il tabellone >> tabellone=zeros(1,40) • La funzione zeros(M,N) crea una matrice MxN di zeri. In tal modo inizializzamo il vettore delle visite delle caselle a zero. • Es: il numero di volte che si passe sulla casella 7 (Bastion Gran Sasso) è>> tabellone(6)che sarà inizialmente 0, mentre alla fine avrà un valore on nullo DEI - Univ. Padova (Italia)

  11. Modellare il tabellone >> azioni=[1, 2, 3, 2, 4, … • Per rappresentare le diverse tipologie di caselle creiamo un vettore 1x40 azioni che contiene il codice che rappresenta il tipo della casella corrispondente: • 1: Via • 2: Terreno • 3: Tassa • 4: Probabilità • 5: Imprevisti • 6: Vai in Prigione • Es: Data la posizione 15 sul tabellone>> tabellone(15)dà il numero di volte che quella casella è stata visitata, mentre>> azioni(15)indica il tipo di casella. azioni(15) vale 2, che indica essere un terreno (Piazza Università) DEI - Univ. Padova (Italia)

  12. Modellare il lancio di dadi • Il lancio di un dado può essere modellato attraverso la funzione rand().La funzione restituisce un valore (reale) pseudo-casuale estratto dall’intervallo [0,1] 0 1 DEI - Univ. Padova (Italia)

  13. Modellare il lancio di dadi • Per ottenere da un intervallo reale i valori interi che ci servono, dividiamo l’intervallo in regioni, ed ogni numero appartenente ad una determinata regione indicherà la regione Regione 1 Regione 3 Regione 5 0 1 Regione 4 Regione 2 Regione 6 DEI - Univ. Padova (Italia)

  14. Modellare il lancio di dadi • Se dividiamo l’intervallo in maniera equispaziata (tutte le regioni hanno la stessa dimensione), anche le probabilità di finire dentro ad una regione sono uguali 1 2 3 4 5 0 6 Regione corrispondente ad estrarre 6 Regione corrispondente ad estrarre 1 DEI - Univ. Padova (Italia)

  15. Modellare il lancio di dadi >> dado= ceil(6*rand(1)); 1 2 3 4 5 0 6 Regione corrispondente ad estrarre 6 Regione corrispondente ad estrarre 1 DEI - Univ. Padova (Italia)

  16. Modellare il lancio di dadi • Dal momento che è necessario lanciare 2 dadi alla volta, estraiamo 2 valori, e li inseriamo in un vettore 1x2 lancio:>> lancio=ceil( 6 * rand(1,2) ); DEI - Univ. Padova (Italia)

  17. Turno di lancio di un giocatore Ad ogni turno un giocatore tira due dadi, si sposta del numero indicato dai dadi, e poi, nel caso abbia fatto doppio, tira ancora fino ad un massimo di tre volte di fila. DEI - Univ. Padova (Italia)

  18. Turno di lancio di un giocatore • Creiamo una funzione che simuli questo turno di lancio, restituendo un vettore 1x4 con la somma dei due lanci per ogni tiro (eventuale). • I valori nulli nel vettore indicano che non sono stati effettuati quei lanci • Nel caso in cui ci siano valori non nulli in tutti gli elementi del vettore significa che si è tirato 3 volte doppio DEI - Univ. Padova (Italia)

  19. Turno di lancio di un giocatore function passi=Turno() passi=zeros(1,4); nlanci=1; exit_cond=1; while(exit_cond) lancio=ceil(6*rand(1,2)); passi(nlanci)=sum(lancio); nlanci=nlanci+1; exit_cond=(diff(lancio)==0) & nlanci<=4; end; DEI - Univ. Padova (Italia)

  20. Turno di lancio di un giocatore • Si inizializza il vettore 1x4 passi a 0, e il numero di lanci nlanci a 1 • Si impone la condizione di terminazione del ciclo while exit_conda 1 in modo che almeno alla prima iterazione si esegua il ciclo • Si calcola il lancio dei due dadi e si memorizza la somma dei dadi nella variabile passi, nella posizione corrispondete al numero del lancio effettuato • Si incrementa il numero di lanci nlanci di 1 • Si controlla di non aver superato il numero massimo di lanci e di non aver fatto doppio: se una delle due condizioni è verificata exit_conddiventa 0 ed il ciclo si interrompe DEI - Univ. Padova (Italia)

  21. Movimento di un giocatore • Una volta che si hanno i lanci effettuati da un giocatore, bisogna spostare la sua posizione, un lancio alla volta, aggiornando il numero di viste delle caselle in cui si ferma al termine di ogni movimento. • Bisogna controllare anche: • Se capita nella casella “Vai in prigione” il turno termina e la posizione del giocatore diventa la prigione (casella 10) • Se ci sono tre lanci doppi (quattro valori non nulli nel vettore passi)il giocatore deve andare in prigione DEI - Univ. Padova (Italia)

  22. Movimento di un giocatore (1) function [pos_out,tabellone]=Muovi(pos_in,passi,tabellone,azioni) nlanci=1; while(passi(nlanci)>0 & nlanci<=3) pos_fin=pos_in+passi(nlanci); pos_fin=mod(pos_fin-1,40)+1; if(pos_fin==31), pos_out=11; tabellone(pos_out)=tabellone(pos_out)+1; return; else tabellone(pos_fin)=tabellone(pos_fin)+1; end; pos_in=pos_fin; nlanci=nlanci+1; end; . . . . . . . DEI - Univ. Padova (Italia)

  23. Movimento di un giocatore (1) • Si inizializza il numero di lanci nlanci a 1, dal momento che sarà sempre presente almeno il primo valore nel vettore passi. • Si controlla che ci sia un lancio valido (passi(nlanci)>0), e che non si sia superato il numero di lanci consentito. • Si sposta il giocatore dalla posizione iniziale pos_in di tante caselle quanto è il lancio dei dadi passi(nlanci)e si fa in modo che se si supera l’ultima casella (caselle 40), si ritorni all’inizio • Se la casella in cui il giocatore si è mosso pos_fin è la casella “Vai in prigione”, il movimento termina con la posizione finale pos_out in prigione (casella 11), ed il corrispondente valore del numero di visite di tabellone(11) incrementato 1. • Altrimenti si incrementa il numero delle visite della posizione corrispondente tabellone(pos_fin), si aggiorna la posizione iniziale in modo che l’eventuale tiro ulteriore parta dall’ultima posizione, e si incrementa il numero di lanci DEI - Univ. Padova (Italia)

  24. Movimento di un giocatore (2) • Bisogna ancora controllare se però il giocatore dopo gli eventuali primi due movimenti abbia fatto ancora doppio. • Nel qual caso bisogna imporre come casella d’arrivo del turno la prigione, e togliere l’incremento dell’ultima casella visitata (corrispondente al movimento effettuato con il terzo lancio doppio) DEI - Univ. Padova (Italia)

  25. Movimento di un giocatore (2) function [pos_out,tabellone]=Muovi(pos_in,passi,tabellone,azioni) nlanci=1; while(passi(nlanci)>0 & nlanci<=3) pos_fin=pos_in+passi(nlanci); pos_fin=mod(pos_fin-1,40)+1; if(pos_fin==31), pos_out=11; tabellone(pos_out)=tabellone(pos_out)+1; return; else tabellone(pos_fin)=tabellone(pos_fin)+1; end; pos_in=pos_fin; nlanci=nlanci+1; end; if(all(passi)>0) pos_out=11; tabellone(pos_out)=tabellone(pos_out)+1; tabellone(pos_fin)=tabellone(pos_fin)+1; else pos_out=pos_fin; end; DEI - Univ. Padova (Italia)

  26. Simulare qualche turno • Dopo aver scritto le funzioni che gestiscono il lancio dei dadi ed il movimento, possiamo simulare qualche turno di un giocatore DEI - Univ. Padova (Italia)

  27. Simulare qualche turno tabellone=zeros(1,40); azioni=zeros(1,40); azioni=[1,2,3,2,4,2,2,5,2,2,… 0,2,2,2,2,2,2,3,2,2,… 0,2,5,2,2,2,2,2,2,2,… 6,2,2,3,2,2,5,2,4,2]; Nturni=1000; pos_in=1; for ct=1:Nturni, passi=Turno(); [pos_fin,tabellone]=Muovi(pos_in,passi,tabellone,azioni); pos_in=pos_fin; end; DEI - Univ. Padova (Italia)

  28. Simulare qualche turno • Qui si vogliono simulare Nturni di un giocatore, per vedere quante volte ogni casella è visitata nel corso di questi turni • Si imposta un cicle for, ad ogni iterazione un giocatore tira i dadi e si muove, ed il numero di visite delle caselle in tabellone viene aggiornato DEI - Univ. Padova (Italia)

  29. Risultati Prigione Probabilità VialeCostantino Staz. Ovest CorsoMagellano Vai inPrigione DEI - Univ. Padova (Italia)

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