Sesión 9.2

1. Sesión 9.2 Identidades trigonométricas

2. Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir. Información del curso Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

3. Habilidades • Simplifica expresiones trigonométricas haciendo uso de identidades. • Resuelve ecuaciones trigonométricas. • Demuestra identidades. • Aplica las identidades de suma y diferencia en simplificaciones. • Expresa una suma de sinusoides como una sinusoidal. • Aplica las identidades de ángulo doble para simplificar expresiones. • Demuestra la ley de senos y cósenos.

4. Introducción En las secciones anteriores estudiamos las propiedades gráficas y geométricas de las funciones trigonométricas. Ahora estudiaremos los aspectos algebraicos de la trigonometría , es decir, simplificación, factorización de expresiones y resolución de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas denominadas ecuaciones trigonométricas. ¿Cuáles son las herramientas básicas en el álgebra de la trigonometría? _______________________ Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene ________________________ que se cumplen para todos los valores de la variable.

5. Identidades pitagóricas y t P(cos t, sen t) t 1 x El número real t siempre está colocado en el punto(cos t, sen t) sobre el círculo unitario.

6. Identidades pitagóricas Se cumple que: sen² t + cos² t = 1(1) y t Si dividimos (1) entre cos² t tan² t + 1 = sec² t (2) 1 t sen t x cos t Si dividimos (1) entre sen² t 1 + cot² t = csc² t (3)

7. Identidades pitagóricas (resumen) También debemos recordar las identidadesbásicas recíprocas y las identidades par-impar

8. Resolución de ecuaciones 1.- Determine todos los valores de x en el intervalo[0, 2) para la ecuación: 2.- Determine todas las soluciones de la ecuacióntrigonométrica:

9. Demostración de identidades Estrategias generales: 1.- La demostración empieza con la expresión en uno de los lados de la identidad. 2.- La demostración termina con la expresión del otro lado de la identidad. 3.- La demostración consiste en mostrar una sucesión de expresiones, cada una de las cuales pueda distinguirse fácilmente como equivalente a la que le preceda.

10. Identidades de cálculo

11. Identidades de suma y diferencia y y COSENO C u B 1  v x x  D 1 A A(cos u, sen u) C(cos , sen ) B(cos v, sen v) D(1, 0) Haciendo  = u – v, además como AB = CD

12. Identidades de suma y diferencia CD = AB simplificando: Como  = u – v: cos(u - v) = cosu cosv + senu senv Generalizando: cos(u  v) = cosu cosv senu senv 

13. Identidades de suma y diferencia SENO Se parte del hecho que: sen(u  v) = senu cosv  cosu senv Generalizando:

14. (A2+B2) B Ф A Suma de sinusoides como una sinusoidal Sea una función f(x) = A.sen(x)+ B.cos(x) Se desea expresar bajo la forma: Triángulo de referencia B A Donde: Ф en cualquier cuadrante (en radianes)

15. Identidades de múltiplo de un ángulo En general:

16. C a b h c B A C b h a c B A Ley de senos y cosenos En cualquier ABC, con ángulosA, B y C y los lados opuestosa, b y c, respectivamente, secumple que: Es conocida como la Ley de senos

17. C y a b x c B A y C b a x c B A Ley de senos y cósenos En cualquier ABC, con ángulosA, B y C y los lados opuestosa, b y c, respectivamente, secumple que: Es conocida como la Ley de cósenos

18. Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Secciones 5.1 a la 5.6 del libro Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.