Equações de diferenças Prof a : Ana Maria Luz 2013.2

1. Equações de diferençasProfa: Ana Maria Luz2013.2

2. Tempo Discreto A variação temporal envolvida em modelos econômicos, podem ser de duas formas: 1) quando o tempo varia continuamente, a variação é uma grandeza infinitesimal, daí, a mudança na variável dependente é descrita por derivadas ou diferenciais; 2) quando o tempo é considerado uma variável discreta, ou seja, t assuma apenas valores inteiros, o conceito de derivada perde sua aplicabilidade e o padrão de mudanças da variável dependente é descrito pelas chamadas diferenças. Neste sentido, o modelo dinâmico que procura determinar a trajetória no tempo, é descrito pelas equações de diferenças. Neste caso, a variável dependente só assume um valor diferente no tempo quando t muda de um valor inteiro para outro. Sob este ponto de vista, é mais conveniente interpretarmos valores de t relacionados a períodos de – ao invés de pontos no – tempo. Assim, quando denotamos t = 1, significa período 1, t =2, período 2, e sucessivamente. Entretanto, este “período” nem sempre é usado no sentido do calendário, mas no sentido analítico.

3. Equações de diferenças de1ª ordem A mudança de tempo contínuo para discreto não produz nenhum efeito sobre a natureza básica da análise dinâmica, apesar de alterar a sua formulação. O padrão de mudança, agora é representado pelo quociente diferencial Δy/Δt, que é o análogo discreto da diferencial dy/dt. Como t só pode assumir valores inteiros, necessariamente Δt = 1, por isso o quociente diferencial se torna simplesmente Δy. Naturalmente, a expressão Δy pode assumir vários valores, dependendo de 2 períodos consecutivos envolvidos na extração da diferença. Para indicar o período a que se refere a diferença indicamos por um índice subscrito na variável dependente e definiremos a diferença de primeira ordem na forma específica: Δyk = yk+1 – yk (1) onde yt indica o valor de y no t-ésimo período e yt+1 o seu valor no período seguinte. Com esta notação, podemos descrever o padrão de mudanças de y na forma: Δyk = 2, ou Δyk = – 0,1yk (2)

4. Equações de diferenças de1ª ordem Podemos obter as equações de diferenças como aproximações das equações diferenciais continuas. Considere o seguinte exemplo: dy/dt=λy Queremos uma análise discreta do problema, t só assume valores inteiros, como se y(t)=y(k∆t) (necessariamente Δt = 1) y t ∆t

5. Equações de diferenças de1ª ordem Se usarmos a notação que yk=y(k∆t) então obtemos que Logo uma aproximação para dy/dt=λy seria y(t)=y(k∆t)

6. Equações de diferenças de1ª ordem Obtemos uma equação de diferenças de 1ª ordem que aproxima uma equação diferencial de 1ª ordem Uma solução de equação de diferenças acima é uma sequência de números y0,y1,y2,...

7. Equações de diferenças de1ª ordem Para o exemplo anterior temos que a solução é dada pela seqüência: Este processo é conhecido como método iterativo. Outra forma de se obter a expressão geral da seqüência que é solução da equação de diferenças de 1ª ordem é explicado a seguir.

8. Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordem O método geral para obter a solução de uma equação de diferenças de primeira ordem na forma linear: yk+1 + ayk = b (3) onde a e b são constantes arbitrárias, consiste em construir uma solução de duas componentes: uma função yp que é solução particular da equação não-homogênea completa (3) e uma função complementar yc que é solução geral da equação reduzida: yk+1 + ayk = 0 (4) A função complementar é da forma da solução obtida no exemplo, ou seja,é da forma yc = Ark, que em (4) – já que deve satisfazer a equação homogênea – se torna: A (r)k+1 + a A (r)k = 0 ⇒ r = – a ⇒ yc = A(– a)k

9. Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordem A função particular, que está relacionada com a equação completa, pode ser escolhida por qualquer tentativa que satisfaça (3), a mais simples é yp = C, que em (4): C + aC = b ⇒ C(1+a) =b ⇒C=b/(1+a) se (a ≠ -1) Se a = -1, devemos tentar yp = kC. Daí, em (3) temos: C(k+1) + akC = b ⇒ C(k+1) + (-1)kC = b ⇒C=b. Portanto, yp = kb . Assim, somando yc e yp obtemos a solução geral dada por: yk = A(-a)k + b/(1 + a) (5) yk = A(-a)k + kb = A[-(-1)]k + kb (6) solução geral, no caso em que a ≠ -1 solução geral, no caso em que a = -1

10. Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordem Se tivermos uma condição incial yk=yo quando k=0 substituindo em (5) e (6) obtemos que: • No caso que a≠-1 y0 = A + b/(1 + a) ⇒A= y0-b/(1+a) ⇒yk=( y0 -b/(1+a) )(-a)k+ b/(1+a) • No caso em que a=-1 y0 = A ⇒yk= yo[-(-1)]k + kb

11. Equações de diferenças de2ª ordem Motivação: Considere a EDO de 2ª ordem: y’’+p y’+q y=g y´´=f(t,y,y´)

12. Equações de diferenças de2ª ordem Exemplo: y’’=-y t=k∆t y(t)=y(k ∆t) yk=y(k ∆t)

13. Equações de diferenças de2ª ordem yk+2=f(k∆t, yk ,yk+1) Se f for linear de um modo geral temos (7) Aqui assim como no caso da equação de diferenças de primeira ordem a solução é da forma: yk= solução do caso homogêneo (yc) + solução particular (yp)

14. Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem O caso homogêneo: (8) tem como candidato a solução yc = Ark substituindo em (8) obtemos a equação Ark(r2+pr+q)=0 ⇒r2+pr+q=0 Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas r1 e r2 yc = A1r1k+A2r2k

15. Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem Caso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas r1=r2 yc = A3r1k+A4 kr2k Caso 2: (p2-4q<0) Duas raízes complexas conjugadas r1=a+bi r2=a-bi Usando a Fórmula de De Moivre (a+bi)k=Rk(cos(θk)+i sen(θk) ) temos que yc=Rk(A5cos(θk)+A6 sen(θk) ) cos(θ)=a/R sen(θ)=b/R

16. Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem Candidato a solução particular: yp = C. Substituindo em (7) obtemos C+pC+Cq=g ⇒ Caso p+q=-1 a solução experimental yp = C não funcionará e tentaremos yp = kC. Substituindo obtemos (k+2)C+p(k+1)C+qkC=g C[(p+q+1)k+2+p]=g. Como p+q=-1 temos

17. Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem Caso p+q=-1 e p=-2 a solução experimental yp = kC não funcionará então podemos tentar para solução particular yp = k2C...

18. Referências • Matemática para Economistas: A. Chiang. Editora Mc Graw Hill • Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Boyce e Di Prima