Ausgleich von Sterbetafeln

1. Ausgleich von Sterbetafeln Andrea Borenich

2. Ausgleich von Sterbetafeln • Sterbetafeln • Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten • Ausgleich von Sterbetafeln

3. Inhalt von Sterbetafeln • Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen • zahlreiche weitere Kenngrößen

4. Arten von Sterbetafeln: • Periodensterbetafel • Selektionssterbetafel • Kompakttafel • Dekrementtafel • Generationssterbetafel

5. Periodensterbetafel • Werden auf Grund von gewöhnlichen Sterbehäufigkeiten berechnet • Beziehen keine weiteren Parameter außer dem Alter mit ein

6. Selektionssterbetafel Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt) z.B.: • Eintreten der Invalidität • Durchführung einer ärztlichen Kontrolle

7. Kompakttafel • beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung

8. Dekrementtafel • Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)

9. Generationssterbetafel • Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet

10. Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1) • Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x • Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr • qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis) • Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)

11. Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2) • Geschlossene Gemeinschaft: Eintritt nur durch Geburt möglich Austritt nur durch Tod möglich • Offene Gemeinschaft: Freiwilliger Ein- und Austritt möglich

12. Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3) • Geburtsdaten der Personengesamtheit unterscheiden sich voneinander • die Daten aus Volkszählungen ergeben sich zu gewissen Stichtagen • => Einführung von ganzzahligen t, τ

13. Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1) • L(t, τ ): Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind • T(−)(t, τ ): Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben • T(+)(t, τ ) Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben

14. Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2) am Stichtag 1.1. des Jahres t: Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1) sowie Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1), Schätzwert für qx:

15. Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1) • Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x • Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x • ex,v... die vom v-ten Eintretenden im Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit • ax,v …die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).

16. Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2) Es gilt und . Zahl der Todesfälle: Schätzwert für qx:

17. Ausgleich von Sterbetafeln • Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen

18. Möglichkeiten • Graphische Ausgleichung • Sterbegesetze • Analytische Ausgleichung • Mechanische Ausgleichung

19. Graphische Ausgleichung • Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst

20. Sterbegesetze (1) • Gompertz: Aus der Annahme, die Sterbeintensität sei von der Form ergibt sich . lx… Zahl der Lebenden

21. Sterbegesetze (2) • Makeham: Erweitert man dies auf , so erhält man . Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste versicherungsmathematische Formeln eine besonders schöne Form erhalten.

22. Analytische Ausgleichung (1) • Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter

23. Analytisches Verfahren von King und Hardy (1) Formel von Makeham

24. Analytisches Verfahren von King und Hardy (2) Parameter a, b, c müssen geschätzt werden die rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)- jährigen, weitere m Jahre zu leben

25. Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)

26. Analytische Ausgleichung (2) Nachteil: Bei geringer Anzahl von Parametern werden die Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre) können brauchbare Näherungen geliefert werden. Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der rechnerische Aufwand.

27. Mechanische Ausgleichung Durch Mittelwertbildung werden Schwankungen ausgeglichen und dadurch wird die Datenreiche geglättet

28. Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1) • arithmetische Mittel aus fünf aufeinander folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert

29. Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2) Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5, an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf

30. Andere Methoden • Wollhouse -> Parabeln • Karup -> Polynome 3. Grades