Argumentos con cuantificadores.

1. Argumentos con cuantificadores. * ¿Cómo son los argumentos con proposiciones cuantificadas? * ¿Cuáles son las reglas de inferencia para estas proposiciones? * ¿Cómo determinar la validez de argumentos con cuantificadores?

2. ¿Qué perseguimos? Muchos argumentos tienen en sus premisas proposiciones cuantificadas y proposiciones en el sentido usual. Por ejemplo: “Todos los matemáticos comen galletas. Algunas personas que comen galletas tienen caries. Eduardo no tiene caries. Por lo tanto, Eduardo no es matemático”. Y nos preguntamos: ¿Es este un argumento válido? Es lo que vamos a responder ahora …

3. ¿Con qué contamos? En el Universo U, consideremos que la proposición x p(x) es Verdadera entonces * p(a) es Verdadera para cualquier a en U y * x p(x) es Verdadera Si p(x)se cumple para todos los miembros del Universo, en particular, se cumple para: * cualquier miembro a que tomemos * al menos un miembro del Universo. Es decir, x p(x)  p(a), para a en U. x p(x)  x p(x) Esta es la Regla de Especificación Universal (REU).

4. Ejemplos 1) En U: universo de todas las personas, se tiene m(x):x es profesor de Matemáticas. c(x):x ha estudiado Cálculo. Y el argumento: “Todos los profesores de Matemáticas han estudiado Cálculo. León es profesor de Matemáticas. Por lo tanto, León ha estudiado Cálculo”. ¿Será este un argumento válido? Expresión simbólica Supongamos que L: representa a León P1: x [m(x)  c(x)] P2: ____ m(L) _____ C:  c(L) ¿Te parece válido? ¿Por qué?

5. Ejemplos Demostremos que el argumento 1 es válido. Partimos de las premisas, x [m(x)  c(x)]  m(L) - Razones-  [m(L)  c(L)]  m(L) REU  c(L) M. Ponens Ilustremos con otro ejemplo, la forma de escribir simbólicamente un argumento y cómo demostrar su validez, haciendo uso de las reglas de inferencia y de las leyes lógicas que conocemos para proposiciones.

6. Ejemplos 2) En el universo U: los triángulos del plano, consideremos p(x):x tiene dos lados de igual longitud q(x):x es triángulo isósceles r(x):x tiene dos ángulos de igual medida. Y el argumento: “En el triángulo XYZ no hay dos ángulos de igual medida. Si un triángulo tiene dos lados de igual longitud, es un isósceles. Si un triángulo es isósceles, tiene dos ángulos de igual medida. Por lo tanto, el triángulo XYZ no tiene dos lados de igual longitud ”. Expresa simbólicamente y demuestra que el argumento es válido.

7. Ejemplos Expresión simbólica de 2 Llamemos c: al triángulo XYZ en U. P1:  r(c) P2: x [p(x)  q(x)] P3: x [q(x)  r(x)] C:   p(c) Demostremos que el argumento es válido. Partimos de las premisas, x[p(x)  q(x)]  x[q(x)  r(x)]   r(c) - Razones-  [p(c)  q(c)]  [q(c)  r(c)]   r(c) REU  [p(c)  q(c)]  g(c) M. Tollens  p(c) M. Tollens

8. Ejemplos 3) En el universo U: los polígonos del plano, consideremos p(x):x es un cuadrado q(x):x tiene cuatro lados Y el argumento: “Todos los cuadrados tienen cuatro lados. El cuadrilátero EFGH tiene cuatro lados. Por lo tanto, el cuadrilátero EFGH es un cuadrado”. Expresa simbólicamente y Decide si el argumento es válido.

9. Ejemplos Expresión simbólica de 3 Llamemos c: al polígono EFGH en U. P1: x [p(x)  q(x)] P2: q(c) C:  p(c) Sobre la validez x[p(x)  q(x)]  q(c) - Razones-  [p(c)  q(c)]  q(c) REU Ahora bien, aunque las premisas son verdaderas, la conclusión es falsa. En efecto, basta con que q(c) es V y p(c) es F. El argumento es falso.

10. Un giro Consideremos la situación siguiente: Sea c un miembro del Universo y p(x) una proposición abierta, tal que p(c) es Verdadera, entonces x p(x) es Verdadera. Por lo tanto, si existe tal c p(c)  x p(x) Esta implicación lógica se llama Regla de Generalización Existencial (RGE) Ilustremos esta regla con el ejemplo siguiente

11. Ejemplos 4)Decide si el argumento siguiente es válido o no. “Domingo, estudiante de este curso, sabe programar en JAVA. Todos los que saben programar en JAVA pueden conseguir trabajos bien pagados. Por lo tanto, alguien de esta clase puede conseguir un trabajo bien remunerado”. Solución Sea U: todos los estudiantes de este curso y consideramos p(x):x sabe programar en JAVA. q(x):x puede conseguir un trabajo bien pagado. Expresión simbólica Supongamos que d: representa a Domingo P1: p(d) P2: x [p(x)  q(x)] C:  x q(x) ¿Te parece válido? ¿Por qué?

12. Ejemplos Demostración de la validez de 4 Partimos de las premisas, p(d)  x [p(x)  q(x)] - Razones –  p(d)  [p(d)  q(d)] REU  q(d) M. Ponens  x q(x) RGE

13. Otro giro Consideremos la situación siguiente: Sea p(x) una proposición abierta tal que x p(x) es Verdadera, entonces p(c) es Verdadera para algún c en U Por lo tanto x p(x) p(c) para algún c en U. Esta implicación lógica se llama Regla de Especificación Existencial (REE) Ilustremos esta regla con el ejemplo siguiente

14. Ejemplos 5)Decide si el argumento siguiente es válido o no. “A todos los loros les gusta la fruta. Mi pájaro no es loro. Por lo tanto, a mi pájaro no le gusta la fruta”. Solución Sea U: todos los pájaros, y consideramos p(x):x es loro q(x):x gusta de comer fruta Expresión simbólica P1: x [p(x)  q(x)] P2: x [p(x)  r(x)] C:  x [q(x)  r(x)] ¿Te parece válido? ¿Por qué?

15. Ejemplos Demostración de la validez de 5 Partimos de las premisas. Sea a en U, el miembro que hace que P2 sea Verdadera; x [p(x)  q(x)]  x [p(x)  r(x)] - Razones  x [p(x)  q(x)]  [p(a)  r(a)] REE  [p(a)  q(a)]  [p(a)  r(a)] REU  {[p(a)  q(a)]  p(a)}  r(a) Asociat.  q(a)  r(a) M. Ponens  x [q(x)  r(x)] RGE

16. Ejemplos Demostración de la validez de 4 Partimos de las premisas, P1 p(d)  x [p(x)  q(x)] - Razones –  p(d)  [p(d)  q(d)] REU  q(d) M. Ponens  x q(x) RGE

17. Reglas de Inferencia con cuantificadores

18. Tarea 1.- Decide si el argumento con el que se motivo este tema es válido o no. (Está en la lámina 2). 2.- De la página 135 del libro, realiza los ejercicios: 5, 6, 10 y 11. Hasta pronto!!!