Data Exchange

1. Data Exchange Introduzione Data exchange & data integration: caratteristiche e differenze Il problema del data exchange Soluzioni universali Core di una soluzione universale Query answering Composing schema mappings Seminari di ingegneria del software

2. Introduzione: Il problema dell’interoperabilità dei dati • I dati possono essere: • In posti differenti • In formati differenti (relazionale, XML, …). • Esistono due approcci differenti al problema: • Data Integration • Data Exchange 2 Seminari di ingegneria del software

3. Data Exchange: visione d’insieme Il Data Exchange è un problema vecchio e ricorrente. • Phil Bernstein – 2003 “Il Data exchange è il più vecchio problema sui database” Prima applicazione: • EXPRESS: IBM San Jose Research Lab – 1977 EXtraction, Processing, and REStructuring System per trasformare dati tra database gerarchici. Applicazioni odierne: • Data Warehousing, ETL (Extract-Transform-Load); • XML Publishing, XML Storage, … 3 Seminari di ingegneria del software

4. Data exchange & data integration : caratteristiche e … • Data integration : • tripla (S, G, M) • Due approcci per M. LAV e GAV Data exchange: - Quadrupla (S, T, Σst , Σt) Seminari di ingegneria del software

5. Data exchange & data integration : … differenze • Scopo principale • Vincoli • Query answering • (certain answers) Seminari di ingegneria del software

6. Il problema del Data Exchange Σ Source S Target T J I • Schema Mapping M = (S, T, Σ) • Source schema S, Target schema T • Asserzioni Σ specificano le relazioni tra S eT. • Obiettivo: Trasformare una istanza source I in una istanza target J, in modo che <I, J> soddisfi le specifiche Σ di M. 6 Seminari di ingegneria del software

7. Soluzioni Definizione: Schema Mapping M = (S, T, Σ) Se I è un’istanza source, allora una soluzione per I è un’istanza target J tale che <I, J > soddisfi Σ. Fatto: In generale, per un’istanza source I, • Può non esistere alcuna soluzione oppure • Possono esistere più soluzioni; • in particolare, possono esistere infinite soluzioni 7 Seminari di ingegneria del software

8. Schema Mappings: Problemi Σ • Problema decisionale: Data una istanza source I, esiste una soluzione J perI? • Problema funzionale: Data una istanza source I, costruire una soluzione J per I, assodato che esista Schema S Schema T J I 8 Seminari di ingegneria del software

9. Data Exchange con Tgds e Egds • Gli schema mappings di un problema di Data Exchange che verranno presi in considerazione sono composti da: • Source-to-target tgds • Target tgds • Target egds • Tuple-generating dependencies (tgds) • Equality-generating dependencies (egds) 9 Seminari di ingegneria del software

10. Dipendenze source-to-target La relazione tra source e target è data da formule della logica del primo ordine chiamate: Source-to-Target Tuple Generating Dependencies (s-t tgds) (x)  y (x, y), dove • (x) è una congiunzione di atomi sul source; • (x, y) è una congiunzione di atomi sul target. Esempio: (Student(s)  Enrolls(s,c))  t g (Teaches(t,c)  Grade(s,c,g)) 10 Seminari di ingegneria del software

11. Dipendenze source-to-target • s-t tgds generalizzano le specifiche più importanti del data integration: • Generalizzano LAV (local-as-view) : P(x)  y (x, y), dove P è un source schema. • Generalizzano GAV(global-as-view) : (x)  R(x), dove R è un target schema. 11 Seminari di ingegneria del software

12. Dipendenze target Oltre alle dipendenze source-to-target, vanno considerate anche le dipendenze target: • Target Tgds : T(x)  y T(x, y) Dept (did, dname, mgr_id, mgr_name) Mgr (mgr_id, did) (dipendenza di inclusione sul target) • Target Equality Generating Dependencies (egds): T(x)  (x1=x2) (Mgr (e, d1)  Mgr (e, d2))  (d1 = d2) (condizione di chiave sul target) 12 Seminari di ingegneria del software

13. Data Exchange Σst Σt Schema Mapping può essere visto come una quadrupla: M = (S, T, Σst , Σt ), dove • Σst è un insieme di source-to-target tgds • Σt è un insieme di target tgds e target egds Target Schema T Source Schema S J I 13 Seminari di ingegneria del software

14. Data Exchange • Fatto: Data una istanza source I, possono esistere più soluzioni. • Esempio: Relazione source E(A,B), relazione target H(A,B) Σ: E(x,y)  z (H(x,z)  H(z,y)) Istanza source I = {E(a,b)} Soluzioni: possono esisterne infinite! • J1= {H(a,b), H(b,b)} costanti: • J2 = {H(a,a), H(a,b)} a, b, … • J3 = {H(a,X), H(X,b)} labeled nulls: • J4 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} X, Y, … 14 Seminari di ingegneria del software

15. Soluzioni universali • Le soluzioni universali sono le migliori soluzioni per un problema di Data Exchange. • Sono considerate le soluzioni più generali, non contengono nè più nè meno di quanto richiesto dalle specifiche. • Hanno un omomorfismo verso tutte le altre soluzioni • Const: insieme dei valori che compaiono nell’istanza source • Var (labeled nulls): insieme infinito di valori tali che: Var ∩ Const = {} • Omomorfismo h: J1→ J2 tra istanze target: • h(c) = c, per ogni costante in Const • Se P(a1,…,am) è in J1,, allora P(h(a1),…,h(am)) è in J2 15 Seminari di ingegneria del software

16. Soluzioni universali Σ Schema S Schema T J I Soluzione universale h2 Omomorfismi h1 h3 J2 J1 J3 Soluzioni 16 Seminari di ingegneria del software

17. Esempio Relazione source S(A,B), relazione target T(A,B) Σ : E(x,y)  z (H(x,z)  H(z,y)) Istanza source I = {H(a,b)} Alcune possibili soluzioni: • J1= {H(a,b), H(b,b)} non è universale • J2 = {H(a,a), H(a,b)} non è universale • J3 = {H(a,X), H(X,b)} è universale • J4 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} è universale 17 Seminari di ingegneria del software

18. Soluzioni universali: proprietà • Unicitàsull’equivalenzaomomorfica: Se J e J’sonouniversali per I, allorasonoomomorficamenteequivalenti. • Assumiamo che Σst sia un insieme di tgds. Siano I, I’ due istanze del source schema, J una soluzione universale per I, e J’ una soluzione universale per I’. Allora Sol(I) ⊆ Sol(I′) se e solo se c’è un omomorfismo h: J’→ J. Di conseguenza, Sol(I) = Sol(I′) se e solo se J e J’ sono omomorficamente equivalenti. 18 Seminari di ingegneria del software

19. Trovare le soluzioni universali • Se esisteunasoluzione, unasoluzioneuniversalecanonicapuòesseretrovatautilizzando la procedura chase. • PROCEDURA CHASE si comincia con un’istanza <I, ∅> si applica il chase a <I, ∅> applicando le dipendenze in Σste Σt fintantoché sono applicabili. Questa procedura può: fallire non terminare, .. ma se termina è garantito che l’istanza risultante soddisfa tutte le dipendenze e che, per di più, è una soluzione universale. 19 Seminari di ingegneria del software

20. Trovare le soluzioni universali • CHASE STEP Sia K un’istanza: (tgd) Sia d una tgd φ(x) → ∃yψ(x, y). Sia h un omomorfismo da φ(x) a K tale che non esista un’estensione di h a un omomorfismo h’ da φ(x)∧ψ(x, y) a K. Sia K’ l’unione di K con l’insieme dei fatti ottenuti: (a) estendendo h ad h’ in modo tale che ad ogni variabile in y sia assegnato un nuovo labeled null; (b) prendendo l’immagine degli atomi di ψ sotto h’. Diciamo che K d,h → K’. (egd) Sia d un egd φ(x) → (x1 = x2). Sia h un omomorfismo da φ(x) a K tale che h(x1) != h(x2). Distinguiamo ora due casi: - Se sia h(x1) che h(x2) sono in Const,  fallimento - Altrimenti, sia K’ come K in cui identifichiamo h(x1) e h(x2) come segue: - se uno è una costante, allora il labeled null è rimpiazzato dovunque dalla costante; - Se sono entrambi labeled nulls, allora ognuno è rimpiazzato dovunque dall’altro. Diciamo che K d,h → K’. 20 Seminari di ingegneria del software

21. Trovare le soluzioni universali • SEQUENZA CHASE Una sequenza chase di K con Σ è una sequenza (finita o infinita) di chase steps Ki di,hi → Ki+1, con i=0,1,…., con K=K0 e d i una dipendenza in Σ. • CHASE FINITO Un chase finito di K con Σ è una sequenza chase finita: Ki di,hi → Ki+1, con 0 ≤ i < m , con il requisito che: (a) Km =⊥ oppure (b) non c’è dipendenza d i in Σ e non c’è omomorfismo h i tale che d i possa essere applicato a Km con h i . 21 Seminari di ingegneria del software

22. Teorema: chase e soluzioni universali Th. Si assuma una configurazione di Data Exchange in cui Σstconsiste in tgds e Σt consiste in tgds e egds. Sia <I,J> il risultato di un qualche chase finito di <I, ∅> conΣst∪Σt. Allora J è una soluzione universale. Se esiste un qualche chase finito di <I, ∅> che fallisce con Σst∪Σt allora non esiste soluzione. La dimostrazione fa uso del seguente lemma: Lemma. sia K1 d,h → K2 un chase step dove K2!=⊥. Sia K un’istanza tale che: (i) K soddisfa d e (ii) esiste un omomorfismo h1 : K1 → K. Allora esiste un omomorfismo h2 : K2 → K. Seminari di ingegneria del software

23. Teorema: chase e soluzioni universali • Dimostrazione teorema: La dimostrazione del teorema si basa sul precedente lemma e sull’osservazione che l’ “identitymapping” è un omomorfismo da <I, ∅> a <I, J’> per ogni soluzione J’. • Dimostrazione parte 1: • <I,J> soddisfa Σst ∪ Σt . • Sia J’ una soluzione arbitraria.  <I,J’> soddisfa Σst ∪ Σt . • L’identity mapping id: <I, ∅>→ <I, J’> è un omomorfismo. • Dal lemma, si ottiene un omomorfismo h:<I,J>→ <I,J’>. • Quindi, J è universale. • Dimostrazione parte 2: • chase step fallisce  d deve essere un egd di Σt, detto φ(x) → (x1 = x2), e • h : φ(x) → J è un omomorfismo tale che h(x1) e h(x2) sono due costanti distinte c1 e c2. • Per assurdo si supponga che esista una soluzione J’. • Omomorfismo identità id:<I, ∅>→ <I, J’> implica, dal lemma, l’esistenza dell’omomorfismo g: :<I, J>→ <I, J’>. • Quindi, g ◦ h : φ(x) → J’ è un omomorfismo • J’ soddisfa d deve essere il caso in cui g(h(x1)) = g(h(x2)) e quindi g(c1) = g(c2). Gli omomorfismi sono identità su Const, quindi c1=c2, che è una contraddizione. Seminari di ingegneria del software

24. Esempio (chase infinito) S: DeptEmp(dpt_id, mgr_name, eid) T: Dept(dpt_id, mgr_id, mgr_name), emp(eid, dpt_id). • Σst = { DeptEmp(d, n, e) → ∃M.Dept(d,M, n) ∧ Emp(e, d) } • Σt = { Dept(d, m, n) → ∃D.Emp(m,D), Emp(e, d) → ∃M∃N.Dept(d,M,N) } I = {DeptEmp(CS,Mary, E003) } Applicando il chase < I, ∅> con Σst si ottiene l’istanza target:   J1 = {Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS)} J ={Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS), Emp(M,D), Dept(D,M’,N’), . . . } D’altro canto, una soluzione finita esiste. Due soluzioni (nessuna delle quali universale) sono ad esempio: J’ ={Dept(CS,E003,Mary), Emp(E003, CS)} J’’ ={Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS), Emp(M,CS)} 24 Seminari di ingegneria del software

25. Soluzioni universali: Full tgds I full tgds sono dei tgds senza variabili esistenzialmente quantificate, nella forma: T(x) T(x), dove T(x) e T(x) sono congiunzioni di atomi target Esempio (full tgd) H(x,z)  H(z,y) H(x,y)  C(z) E’ stato provato che ogni sequenza chase con un insieme Σ di full tgds ha lunghezza finita. Inoltre, ogni insieme di egds può essere aggiunto a Σ senza influenzare questo risultato. Tuttavia, .. non sono molto utili in pratica Seminari di ingegneria del software

26. Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set • La nozione di WAS (Weakly Acyclic Set) include: • Insiemi di full tgds • insiemi aciclici di dipendenze di inclusione • Sia Σ un insieme di tgds, costruiamo il grafo delle dipendenze: • Esiste un nodo per ogni (R,A) dove R è un simbolo di relazione e A un attributo di R; • Si aggiungono gli archi come segue: • per ogni per ogni tgd φ(x) → ∃y ψ(x, y) in Σ e per ogni x che occorre in ψ e per • ogni occorrenza di x in φ in (R, Ai): • a. Si aggiunge un arco (R, Ai)  (S, Bj)( se non esista già) per ogni x in ψ in • posizione (R,Bj). • b. Si aggiunge un arco speciale (R,Ai)  (T,Ck) ( se non esiste già) per ogni y in ψ in • posizione (T, Ck) • • DEF. Σ è weakly acyclic se il grafo delle dipendenze non contiene cicli attraverso archi speciali. Seminari di ingegneria del software

27. Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set Esempio: S : DeptEmp(dpt_id,mgr_name,eid) T : Dept(dpt_id, mgr_id, mgr_name) ; Emp(eid, dpt_id) Σst = { DeptEmp(d, n, e) → ∃M.Dept(d,M, n) ∧ Emp(e, d) } Σt = { Dept(d, m, n) → ∃D.Emp(m,D), Emp(e, d) → ∃M∃N.Dept(d,M,N) } Non è weakly acyclic!! Esempio: Σ’t = { Dept(d, m, n) → Emp(m, d), Emp(e, d) → ∃M∃N.Dept(d,M,N) } OK Seminari di ingegneria del software

28. Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set Th. Sia Σ l’unione di un weakly acyclic set of tgds con un insieme di egds, e sia K un’istanza. Allora esiste un valore polinomiale nella dimensione di K che limita la lunghezza di ogni sequenza chase di K con Σ. • DIM. Per ogni nodo (R,A) (posizione) Siano: • Σ senza egds; • incoming path: ogni percorso che finisce in (R, A); • - rank: numero max di archi speciali su ogni incoming path • r: il massimo di rank(R, A) • p: il numero di nodi nello schema • partizioniamo i nodi in N0, N1, …., Nr con Ni insieme dei nodi con rank =i; • n il numero totale di valori distinti che appartengono all’istanza K. • K’ qualsiasi istanza ottenuta da K dopo qualche arbitraria sequenza di chase. • Lemma. per ogni i esiste un polinomio Qi, tale che il numero di valori distinti che occorrono in tutti i nodi (R,A) di Ni, in K’, è al più Qi(n). Seminari di ingegneria del software

29. Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set DIM. (per induzione) Lemma Passo Base: (R, A) è in N0  Q0(n) = n; Passo induttivo: un valore può occorrere in un nodo di Ni, in K’, per: 1. È stato copiato da qualche nodo in Nj con j != i, durante un chase step. 2. È stato generato come nuovo valore (labeled null) durante un chase step. Quanti valori possono essere generati nel Caso (2)? Sia (R,A) un nodo in Ni. Induttivamente, il numero di valori distinti che possono esistere in tutti i nodi in N0 U …. U Ni-1 è limitato da P(n) = Q0(n) + …. + Qi-1(n). Sia d il numero max di archi speciali che entrano in un nodo.  Il numero totale di nuovi nodi: (P(n))d x D, dove D è il numero di dipendenze in Σ. Considerando tutti i nodi in Ni: G(n) = pi x (P(n))d x D con pi è il numero di nodi in Ni. Considerando che lo schema e Σ sono fissi,G è polinomiale. * (R,A) N0 U …. U Ni-1. Seminari di ingegneria del software

30. Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set Quanti valori possono essere copiati da un nodo in Nj a un nodo in Ni con j != i ? (R,A) N0 U …. U Ni-1. Quindi il numero massimo è limitato dal numero totale di valori in N0 U …. U Ni-1 che è P(n). Ricapitolando Qi(n) = n + G(n) + P(n) Notare che i <= r(costante) Ne consegue che il numero totale di tuple che possono esistere in K’ è al più (Q(n)) • Corollario: Si assuma una configurazione di Data Exchange in cui Σst sia un insieme di tgds e Σt l’unione di un weakly acyclic set of tgds con un insieme di egds. L’esistenza di una soluzione può essere controllata in tempo polinomiale. Se la soluzione esiste, allora una soluzione universale può essere trovata in tempo polinomiale. Seminari di ingegneria del software

31. La più piccola soluzione universale: il CORE • Soluzioni universali multiple: qual è la migliore? Quale utilizzare? CORE • Def. Sia G = (N, A) un grafo. Un sottografo G’ = (N’, A’) è il core di G se: • ∃ un omomorfismo da G a G’. • !∃ un omomorfismo da G’ a qualche altro • sottografo proprio di G’. • G è un core se è un core di se stesso. • Esempio. • S: E(x,y) T: H(x,y) • Σst : E(x,y)  ∃ z (H(x,z) H(z,y)) Σt = Ø. • I = { E(a,b) }. • Soluzioni universali: • J1 = {H(a,X), H(X,b)} è il core. • J2 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} è una sol univ • Universal solution J homomorphism core(J) Seminari di ingegneria del software

32. La più piccola soluzione universale: il CORE • Prop. Sia (S, T, Σst, Σt) uno schema mapping: • Tutte le soluzioni universali hanno lo stesso core. • Il core di una soluzione universale è la più piccola soluzione universale. • Complessità. • Il problema nella sua generalità è intrattabile. • ma… • - CORE IDENTIFICATION (DP-complete) • CORE RECOGNITION (coNP-complete) • … 32 08/07/2008 Seminari di ingegneria del software Seminari di ingegneria del software

33. La più piccola soluzione universale: il CORE • ..in certi setting il core di una soluzione universale può essere calcolato in tempo polinomiale: • ∑st un insieme di s-t tgds e ∑t un insieme di egds. • Algoritmo Greedy ( semplice ma utilizza l’istanza sorgente ) • Algoritmo Blocks ( più complessa ma utilizza solo l’istanza target) • ∑st un insieme di s-t tgds e ∑t un insieme di weakly acyclic tgds con arbitrarie egds. Seminari di ingegneria del software

34. Query Answering Σ q Schema S Schema T J Definizione: Le risposte certe di una query q su T su I certain(q,I) = ∩ { q(J): J è una soluzione per I }. I 34 Seminari di ingegneria del software

35. Risposte certe q(J1) q(J2) q(J3) certain(q,I) certain(q,I) = ∩ { q(J): J è una soluzione per I }. 35 Seminari di ingegneria del software

36. Trovare le risposte certe • Th: Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgdssource-to-target e Σt sia un insieme di target egds e target tgds. Sia q un unione di query congiuntive sullo scherma target T (Si ricorda che una query congiuntiva è una formula del primo ordine nella forma wχ(x,w), dove χ(x,w) è una congiunzione di atomi). • Se I è un’istanza source e J è una soluzione universale per I, allora certainM(q, I)= q(J)↓, dove q(J)↓ è l’insieme di tutte le tuple di q(J) senza null, ovvero tutte le tuple t in q(J) tali che ogni valore in t sia una costante di Const. • Sia I un’istanza source e J una soluzione tale che per ogni query congiuntiva q su T, si ha che certain(q, I) = q(J)↓. Allora J è universale. • Quindi, certain(q,I) è computabile in tempo polinomiale in |I|: • Computareunasoluzioneuniversalecanonica J in tempo polinomiale; • Valutare q(J) e rimuovere le tuple con i null. 36 Seminari di ingegneria del software

37. Trovare le risposte certe • Dimostrazione 1. Sia q una query di arità k che è l’unione di query congiuntive e sia t una k-tupla di costanti dall’istanza source I. t appartiene a certain(q,I),  t appartiene a q(J), con J soluzione t appartiene a q(J)↓ t consiste solamente di costanti. Inoltre esistono un termine φ(x) in q e un omomorfismo g : φ(x) → J tale che g(x) = t. Sia J’ una soluzione arbitraria. J è una soluzione universale  c’è un omomorfismo h : J → J’. Allora h ◦ g è un omomorfismo da φ(x) a J’. Gli omomorfismi sono identità sulle costanti, per cui h(g(x)) = h(t) = t. Quindi t appartiene a q(J’). • Sia q^j la query congiuntiva canonica associata a J (ad esempio, la query congiuntiva booleana ottenuta prendendo la congiunzione di tutti i fatti di J nei quali i labelednull sono sostituiti da variabili esistenzialmente quantificate). Si sa che certain(q^j, I) = q^j(J) ↓ = q^j(J), dove la prima uguaglianza deriva dall’assunzione su J, e la seconda deriva dal fatto che q^j è una query booleana. Quindi finchèq^j(J) = true, si ha che certain(q^j,I) = true. Inoltre, se J’ è una soluzione arbitraria, si ha che q^j(J’) = true. Questo implica l’esistenza di un omomorfismo h : J → J’. Quindi J è universale. 37 Seminari di ingegneria del software

38. Risposte certe e soluzione universale q: unione di query congiuntive q(J1) q(J2) q(J3) q(J) q(J) certain(q,I) Soluzione universale J per I certain(q,I) insieme di tuple senza null di q(J). 38 Seminari di ingegneria del software

39. Esempio Sia M uno schema mapping tale che: Σst= {E(x, y) → (∃z)(H(x, z) ∧ H(z, y))} Σt = ∅. Sia I l’istanza source che consiste semplicemente nel fatto E(1,2). Sia q(x) la query congiuntiva ∃wH(x,w). E’ facile verificare che certain(q,I) = {1}. Prendiamo in considerazione la seguente soluzione universale per I: J = {H(1, u),H(u, 2)} Si può notare che q(J) = {1,u}, quindi eliminando i valori nulli si ottiene q(J)↓ = {1} = certain(q,I), come ipotizzato dal teorema. 39 Seminari di ingegneria del software

40. Esempio (Query congiuntive con disuguaglianze) Sia M lo stesso schema mapping dell’esempio precedente: Σst = {E(x, y) → (∃z)(H(x, z) ∧ H(z, y))} Σt = ∅. Sia I l’istanza source che consiste semplicemente nel fatto E(1,1). Sia q(x) la query congiuntiva ∃w (H(x,w) ∧ w!=x) . E’ facile verificare che certain(q,I) = {}. Prendiamo in considerazione la seguente soluzione universale per I: J = {H(1, u),H(u, 1)} Si può notare che q(J) = {1,u}, quindi eliminando i valori nulli si ottiene q(J)↓ = {1} != certain(q,I), per cui il teorema non è soddisfatto. 40 Seminari di ingegneria del software

41. Risposte certe e disuguaglianze • Th: Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgdssource-to-target e Σt sia un insieme di target egds e un weaklyacyclic set di target tgds. • Sia q un’unione di query congiuntive con al più una disuguaglianza per query congiuntiva. Allora le risposte certe di q sono computabili in tempo polinomiale. • Sia q un’unione di query congiuntive con disuguaglianze. Il problema delle risposte certe per q è un problema in coNP. • Computare le risposte certe di unioni di query congiuntive con disuguaglianze può essere un problema coNP-completo anche se l’unione consiste di due query congiuntive ognuna della quali abbia al massimo due disuguaglianze e il cui schema mapping non abbia condizioni target. 41 Seminari di ingegneria del software

42. Risposte certe e core • Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgds source-to-target e Σt sia un insieme di target egds e target tgds. Si assuma anche che I sia un’istanza source per la quale esistano soluzioni universali. Sia J0 il core delle soluzioni universali per I. Sia q un unione di query congiuntive con disuguaglianze. • q(J0) ⊆ q(J), per ogni soluzione universale J per I; • q(J0)↓ = ∩ {q(J) : J è universale per I} ⊆ certain(q, I). 42 Seminari di ingegneria del software

43. Risposte certe universali • Rispostecerte: “Possibilimondi” = Soluzioni • Rispostecerteuniversali: “Possibili mondi” = Soluzioni universali Definizione:Rispostecerteuniversalidiuna query q suTsuI u-certain(q,I) = ∩ { q(J): Jè unasoluzioneuniversale per I }. Dalle definizioni segue che certain(q, I) ⊆ u-certain(q, I) . Inoltre, se q è un’unione di query congiuntive e I è un’istanza source per la quale esiste soluzione universale, si ha che certain(q, I) = u-certain(q, I). 43 Seminari di ingegneria del software

44. Trovare le risposte certe universali Schema mapping M = (S, T, st, t) tale che: • st è un insiemeditgds source-to-target • t è un insieme di target egds e target tgds. Sia q una query esistenziale su T. • Se I è un’istanza source e J è una soluzione universale per I, allora u- certain(q,I) = l’insieme di tutte le tuple “senza null” in q(core(J)). • Si noti che l’unione di query congiuntive con disuaglianze è un caso speciale di query esistenziali. 44 Seminari di ingegneria del software

45. Risposte certe universali e core q: esistenziale q(J1) q(J) q(J2) q(core(J)) q(J3) u-certain(q,I) Soluzione universale J per I u-certain(q,I) = insieme di tutte le tuple senza null di q(core(J)). 45 Seminari di ingegneria del software

46. Composing Schema Mapping • DEF. Scriviamo Inst(M) l’insieme di tutte le istanze <I, J> di M. • Siano M12 = (S1, S2, Σ12 ) e M23 = (S2 , S3 , Σ23 ) due schema mappings tali che S1 , S2 , S3 non abbiano simboli relazionali in comune. Uno schema mapping M13 = (S1 , S3 , Σ13 ) è una composizione di M12 e M23 se Inst(M13) = Inst(M12) ° Inst(M23), ossia: • Inst(M13) = { <I1 , I3> | Exist I2 tale che <I1 ,I2> Inst(M12) e <I2 ,I3> Inst(M23) } • Proprietà: • Equivalenza logica • Inst(12 ) Inst(23 ) è chiusa sotto l’isomorfismo • Composition Query: date due istanze I1 e I3 è <I1 ,I3> Inst(M12) ° Inst(M23)? Seminari di ingegneria del software

47. Composing Schema Mapping Composing s-t tgds Punto chiave: chiusura dei linguaggi sotto la composizione Seminari di ingegneria del software

48. Composing Schema Mapping • Second-order tgds Def: Sia S uno schema sorgente e T uno schema target. Una second-order tuple-generating dependency (SO tgd) è una formula: f1 … fm( (x1(11))  …  (xn(nn)) ), dove: • Ogni fi è un simbolo di funzione. • Ogni i è un’intersezione di atomi da S ed uguaglianze di termini • Ogni i è un’intersezione di atomi da T. • Esempio: f (e( Emp(e)  Mgr(e,f(e) ) e( Emp(e)  (e=f(e))  SelfMgr(e) ) ) Seminari di ingegneria del software

49. Composing Schema Mapping • SO-tgds - Proprietà: • La composizione di SO tgds è definibile in un SO tgds • - Esiste un algoritmo per comporre SO-tgds • Chasable • - Per gli schema mapping specificati da SO tgds, le certain answers di query congiuntive target sono calcolabili in tempo polinomiale Seminari di ingegneria del software

50. Composing Schema Mapping Computing – Algoritmo Compose ∑12 = Exists f ( e ( Emp(e)  Mgr1(e, f(e) ) ) ) ∑23 = Exist e,m ( Mgr1(e, m)  Mgr(e, m ) ) AND p.o. e ( Mgr1(e, e)  SelfMgr(e) ) Input: due schema mappings M12=(S1, S2, ∑12) e M23=(S2 , S3 ,∑23) con ∑12 e ∑23 SO tgds. Output: una composizione M13 = (S1 , S3 , ∑13) dove ∑13 è un insieme di SO tgds. - Dividere le SO tgds in ∑12 e ∑23. Es: C12 = Emp(e)  (Mgr1(e, f(e)) C23 = Mgr1(e,m)  Mgr(e,m) Mgr1(e,e)  SelfMgr(e) - Componi C12 con C23 Es: P1 : Emp(e0)  (e=e0)  (m = f(e0))  Mgr1(e,m) P2 : Emp(e0)  (e=e0)  (e = f(e0))  SelfMgr(e) - Costruisce M13 Es: ∑13 = f ( e0 e m P1e0 e P2) -Return M13 = (S1, S3, ∑13) Seminari di ingegneria del software